初中数学中考导练讲义第16讲等腰、等边及直角三角形

第 16 讲等腰、等边及直角三角形【章节知识清单】
知识点一：等腰和等边三角形
（ 1）性质
①等边平等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B
＝∠ C；
②三线合一：顶角的均分线、底边上的中线和底边上的高
1.等腰三相互重合 ;
角
形③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴 .
（2）判断①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角平等边：即若∠ B＝∠ C，则△ ABC是等腰三角形 .
重点点拨与对应举例
（1）三角形中“垂线、角均分线、中线、等腰”四个条件中，只需知足此中两个，其他均建立 . 如：如左图，已知 AD ⊥ BC,D 为 BC
的中点，则三角形的形状是等腰三角形 .
失分点警告：当等腰三角形的
腰和底不明确时，需分类议论 . 如若等腰三角形 ABC 的一个内角为30°，则此外两个角的度数为30°、 120°或 75°、 75°.
2.等边三角形（ 1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60° .
即 AB ＝ BC＝ AC ，∠ BAC ＝∠ B ＝∠ C＝ 60°；②对
称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线 (或角
均分线或中线 )所在的直线是对称轴 .
（2）判断
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相
等（均为 60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形 .即若 AB ＝AC ，且∠ B＝
60°，则△ ABC 是等边三角形 .
（1）等边三角形是特别的等腰
三角形，因此等边三角形也知
足“三线合一”的性质 .
（2）等边三角形有一个特别的角
60°，因此当等边三角形出现高
时，会联合直角三角形 30°
角的性质，即BD=1/2AB.
例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，
BC=3 ，则△ ABC 的周长为9.
知识点二：角均分线和垂直均分线
（ 1）性质：角均分线上的点到角的两边的距离相等．即若
3. 角平∠1＝∠ 2，PA⊥ OA，PB⊥ OB，则PA＝PB.
分线（2）判断：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角均分线上．
4.垂直（ 1）性质：线段的垂直均分线上的点到这条线段的两头点距
平分离相等．即若 OP 垂直且均分 AB ，则 PA＝ PB.
线图（2）判断：到一条线段两头点距离相等的点在这条线段的垂
A
O
1 P
C
2
B
C
P
A O B
例：
如
图，
△ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，
AB 的垂直均分线交 AC 于 D ，交
AB 于 E， CD=2 ，则 AC=6.
形直均分线上．
知识点三：直角三角形的判断与性质
(1)两锐角互余 .即∠ A ＋∠ B＝ 90°；
5.直角(2) 30 °角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠ B＝ 30°则 AC＝1
AB；
三角形 2 的性质
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若1
CD 是中线，则 CD＝ AB. （1）直角三角形的面积
S=1/2ch=1/2ab( 此中 a,b 为直角边，c 为斜边， h 是斜边上的高 )，
能够利用这一公式借助面积这个
2
(4)勾股定理：两直角边a、 b 的平方和等于斜边
方．即 a2＋ b2＝ c2 . A
c 的平中间量解决与高有关的求长度问
c
D 题 .
b
Ca B
（ 2）已知两边，利用勾股定理求
(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠ C＝ 90°，则6.直角△ABC 是 Rt△；
三角(2) 假如三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形的形是直角三角形．即若AD ＝ BD ＝CD，则△ ABC 是 Rt△
判断(3) 勾股定理的逆定理：若 a 2＋ b2＝ c2，则△ ABC 是 Rt△.
A
长度，若斜边不明确，应分类讨
c D
b
论 .
C a B（3）在折叠问题中，求长度，往
往需要联合勾股定理来列方程解
决 .
【章节典例分析】
【例题 1】（2017?宁德）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则以下结论错误的选项是（）
A ．∠ ADB= ∠AC
B +∠ CAD B．∠ ADE= ∠AED
C．∠ CDE=∠ BAD D．∠ AED=2 ∠ECD
【考点】 KH ：等腰三角形的性质．
【剖析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项 A 、B、C 正确，选项 D 错误，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ ADB 是△ ACD 的外角，
∴∠ ADB= ∠ACB +∠ CAD ，选项 A 正确；
∵AD=AE ，
∴∠ ADE= ∠AED ，选项 B 正确；
∵AB=AC ，
∴∠B=∠C，
∵∠ ADC= ∠ADE +∠ CDE=∠B+∠BAD ，∠ AED= ∠CDE+∠C，
∴∠ CDE+∠ C+∠ CDE=∠B+∠BAD ，
∴∠ CDE=∠BAD，选项C正确；
∵∠ AED= ∠ECD+∠CDE，∠ ECD≠∠ CDE，
∴选项 D 错误；
应选： D．
【评论】此题考察了等腰三角形的性质、三角形的外角性质；娴熟掌握等腰三角形的性质和三角形的外
角性质是解决问题的重点．
【例题2】
8 个全等的矩形构成的大正方形，线段 AB 的端点都在小矩形
（2017 山东聊城）如图是由
的极点上，假如点 P 是某个小矩形的极点，连结PA、PB，那么使△ ABP 为等腰直角三角形的点 P 的个数是（）
A．2 个B．3 个 C．4 个D．5 个
【考点】 KW ：等腰直角三角形．
【剖析】依据等腰直角三角形的判断即可获得结论．
【解答】解：以下图，使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是 3，
应选 B．
【例题 3】
浙江义乌）如图，∠ AOB=45°，点 M ，N 在边 OA 上， OM=x ，ON=x +4，点 P 是边（2017
OB 上的点，若使点 P，M ， N 构成等腰三角形的点 P 恰巧有三个，则 x 的值是x=0 或 x=4 ﹣4或 4 ＜x＜4．
【考点】 KI ：等腰三角形的判断．
【剖析】分三种状况议论：先确立特别地点时建立的x 值，
①如图 1，当 M 与 O 重合时，即 x=0 时，点 P 恰巧有三个；
②如图 2，建立腰长为 4 的等腰直角△ OMC ，和半径为 4 的⊙ M ，发现 M 在点 D 的地点时，知足条件；
③如图 3，依据等腰三角形三种状况的画法：分别以M 、N 为圆心，以 MN 为半径画弧，与 OB 的交点就是知足条件的点P，再以 MN 为底边的等腰三角形，经过绘图发现，不论x 取何值，以 MN 为底边的等腰三角形都存在一个，因此只需知足以MN 为腰的三角形有两个即可．
【解答】解：分三种状况：
①如图 1，当 M 与 O 重合时，即 x=0 时，点 P 恰巧有三个；
②如图 2，以 M 为圆心，以 4 为半径画圆，当⊙ M 与 OB 相切时，设切点为C，⊙ M 与 OA 交于 D，
∴MC⊥OB，
∵∠ AOB=45°，
∴△ MCO 是等腰直角三角形，
∴MC=OC=4 ，
∴OM=4，
当 M 与 D 重合时，即 x=OM ﹣DM=4 ﹣ 4 时，同理可知：点 P 恰巧有三个；③如
图 3，取 OM=4 ，以 M 为圆心，以 OM 为半径画圆，
则⊙ M 与 OB 除了 O 外只有一个交点，此时 x=4 ，即以∠ PMN 为顶角， MN 为腰，切合条件的点 P 有
一个，以 N 圆心，以 MN 为半径画圆，与直线 OB 相离，说明此时以∠ PNM 为顶角，以 MN 为腰，切合条件的点 P 不存在，还有一个是以 NM 为底边的切合条件的点 P；点 M 沿 OA 运动，到 M 1时，发现⊙ M 1与直线 OB 有一个交点；
∴当 4＜ x＜4时，圆M在挪动过程中，则会与综上所述，若使点P， M ，N 构成等腰三角形的点OB 除了 O 外有两个交点，知足点P 恰巧有三个；
P 恰巧有三个，则x 的值是： x=0 或 x=4﹣4 或
4 ．
故答案为： x=0 或 x=4﹣4或4．
【例题 4】（2017哈尔滨）已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE，BD 交于点 O，AE 与 DC 交于点 M ，BD 与 AC 交于点 N．
（1）如图 1，求证： AE=BD ；
（2）如图 2，若 AC=DC ，在不增添任何协助线的状况下，请直接写出图 2 中四对全等的直角三角形．
【考点】 KD ：全等三角形的判断与性质；KW ：等腰直角三角形．
【剖析】（1）依据全等三角形的性质即可求证△ ACE ≌△ BCD ，从而可知 AE=BD ；
（2）依据条件即可判断图中的全等直角三角形；
【解答】解：（1）∵△ ACB 和△ DCE 都是等腰直角三角形，
∠ACB= ∠ DCE=90°，
∴AC=BC ，DC=EC，
∴∠ ACB +∠ACD= ∠ DCE+∠ACD ，
∴∠ BCD= ∠ACE ，
在△ ACE 与△ BCD 中，
∴△ ACE ≌△ BCD （SAS），
∴AE=BD ，
（2）∵ AC=DC ，
∴AC=CD=EC=CB ，
△ACB ≌△ DCE（SAS）；
由（ 1）可知：∠ AEC= ∠BDC ，∠ EAC= ∠DBC
∴∠ DOM=90°，
∵∠ AEC= ∠CAE=∠CBD ，
∴△ EMC ≌△ BCN（ ASA ），
∴CM=CN ，
∴DM=AN ，
△AON ≌△ DOM （ AAS ），
∵DE=AB ，AO=DO ，
∴△ AOB ≌△ DOE（ HL ）
【章节典例习题】
1. （2017浙江湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC
的重心，则点 P 到 AB 所在直线的距离等于（）
A．1 B．C．D．2
2. （2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直均分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）
A ．30°B．45°C．50°D． 75°
3. （2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的均分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA 、OB 订交于 M 、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒建立；（2）OM+ON 的值不变；（ 3）四边形 PMON 的面积不变；（ 4）MN 的长不变，此中正确的个数
为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
4. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ ABC 的顶角的度数为30°或 150°或 90° ．
5. （2017?乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC均分∠BAD．
（1）如图 1，若∠ DAB=120°，且∠ B=90°，尝试究边 AD 、AB 与对角线 AC 的数目关系并说明原因．（2）如图 2，若将（ 1）中的条件“∠ B=90°”去掉，（1）中的结论能否建立？请说明原因．
（3）如图 3，若∠ DAB=90°，研究边 AD 、AB 与对角线 AC 的数目关系并说明原因．
6. （2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠ CDE=β ．
（1）如图，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上．
①假如∠ ABC=60°，∠ ADE=70°，那么α= 20°，β= 10°，②求α，β之间的关系式．
（2）能否存在不一样于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明原因．
【章节典例习题】参照答案
1.（2017浙江湖州）如图，已知在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC ，AB=6 ，点 P 是 Rt△ ABC 的重心，则点 P 到 AB 所在直线的距离等于（）
A．1 B．C．D．2
【考点】 K5：三角形的重心； KW ：等腰直角三角形．
【剖析】连结 CP 并延伸，交 AB 于 D，依据重心的性质获得CD 是△ ABC 的中线， PD= CD，依据直角三角形的性质求出CD，计算即可．
【解答】解：连结CP 并延伸，交 AB 于 D，
∵P 是 Rt△ABC 的重心，
∴CD 是△ ABC 的中线， PD= CD，
∵∠ C=90°，
∴CD=AB=3 ，
∵AC=BC ，CD 是△ ABC 的中线，
∴CD⊥AB ，
∴PD=1，即点 P 到 AB 所在直线的距离等于1，
应选： A．
2. （2017湖北荆州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直均分线l交AC于点D，则∠CBD 的度数为（）
A ．30°B．45°C．50°D． 75°
【考点】 KH ：等腰三角形的性质； KG ：线段垂直均分线的性质．
【剖析】依据三角形的内角和定理，求出∠ C，再依据线段垂直均分线的性质，推得∠ A= ∠ABD=30°，由外角的性质求出∠ BDC 的度数，从而得出∠ CBD=45° ．【解答】解：∵ AB=AC ，∠ A=30°，
∴∠ ABC= ∠ACB=75°，
∵AB 的垂直均分线交AC 于 D，
∴AD=BD ，
∴∠ A= ∠ABD=30°，
∴∠ BDC=60°，
∴∠ CBD=180° ﹣75°﹣ 60°=45°．
应选 B．
3. （2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的均分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若
∠MPN 在绕点 P 旋转的过程中，其两边分别与 OA 、OB 订交于 M 、N 两点，则以下结论：（1）PM=PN恒建立；（2）OM+ON 的值不变；（ 3）四边形 PMON 的面积不变；（ 4）MN 的长不变，此中正确的个数
为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】 KD ：全等三角形的判断与性质；KF：角均分线的性质．
【剖析】如图作 PE⊥OA 于 E，PF⊥ OB 于 F．只需证明△ POE≌△ POF，△ PEM≌△ PFN，即可一一判断．
【解答】解：如图作PE⊥ OA 于 E， PF⊥OB 于 F．
∵∠ PEO=∠ PFO=90°，
∴∠ EPF+∠AOB=180°，
∵∠ MPN +∠AOB=180°，
∴∠ EPF=∠MPN ，
∴∠ EPM=∠FPN，
∵OP 均分∠ AOB，PE⊥OA 于 E，PF⊥OB 于 F，
∴PE=PF，
在△ POE 和△ POF 中，
，
∴△ POE≌△ POF，
∴OE=OF，
在△ PEM 和△ PFN 中，
，
∴△ PEM≌△ PFN，
∴EM=NF ， PM=PN，故（ 1）正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S 四边形PMON =S 四边形PEOF=定值，故（ 3）正确，
∵OM +ON=OE+ME +OF﹣NF=2OE=定值，故（ 2）正确，
MN 的长度是变化的，故（ 4）错误，
应选 B．
4. （2017绥化）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ ABC 的顶角的度数为30°或 150°或 90° ．
【考点】 KO ：含 30 度角的直角三角形； KH ：等腰三角形的性质．
【剖析】分两种状况；① BC 为腰，② BC 为底，依据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半判
断出∠ ACD=30°，而后分 AD 在△ ABC 内部和外面两种状况求解即可．【解答】解：① BC 为腰，
∵AD ⊥BC 于点 D，AD= BC，
∴∠ ACD=30°，
如图 1， AD 在△ ABC 内部时，顶角∠ C=30°，
如图 2， AD 在△ ABC 外面时，顶角∠ ACB=180°﹣ 30°=150°，
②BC 为底，如图 3，
∵AD ⊥BC 于点 D，AD= BC，
∴AD=BD=CD ，
∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ，
∴∠ BAD +∠CAD=× 180°=90°，
∴顶角∠ BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC 的顶角度数为 30°或 150°或 90°．
故答案为： 30°或 150°或 90°．
5. （2017?乐山）在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC均分∠BAD．
（1）如图 1，若∠ DAB=120°，且∠ B=90°，尝试究边 AD 、AB 与对角线 AC 的数目关系并说明原因．（2）如图 2，若将（ 1）中的条件“∠ B=90°”去掉，（1）中的结论能否建立？请说明原因．
（3）如图 3，若∠ DAB=90°，研究边 AD 、AB 与对角线 AC 的数目关系并说明原因．
【考点】 LO ：四边形综合题．
【剖析】（1）结论： AC=AD +AB ，只需证明 AD=AC ，AB=AC 即可解决问题；
（2）（1）中的结论建立．以 C 为极点，AC 为一边作∠ ACE=60°，∠ACE 的另一边交 AB 延伸线于点E，只需证明△ DAC ≌△ BEC 即可解决问题；
（3）结论：．过点C作CE⊥AC交AB的延伸线于点E，只需证明△ ACE 是等腰直
角三角形，△ DAC ≌△ BEC 即可解决问题；
【解答】解：（1）AC=AD +AB ．
原因以下：如图 1 中，
在四边形 ABCD 中，∠ D+∠B=180°，∠ B=90°，
∴∠ D=90°，
∵∠ DAB=120°，AC 均分∠ DAB ，
∴∠ DAC= ∠BAC=60°，
∵∠ B=90°，
∴，同理．
∴AC=AD +AB ．
（2）（1）中的结论建立，原因以下：以 C 为极点， AC 为一边作∠ ACE=60°，∠ ACE 的另一边交 AB 延伸线于点 E，
∵∠ BAC=60°，
∴△ AEC 为等边三角形，
∴AC=AE=CE ，
∵∠ D+∠B=180°，∠ DAB=120°，
∴∠ DCB=60°，
∴∠ DCA= ∠BCE，
∵∠ D+∠ABC=180°，∠ ABC+∠EBC=180°，
∴∠ D=∠CBE，∵ CA=CB ，
∴△ DAC ≌△ BEC，
∴AD=BE ，
∴AC=AD +AB ．
（3）结论：．原因以下：
过点 C 作 CE⊥AC 交 AB 的延伸线于点 E，∵∠ D+∠B=180°，∠ DAB=90°，
∴DCB=90°，
∵∠ ACE=90°，
∴∠ DCA= ∠BCE，
又∵ AC 均分∠ DAB ，
∴∠ CAB=45°，
∴∠ E=45°．
∴AC=CE．
又∵∠ D+∠B=180°，∠ D=∠CBE，
∴△ CDA ≌△ CBE，
∴AD=BE ，
∴AD +AB=AE ．
在 Rt△ ACE 中，∠ CAB=45°，
∴，
∴．
【评论】此题考察四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判断和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6. （2017浙江义乌）已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠ CDE=β ．
（1）如图，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上．
①假如∠ ABC=60°，∠ ADE=70°，那么α= 20°，β= 10°，②求α，β之间的关系式．
（2）能否存在不一样于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明原因．
【考点】 KY ：三角形综合题．
【剖析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE ，从而求出∠ BAD ，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点 E 在 CA 的延伸线上，点 D 在线段 BC 上，同（ 1）的方法即可得出结论；②
当点 E 在 CA 的延伸线上，点 D 在 CB 的延伸线上，同（ 1）的方法即可得出结论．【解
答】解：（1）①∵ AB=AC ，∠ ABC=60°，∴∠ BAC=60°，
∵AD=AE ，∠ ADE=70°，
∴∠ DAE=180° ﹣2∠ADE=40°，
∴α=∠ BAD=60° ﹣40°=20°，
∴∠ ADC= ∠BAD +∠ ABD=60° +20°=80°，
∴β=∠ CDE=∠ADC ﹣∠ ADE=10°，
故答案为： 20， 10；
②设∠ ABC=x ，∠ AED=y ，
∴∠ ACB=x ，∠ AED=y ，
在△ DEC 中， y=β+x，
在△ ABD 中，α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；
（2）①当点 E 在 CA 的延伸线上，点 D 在线段 BC 上，如图 1
设∠ ABC=x ，∠ ADE=y ，
∴∠ ACB=x ，∠ AED=y ，
在△ ABD 中， x+α=β﹣ y，
在△ DEC 中， x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
②当点 E 在 CA 的延伸线上，点 D 在 CB 的延伸线上，
如图 2，同①的方法可得α=180°﹣2β．。