微积分基本公式PPT学习教案

第12页/共62页
例9. 设 f (x, y) xy et2 dt, 求 0
x y
2 f x2
2 2 f xy
y x
2 f y 2
.
解：令 (s) s et2 dt, 则 '(s) es2 , f (x, y) (xy) 0
于是
f (xy) '(xy) xy' ex2y2 y
e x x2 y2
2x3 yex2y2
最终结果 2ex2 y2
第14页/共62页
例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0 sin t 2dt '
lim 2x
x0 (x3 )'
lim
x0
s in(2 x ) 2 3x 2
(2 x )'
2 3
lim
x0
sin 4x x2
2
8 3
b( x)
f (t)dt
的导数 F( x) 为
a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
dx a( x)
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证 F( x) 0 b( x) f (t)dt
a(x) 0
b( x) f (t )dt
a( x)
f (t)dt,
202
1
1 1 (2 2 1 1) 1
2
2
第20页/共62页
例10 计算
2
f (x)dx, 其中
0
2x,
f
(
x)
5,
0 x1 1 x 2
解
2
f ( x )dx
0
1
2xdx
0
2
5dx
1
x2
1 0
5x 2 1
6
x 2 ,
例11.设
f (x)
x,
x [0,1) x [1,2]
x x
x
同理 f (xy) '(xy) xy' ex2y2 x
y y
y
第13页/共62页
2 f
x2
x
f x
x
e y x2 y2
2xy3ex2 y2
2 f
xy
y
f x
y
e y x2 y2
ex2y2 2x2 y2ex2y2
2 f
y2
y
f y
y
第18页/共62页
b f (x)dx F (b) F (a) F (x) b F(x)b
a
a
a
核心思想：如果能够找到被积函数的 一个原 函数， 则可以轻易地求出定积分的值，即原 函数在 积分 区间上的增量。
注意
当a
b
b
时， a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a)
仍成立.
第19页/共62页
例7. 1 dx ln x 1 ln1 ln 2 ln 2
第4页/共62页
5.2 微积分基本公式
一、积分上限函数及其导数 二、牛顿(Newton)-莱布尼茨
(Leibniz) 公式
第5页/共62页
一、积分上限函数及其导数 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续，并且设 x为[a,b]
上的一点，考察定积分
x
(x) a f (t)dt
如果上限 x在区间[a,b]上任意变动，则对于每
f (x)
(a x b)
y
证
( x
x)
xx
a
f
(t )dt
( x x) ( x)
x x
x
f (t)dt f (t)dt
a
a
( x)
o a x x x b x
第7页/共62页
x
a
f
(t )dt
x x
x
f
(t )dt
x
a
f
(t )dt
x x
y
f (t)dt, x
由积分中值定理得
第1页/共62页
F (x1) F (x0 ) F(x2 ) F(x1) F (xn ) F (xn1)
F(xn ) F(x0 ) F(b) F(a)
时，或者说当每一个
当 n
f (i ) f (i ),
时，
xi 0
上面的
= “ ”化为
第2页/共62页
于 是 我 们 就 得到了
第31页/共62页
例1
计算
2 0
x2
4 x2 dx
解 设 x 2sin t, dx 2 costdt 当 x 0时,t 0 ;当x 2时, t
2
于是,
2 x2
0
4 x 2 dx 2 (2 sin t)2 4 4 sin2 t 2 costdt 0
4 2 (sin 2t)2dt 2 2 (1 cos4t)dt
函数，则
b
a
f
( x)dx
F (b)
F (a)
.
证明：注意到 (x) x f (t)dt 是 f (x) 的一 a
个原函数，而且
b
a f (x)dx (b) (a)
第17页/共62页
现设 F(x) 是 f (x) 的任意一个原函数，则
F(x) (x) C,
因此 b
F(b) F(a) (b) (a) f (x)dx. a
sin x sin3 x sin （x 1 sin2 x） sin x cos x
cos x
cos x
sin x, 0 x
2
sin x, x
2
第27页/共62页
所以 sin x sin3 xdx 0
2 cos x
0
sin xdx cos x
sin xdx
2
2
(sin
,
求 (x)
x
0
f (t )dt
在[0,2]上的表达式,
并讨论 ( x) 在(0,2)内的连续性.
0
1x 2
解.
当x [0,1)时, ( x)
x
f (t )dt
0
x t 2dt
0
当x [1,2] 时,( x)
x
f (t)dt
0
1t 2dt
0
1 x3
3
x
t
dt
1
1
3
1 ( x 2 1) 2
(1)
lim
x0
1 (1 x)3 3
x
1 3
1
' (1)
lim
x0
(1 x) (1)
x
lim
x0
1 (1 x)2 2
x
1 6
1 3
1
' (1) ' (1)
第22页/共62页
例12. 设 f (x) x2
a
f (x)dx, 且a 1,
0
求
a
f (x)dx
0
解：方程两边积分，得
a f (x)dx
F (a)
F
(
x) b a
,
F '(x) f (x).
第25页/共62页
/2
0 sin x cos x dx
/4
/2
cos x sin xdx sin x cos xdx
0
/4
第26页/共62页
§7.4 定积分基本积 分方法
一、直接积分法
例1：求 sin x sin3 xdx 0 解：由于被积函数
d
(x2 ) '(x2 )(x2 ) '
dx 1 t
dx
sin x2 2x 2 sin x2
x2
x
例4 .
x2 x3
et dt
'
0 exdx
x3
x2
e
x
dx
'
0
x3 0
e x dx
'
x2 0
e
x
dx
3x 2e x3
2 xe x2
第10页/共62页
一般地 如果
f (t) 连续，a( x) 、b( x)可导，则 F ( x)
lim
x0
sin 4x 4x2
2
8 3
例6. 设
f (x)
在区间 [a,b]
上连续，且 b f 2 (x)dx 0, a
则
f (x)
在 [a,b] 上恒等于零。
证明：令 (u) u f 2 (x)dx, a u b, 则 a
'(u) f 2 (u) 0
第15页/共62页
因此 (u) 在[a,b] 上是单调非减的，从而有
b
a
f
(
x)dx
lim
x0
Sn
F (b) F (a)
即
b
a f (x)dx F (b) F (a)
这 就 是 著 名 的牛顿 (Newton)-莱 布 尼茨(Leibniz) 公 式
第3页/共62页
Isaac Newton ，1671年写了 《流数法和无穷级数》，与 Gottfriend Wilhelm Leibniz 同时独立创建微积分
会计学
1
若已知
F '(x) f (x)
n1
Sn f i xi i0 n1
F (xi1) F (xi ) i0
f i
Largrange中值定理：
F(xi1) F(xi ) F '(i ) xi1 xi xi i xi1
f (i ) xi1 xi , i xi , xi1
a x2dx
a
a
f (x)dx dx
0
0
00
a f (x)dx 1 a3 a
a
f (x)dx
0
3
0
a
f (x)dx
a3
0
3(a 1)
第23页/共62页
例13. 下列做法是否有问题
1 1
1 x2
dx
1 x
1 1
2
由于被积函数在积分区间上存在第二类间断点，不满足 Newton—Leibniz定理之条件，故不可用这一公式。
e 例1 .
x et2 dt '
2
x2
例2 .
3 cos2 tdt '
x cos2 tdt
'
cos2 x
x
3
例3 . d
x2 sin t dt
dx 1 t
第9页/共62页
解：令 (u) u sin tdt 则 '(u) sin u ,
1t
u
d
x2 sin t dt
一个取定的 x值，定积分有一个对应值，所以它在
[a, b]上定义了一个函数。
第6页/共62页
积分上限函数的性质
定 理 １ 如 果 f ( x) 在[a,b]上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
( x)
x
a
f
(t )dt
在 [a,b]
上
具
有
导
数
，
且
它
的
导
数
是
(
x)
d dx
x
a
f (t )dt
强调：在利用Newton—Leibniz定理的时候，验证定理条件 是否满足是必要的！
第24页/共62页
小结
1.积分上限函数的性质，其导数的计算；
x
(x) a f (t)dt, '(x) f (x)
2.牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式 的证明及应用
b a
f
(x)dx
F (b)
1 x2 1 26
综上, ( x)
1
1 x3, 3 x2 1
,
x [0,1) x [1,2]
在x=1处, (1)
2 (1 0)
6
1, 3
(1 0) 1 , 3
所以,( x)在(0,2)内连续.
第21页/共62页
问题：(x) 在 x 1 是否可导？
' (1)
lim
x0
(1
x) x
0
0
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a设 F (x) x x2et2 dt，求 F '(x) 。 0
解： F (x) x x2et2 dt x2 x et2 dt x2(x),
0
0
F '(x) x2(x)' 2x(x) x2ex2 .
o
f ( )x [x, x x],
( x)
a x x x b x
f ( ), x
lim lim f ( )
x x0
x0
x 0, x
( x) f ( x).
第8页/共62页
定理2：(原函数存在定理)如果函数f (x)在[a,b]上连续，
则函数(x)
x
f (t)dt
a
就是f (x)在区间[a,b]上的一个原函数
0 (a) (u) (b) b f 2 (x)dx 0 a
于是(u) 在[a,b] 上恒为常数，其导数必为零，即 '(u) f 2 (u) 0, a u b.
第16页/共62页
二、牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz) 公式
定理 3（微积分基本公式）
如果 F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上的一个原
上变化,且 ( ) a,( ) b,
则
b f (x)dx
f [(t)] '(t)dt
a
第29页/共62页
1 1 x2 dx 0
解：作代换 x sin t, 0 t , 则它是单值函数，有连续
导数，且当 t 0
时 x 0,
2 当t
时 x 1, 故有
2
1
1 x2 dx
3
x)2
2
2
(sin
3
x)2
4
3
3
0
3
2
第28页/共62页
二、 定积分的换元积分法
定理1：设函数f (x)在[a,b]上连续，令x (t),如果
(t )满足下面条件：
(1)x (t)在区间[， ]上是单调函数，并且有连续
的导数 ' (t)
(2)当t在区间[， ]上变化时，x=(t)的值在区间[a，b]
2
1 sin2 td sin t
2 cos2 tdt
0
0
0
2
1
cos
2t
dt
0
2
t 2
sin 2t 2 4 0
4
第30页/共62页
说明：
1.这里的换元法实际上相当于不定积分的第二换元法， 常用的有根式代换三角代换、倒代换；
2.换元必换限，即在作变量代换后，积分上下限要做相应的改 变 ，然后直接求出结果，不必回带，这是与不定积分的不同 之处。
2 x
2
1 x2dx x3 1 1
0
33
0
例8.
1 2
2x 1 dx 2