高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及

2.3.2 平面向量的坐标表示及运算2.3.3 平面向量的坐标运算
主动成长
夯基达标
1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 的坐标是( )
A.(7,1)
B.(-7,-1)
C.(-7,1)
D.(7,-1) 解析：-3a -2b =-3(3,-1)-2(-1,2)=(-9,3)-(-2,4)=(-7,-1). 答案：B
2.已知AB =(3,4),A(-2,-1),则B 点的坐标是( )
A.(5,5)
B.(-5,-5)
C.(1,3)
D.(-5,5) 解析：设B(x,y), =(x,y)-(-2,-1)=(x+2,y+1), 即(x+2,y+1)=(3,4), ∴⎩⎨
⎧=+=+.41,32y x ∴⎩⎨⎧==.
3,
1y x
∴B 点的坐标为(1,3). 答案：C
3.若向量a =(x+3,x 2
-3x-4)与相等,已知A(1,2),B(3,2),则x 的值为( )
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4 解析：=(3,2)-(1,2)=(2,0),
∴⎩⎨⎧=--=+.043,232x x x ∴⎩
⎨⎧-==-=.141x x x 或
∴x=-1.
答案：A
4.已知点A(3,5),B(2,4),则线段AB 中点M 的坐标为( )
A.(1,1)
B.(
25,29) C.(-1,-1) D.(27,2
7) 解析：x m =25223=+,y m =2
9
245=+.
答案：B
5.已知ABCD 为平行四边形,其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D 的坐标为( ) A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 解析：因为ABCD 为平行四边形, 所以AD =BC .
=(x,y)-(5,-1)=(x-5,y+1), =(1,2)-(-1,7)=(2,-5),
∴⎩⎨
⎧-=+=-.51,
25y x ∴⎩⎨⎧-==.
6,7y x
∴D 点的坐标为(7,-6). 答案：D
6.设a =(-1,2),b =(1,-1),c =(3,-2),且c =p a +q b ,则实数p 、q 的值为( ) A.p=4,q=1 B.p=1,q=-4 C.p=0,q=1 D.p=1,q=4 解析：p a =p(-1,2)=(-p,2p), q b =q(1,-1)=(q,-q), (3,-2)=(q-p,2p-q), ∴⎩
⎨
⎧+-=--=.22,
3p q p q ∴⎩⎨⎧==.4,1q p
答案：D
7.已知向量OM =(3,-2),ON =(-5,-1),则
2
1
等于( ) A.(8,1) B.(-8,1) C.(4,-21) D.(-4,2
1
)
解析：ON MN =-OM =(-5,-1)-(3,-2)=(-8,1),
21MN =(-4, 2
1
). 答案：D
8.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则c 等于( )
A.-a +3b
B.a -3b
C.3a -b
D.-3a +b 解析：逐个计算得c =a -3b ,所以选B. 答案：B 9.在
ABCD 中,已知A(-
29,-7),B(2,6),其对角线的交点M(3, 2
3
),则C 、D 的坐标分别是__________.
解析：根据中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+-=
+-=
,272
3,2
293yc
xc ∴⎪⎩⎪⎨⎧
==.
10,221C C y x ∴C(
2
21
,10).
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.262
3,2
23D D y x ∴⎩⎨
⎧-==.3,4D D y x ∴D(4,-3). 答案：C(
2
21
,10),D(4,-3) 10.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||=2,∠x OA =150°,则向量的坐标为____________.
解析：x=2×cos150°=3-,y=2·sin150°=1, ∴=(3-,1). 答案：(3-,1) 11.已知
ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),求顶点D 的坐标
.
解析一：如图,设AC 、BD 相交于O,则O 为AC 、BD 的中点,由O 为AC 的中点得O 点坐标为
(251+-,262+-),即O(2,2),设D(x,y),又由O 为BC 的中点得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+,22
1,22
3y x
解得⎩⎨
⎧==.
5,
1y x
∴顶点D 的坐标为(1,5).
解析二:如图,设D(x,y),再根据已知条件,可有=(4,1), =(6,8),
=(x+1,y+2).
∵+=, ∴⎩⎨
⎧=++=++.821,614y x 解得⎩⎨⎧==.
5,
1y x
所以顶点D 的坐标为(1,5). 答案：(1,5)
12.已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t ,试求
(1)t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在y 轴上?点P 在第一象限?
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t;若不能,请说明理由. 解析：(1)OA =(1,2), =(3,3), ∴OP =OA +t AB =(1+3t,2+3t).
若P 点在x 轴上,则2+3t=0,∴t=-32; 若P 点在y 轴上,则1+3t=0,∴t=3
1
-;
若P 点在第一象限,则⎩⎨
⎧>+>+,
032,031t t ∴t＞31
-.
(2)=(1,2),=(4,5)-(1+3t,2+3t)=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP 是平行四边形,则=, ∴⎩⎨
⎧-=-=t
t 332,
331无解.
∴四边形OABP 不能成为平行四边形. 走近高考
13.(2006山东高考,4)设向量a =(1,-3),b =(-2,4),若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )
A.(1,-1)
B.(-1,1)
C.(-4,6)
D.(4,-6) 解析：由题意得4a +(3b -2a )+c =0, 则c =-2a -3b =(4,-6). 答案：D
14.(2005全国高考卷Ⅱ,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0),设∠B AC 的平分线AE 与BC 相交于E,那么有=λ,其中λ等于( ) A.2 B.
2
1
C.-3
D.-31
解析：在△ABC 中, AC=1,BC=3,∴AB=2. 由内角平分线的性质知
1
2
==EC BE AC AB ,∴BE=2EC. ∴||=3||.又∵与反向,
∴=-3.∴λ=-3.
答案：C
15.若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b-a的坐标是( )
A.(3,-4)
B.(-3,4)
C.(3,4)
D.(-3,-4) 解析：2b-a=2(0,-1)-(3,2)=(0,-2)-(3,2)=(-3,-4).
答案：D。