高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算课件 理

4．曲线 y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：因为 y′＝x＋2 1，y′|x＝0＝2 所以切线方程为 y－0＝2(x－0)，即 y＝2x. 答案：y＝2x
12/13/2021
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第10节 导数的概念与计算 第十四页，共四十四页。
5．给出下列命题： ①y′＝f′(x)在点 x＝x0 处的函数值就是函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数 值． ②求 f′(x0)时，可先求 f(x0)再求 f′(x0)． ③曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ④与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ⑤若 f(x)＝f′(a)x2＋ln x(a>0)，则 f′(x)＝2xf′(a)＋1x. 其中正确的是________．
提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，切线斜 率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以 是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
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Δy Δx
＝
_____________________为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x
＝x0，即 f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝______________________.
②几何意义
函数 f(x)在 x＝x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0)) 处的__切__线__(q_iē_x_ià_n)_的_斜__率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地， 切线方程为___y_－__f(_x_0_)＝__f_′(_x_0_)(_x_－__x_0_) ______．
第10节 导数的概念与计算 第三页，共四十四页。
1．函数的平均变化率
(1)概念：对于函数 y＝f(x)，fxx22－－fxx11＝ΔΔxy，叫做函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的_平__均__(_pí变ngjū化n) 率．
(2)几何意义：函数 y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的 ___斜__率__(x_ié_lǜ_) ．
f′(x)＝___ax_l_n _a___
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第10节 导数的概念与计算 第七页，共四十四页。
f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝___ex___ f′(x)＝________ f′(x)＝_______
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(3)物理意义：函数 y＝f(x)表示变速运动的质点的运动方程，就是该质
点在[x1，x2]上的___平_均_____速度．
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第10节 导数的概念与计算 第四页，共四十四页。
2．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 ①定义
称 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率 lim Δx→0
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数 或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的 求导法则，减少运算量；
(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量， 确定复合过程，然后求导．
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第10节 导数的概念与计算 第五页，共四十四页。
(2)函数 f(x)的导函数 称函数 f′(x)＝__________________________为 f(x)的导函数．
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第10节 导数的概念与计算 第六页，共四十四页。
所以选项 B 正确；因为(3x)′＝3xln 3，所以选项 C 不正确；因为(x2cos x)′
＝2xcos x－x2sin x，所以选项 D 不正确．故选 B.
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第10节 导数的概念与计算 第十一页，共四十四页。
2．已知 f(x)＝13x3＋2xf′(3)＋ln x，则 f′(3)＝(
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的
导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 y＝f(ax
＋b)的复合函数)的导数.
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第10节 导数的概念与计算 第二页，共四十四页。
【教材导读】
曲线 y＝f(x)“在点 P(x0，y0)处的切线”与“过点 P(x0，y0)的切线”有何不 同？
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【即时训练】用导数的定义求函数 y＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数． 解：法一 Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1) ＝x2＋2x·Δx＋(Δx)2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1 ＝(2x－2)Δx＋(Δx)2，
法二 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1) ＝1＋2Δx＋(Δx)2－2－2Δx－1＋2＝(Δx)2，
所以 f′(1)＝lim Δ Δyx＝lim （ΔΔxx）2＝limΔx＝0. 故 f′(1)＝0.
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第10节 导数的概念与计算 第十六页，共四十四页。
考点一 导数的概念
利用导数的定义求函数
y＝
1 的导数． x
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第10节 导数的概念与计算 第十七页，共四十四页。
解：Δy＝
x＋1 Δx－
1＝ x
x－ x＋Δx x2＋x·Δx
(4)y＝1－1 x＋1＋1 x＝1－2 x y′＝（1－2 x）2＝（x－21）2.
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第10节 导数的概念与计算 第二十四页，共四十四页。
【反思归纳】 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进 行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；
3．f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等于( )
(A)139
(B)136
13 (C) 3
10 (D) 3
D 解析：因为 f′(x)＝3ax2＋6x，所以 f′(－1)＝3a－6＝4，解得 a＝130.
故选 D.
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第10节 导数的概念与计算 第十三页，共四十四页。
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝0 f′(x)＝__α_xα_－__1 __
f(x)＝sin x
f′(x)=__c_o_s_x___
f(x)＝cos x
f′(x)＝_－__s_in__x__
f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)
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第10节 导数的概念与计算 第十页，共四十四页。
1．下列求导运算正确的是( )
(A)x＋1x′＝1＋x12
(B)(log2x)＝xln1 2
(C)(3x)′＝3x·log3e
(D)(x2cos x)′＝－2xsin x
B 解析：因为x＋1x′＝1－x12，所以选项 A 不正确；因为(log2x)′＝xln1 2，
解：(1)∵y＝x12＋x5x＋2 sin x＝x－32＋x3＋sixn2 x， ∴y′＝(x－32)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－32x－52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x； (2)因为 y＝sin 2x(－cos 2x)＝－12sin x， 所以 y′＝(－12sin x)′＝－12(sin x)′＝－12cos x.
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第10节 导数的概念与计算 第二十三页，共四十四页。
(3)y′＝(ln 22xx－ ＋11)′＝[ln(2x－1)－ln(2x＋1)]′＝[ln(2x－1)]′－[ln(2x＋ 1)]′＝2x－1 1·(2x－1)′－2x＋1 1·(2x＋1)′＝2x－2 1－2x＋2 1＝4x24－1.
所以 f′(x)＝lim
ΔΔyx＝lim
（2x－2）Δx＋（Δx）2 Δx
＝liΔxm→0[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.
所以函数 f(x)＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数为
f12′(/113/)20＝21 2×1－2＝0.
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第10节
导数的概念与计算
第二十页，共四十四页。
)
28 (A) 3
(B)－238
(C)9
(D)－9
B 解析：因为 f′(x)＝x2＋2f′(3)＋1x，所以 f′(3)＝32＋2f′(3)＋13＝238＋
2f′(3)，解得 f′(3)＝－238，故选 B.
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第10节 导数的概念与计算 第十二页，共四十四页。
第二篇 函数、导数及其应用(yìngyòng)
(必修1、选修2-2)
第一页，共四十四页。
第 10 节 导数的概念与计算
最新考纲
1.了解导数概念的实际背景． 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3.能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，
y＝ x的导数.
③gf（（xx））′＝____________________________(g(x)≠0)． (2)复合函数的导数 复合函数 y＝f(ax＋b)的求导法则为[f(ax＋b)]′＝af′(ax＋b)．
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第10节 导数的概念与计算 第九页，共四十四页。
【重要结论】 1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同． 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数．
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第10节 导数的概念与计算 第十五页，共四十四页。
解析：①正确．根据导数的定义知其正确． ②错误．应先求 f′(x)，再求 f′(x0)． ③正确．如 y＝1 是曲线 y＝sin x 的切线，但其交点个数有无数个． ④错误．如 y＝0 与抛物线 y2＝x 只有一个公共点，但是 y＝0 不是抛 物线 y2＝x 的切线． ⑤正确．f′(x)＝[f′(a)x2＋ln x]′＝[f′(a)x2]′＋(ln x)′ ＝2xf′(a)＋1x. 答案：①③⑤
第10节 导数的概念与计算 第二十一页，共四十四页。
考点二 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝sin 2x1－2cos24x； (3)y＝ln22xx－＋11；
(4)y＝1－1 x＋1＋1 x .
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第10节 导数的概念与计算 第二十二页，共四十四页。
①求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
②计算平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fxx11；
③计算导数 f′(x)＝liΔxm→0
Δy Δx.
(2)利用定义法求解 f′(a)，可以先求出函数的导数 f′(x)，然后令 x＝a
即可求解，也可直接利用定义求解．
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第10节 导数的概念与计算 第八页，共四十四页。
4.导数的运算法则和复合函数的导数 (1)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝____f′_(x_)_±_g_′_(x_)_____； ②[f(x)·g(x)]′＝___f′_(x_)_g_(x_)_＋__f(_x_)g_′_(x_)____；
＝
－Δx x2＋x·Δx（ x＋
x＋Δx），
∴ΔΔyx＝
－1 x2＋x·Δx（ x＋
x＋Δx），
∴ ΔΔyx＝－2x1 x＝－12x－32，
即 y′＝－12x－32.
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第10节 导数的概念与计算 第十八页，共四十四页。
【反思归纳】 (1)求函数 f(x)导数的步骤