计量地理学第4章第3节 时间序列分析

三点移动
五点移动
3154.47 3141.19 3253.04 3334.21 3453.17 3520.07 3733.69 3914.72 4052.51 4121.45 4158.21 4160.01
3242.44 3263.32 3295.88 3461.80 3618.81 3692.89 3892.78 4019.78 4075.78 4148.58
为了强调在这个预测中自变量是时间这一事实， 我们用t来替代式中的x。另外，我们用Tt取代 y ， 因此被估计的销售量可表示为时间的函数，其表 达式如下：
式中: Tt——t期时间数列的趋势值； b0——线性趋势的截距； b1——线性趋势的斜率； t ——时间。
式中: Tt——t期时间数列的值； n ——时期的个数； T——时间数列的平均值，即: ——t的平均值，即 =∑t/n。
粮食产量 3149.44 3303.66 3010.30 3109.61 3639.21 3253.80 3466.50 3839.90 3894.66 4009.61 4253.25 4101.50 4119.88 4258.65 4401.79
三点滑动 3154.47 3141.19 3253.04 3334.21 3453.17 3520.07 3733.69 3914.72 4052.51 4121.45 4158.21 4160.01 4260.11
r1
(y
t 1 n 1 t 1
n 1
t
y t )( y t 1 y t 1 )
2 n 1 t 1
2 ( y y ) ( y y ) t t t 1 t 1
二阶自相关系数r2为
r2
(y
t 1
n2
t
y t )( y t 2 y t 2 )
ˆt k at bt K ct K 2 y
（二）趋势线法
三种最常用的趋势线 直线型趋势线 yt a bt 指数型趋势线
yt abt
2
抛物线型趋势线 yt a bt ct
利用趋势推测法进行预测：例题1
考虑某工厂过去10年的自 行车销售量时间数列，资 料见表1。第1年销售了 21 600辆，第2年销售了 22 900辆，…，第10年 （即最近一年）销售了 31 400辆。尽管图1显示在 过去10年中销售量有上、 下波动，但时间数列总的 趋势是增长的或向上的。
表1 自行车销售量时间数列 年 /t 1 2 销售量/ 年/t 千辆 21.6 22.9 6 7 销售量/ 千辆 27.5 31.5
3
4 5
25.5
21.9 23.9
8
9 10
29.7
28.6 31.4
不想关注时间数列的每一时间趋势成分和每一次 向上或向下的波动。但趋势成分将反映时间数列的 一种逐渐的变动，如这个例子中波动是向上的。在 观察了表1中的时间数列资料和图1之后，我们认为 在图2中显示的线性趋势，可对时间数列的长期运 动提供合理的描述。
若L=2，则称为五点滑动平均， 其计算公式为
ˆ t ( yt 2 yt 1 yt yt 1 yt 2 ) / 5 y
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004


季节变动和循环变动的比较

变动
周期规律

波动成因

季节
循环

固定周期 规律性低
自然因素 制度性因素



经济系统 的内部因素

（二）时间序列的组合模型 加法模型，假定时间序列是基于四种成份相加而成的。 长期趋势并不影响季节变动。若以Y表示时间序列，则 加法模型为： Y=T+S+C+I
乘法模型，假定时间序列是基于四种成份相乘而成的。 假定季节变动与循环变动为长期趋势的函数。该模型 的方程式为：
▲二次指数平滑法的预测公式 为
2) St( 2) St(1பைடு நூலகம் (1 )St( 1
二次指数平滑法的预测公式为
ˆt k at bt K y
其中
at 2S S
(1) t
( 2) t
bt ( S t(1) S t( 2 ) ) 1
② 高次指数平滑法 ▲ 三次指数平滑法的预测公式 为
i (i 0,1,2,, p) 为待估计的参数值，它们可以通 在以上各式中， 过最小二乘法估计获得。
三、季节性预测法
基本步骤： （1）对原时间序列求移动平均，以消除季节变动和不规 则变动，保留长期趋势； （2）将原序列y除以其对应的趋势方程值（或平滑值）， 分离出季节变动（含不规则变动）， 即： 季节系数= TSCI/趋势方程值（TC或平滑值）=SI
2 n2 t 1
(y
t 1
n2
t
yt ) ( yt 2 yt 2 ) 2
k阶自相关系数为
rk
(y
t 1 nk t 1
nk
t
yt )( yt k yt k )
nk t 1
2 2 ( y y ) ( y y ) t k t k t k
yt
108 109 115 121 127 135 133 141 151 153 167
yt+1
109 115 121 127 135 133 141 151 153 167 170
yt+2
115 121 127 135 133 141 151 153 167 170 176
2.自回归模型的建立
五点滑动
3242.44 3263.32 3295.88 3461.80 3618.81 3692.89 3892.78 4019.78 4075.78 4148.58 4227.01
3.指数平滑法
① 一次指数平滑
ˆ t 1 y
j ˆt ( 1 ) yt j yt (1 ) y j 0
季节变动（S），是时间序列在一年中或固定时间内， 呈现出的固定规则的变动。
季节周期：
—通常以“年”为周期、 —也有以“月、周、日”为周期的—准季节变动。
本例给出了1992年第一季度至2008年第三季度我 国GDP季度数据（单位：亿元）。
4
循环变动（S），是指沿着趋势线如钟摆般地循环变动， 又称景气循环变动(Business Cycle Movement) 。
108 109 115 121 127 135 133 141 151 153 167 170 176
二阶自相关 年份 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 粮食产量 108 109 115 121 127 135 133 141 151 153 167 170 176
根据计算b0和b1的关系式及表11-1的自行车销售量资料，有如下计算结果:
因此，自行车销售量时间数列的线性趋势成分的表达式为
Tt=20.4+1.1t
（三）自回归模型
1.自相关性判断 ①时间序列的自相关，是指序列前后期数值之间的相关关系， 对这种相关关系程度的测定便是自相关系数。 ② 测度:设y1，y2，…，yt，…，yn，共有n个观察值。把前后相 邻两期的观察值一一成对，便有（n－1）对数据，即(y1,y2)， (y2,y3)，…，(yt,yt+1)，…，(yn-1,yn)。其一阶自相关系数r1为
2. 滑动平均法 ：其计算公式为
ˆt y 1 ( yt l yt (l 1) yt 1 yt yt 1 yt l ) 2l 1
ˆ t 为t点的滑动平均值，L为单侧平滑时距。 y 式中，
若L=1，则上式称为三点滑动平均，其计算公式为
ˆ t ( yt 1 yt yt 1 ) / 3 y
图1 自行车销售时间序列图形
图2 用线性函数对自行车销售量的趋势描述
用自行车销售量的资料，来说明应用回归分析确 定线性趋势的计算问题。用最小二乘法来发现两个变 量的线性关系，建立自行车销售量时间数列的线性趋 势的方法。回归分析来估计时间和销售量之间的关系。 描述自变量x和因变量y之间线性关系的估计回归方程 为：
尽管一个时间数列可以显示长期趋势，但时间数
列的所有未来值不可能准确地落在趋势线上。事实上，
时间数列常常呈现环绕趋势线上、下的波动。任何时 间间隔超过一年的环绕趋势线上、下的波动都可归结 为时间数列的循环成分。
如：经济增长中：“繁荣－衰退－萧条－复苏－
繁荣”—商业周期。 固定资产或耐用消费品的更新周期等。
ˆ t为t点的移动平均值，n称为移动时距。 y 式中，
移动平均法使用时间数列中最近几个时期数 据值的平均数作为下一个时期的预测值。因此， 移动平均数的计算公式如 下：
使用“移动”项是因为每一时期新的观测值 对时间数列都是有用的，用它代替式中最旧的观 测值，可计算一个新的平均数。因此，当新的观 测值变得有用时，平均数将变化或移动。
时间序列分析
时间序列分析的基本原理 趋势拟合方法 季节变动预测
一、时间序列分析的基本原理
（一）时间序列的组合成份 长期趋势（T），是时间序列随时间的变化而逐渐增加或 减少的长期变化之趋势。
在时间数列的分析中，可以每小时、每天、每星期、每月、 每年或每隔任何一段时间进行测量。尽管时间数列的资料一般 呈现随机起伏的形态，但在一段较长的时间内，时间序列仍然 呈现逐渐增加或逐渐减少的转变或变化。时间数列的逐渐转变 称为时间数列的趋势，这种转变或趋势通常是长期因素影响的 结果，如人口总量的变化、人口总体统计特征的变化、方法的 变化和顾客偏爱的变化等都是长期因素。
Y T C S I
二、趋势拟合方法 （一）平滑法
时间序列分析的平滑法主要有三类 ： 1.移动平均法 : 设某一时间序列为 y1 ， y2， … ， yt，则 t+1时刻的预测值为：
yt yt 1 yt n1 1 n1 1 ˆ t 1 yt j ˆ t ( yt yt n ) y y n j 0 n n
不规则变动（I），是指在时间序列中由于随机因素影响 所引起的变动。
时间数列的不规则成分是剩余的或“包罗万象” 的因素，它用来说明在分离了趋势、循环和季节成 分的给定期望值后，时间数列值的真正偏差。不规 则成分是由那些影响时间数列的短期的、不可预期 的和不重复出现的因素引起的。因为这种成分说明 时间数列中的随机变动、所以它是无法预测的，我 们不能预测它对时间数列的影响。
n 1
α 为平滑系数。一般时间序列较平稳， α 取值可小 一些[一般取α∈（0.05, 0.3）] ；若时间序列数据起伏 波 动 比 较 大 ， 则 α 应 取 较 大 的 值 [ 一 般 取 α∈ （ 0.7, 0.95）]。
② 高次指数平滑法 ▲一次指数平滑法
1) St(1) yt (1 )St( 1
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
粮食产量 3149.44 3303.66 3010.30 3109.61 3639.21 3253.80 3466.50 3839.90 3894.66 4009.61 4253.25 4101.50 4119.88 4258.65 4401.79
常见的线性自回归模型： ① 一阶线性自回归预测模型为
yt 0 1 yt 1 t
② 二阶线性自回归预测模型为 yt 0 1 yt 1 2 yt 2 t ③ 一般地，p阶线性自回归模型为 yt 0 1 yt 1 p yt p t
一阶自相关 年份 粮食产量
yt
108 109 115 121 127 135 133 141 151 153 167 170
yt+1
109 115 121 127 135 133 141 151 153 167 170 176
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004