河北省石家庄市辛集市中学2021届高三数学第三次月考试题 理(含解析).doc

河北辛集中学2021级高三上学期第三次阶段考试
高三数学（理科）试卷
一．选择题
1.若命题p 为：[
)1,,sin cos x x x p ∀∈+∞+⌝为（ ） A. [
)1,,sin cos x x x ∀∈+∞+>B. [
),1,sin cos x x x ∃∈-∞+>C. [
)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>D. (
),1,sin cos x x x ∀∈-∞+≤【答案】C 【解析】 【分析】
根据全称命题的否定为特称命题即可得到结果.
【详解】根据p ⌝的构成方法得，p ⌝为[
)1,,sin cos x x x ∃∈+∞+>故选C. 【点睛】全称命题的一般形式是：x M ∀∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∃∈⌝.存在性命题的一般形式是x M ∃∈，()p x ，其否定为(),x M p x ∀∈⌝.
2.若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
是纯虚数，则tan()
θ-π的
值为( )
A. 3
4
±
B.
43
C. 34
-
D. 4
3
-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34
sin (cos )55
z i θθ=-
+-是纯虚数，
则3sin 05θ-=且4
cos 05
θ-≠， 所以3
sin 5
θ=，4cos 5θ=-，
所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3
tan 4
θ=-． 故选C ．
【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题. 3.已知等差数列{n a }的前n 项和为n S , 1315310a a a ++=,则9S 的值为 A. 14 B. 20
C. 18
D. 16
【答案】C 【解析】 【分析】
将条件1315310a a a ++=用首项、公差来表示，得到5a ，再由等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质求S 9． 【详解】
1315111332d 14a a a a a a d ++=++++=51a +20d=10，
∴1a +4d=2，即5a =2， 则9S =
19
92
a a +⨯=5918a ⨯=. 故选C.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，应用了等差数列的性质，是基础题． 4.朱载堉（1536—1611），明太祖九世孙，音乐家、数学家、天文历算家，在他多达百万字的著述中以《乐律全书》最为著名，在西方人眼中他是大百科全书式的学者王子．他对文艺的最大贡献是他创建了“十二平均律”，此理论被广泛应用在世界各国的键盘乐器上，包括钢琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八度有13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最初那个音频率的2倍，设第二个音的频率为2f ，第八个音的频率为8f ，则
8
2
f f 等于（ ）
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ，推导出q=
112
2，由此能求出8
2
f f 的值．
【详解】依题意13个音的频率成等比数列，记为{a n }，设公比为q ， 则13a =12
1a q ，且13a =2a 1，∴q=
112
2，
∴82f f =82
a a =q 6
=6
1122⎛⎫= ⎪⎝⎭
． 故选A ．
【点睛】本题考查两个频率的比值的求法，考查等比数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.已知实数,x y 满足约束条件20220240x y x y x y -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪--≤⎩
，若(12)z y ax a =-≤≤的最小值为M ，最
大值为N ，则M
N
的取值范围是 A. 3[1,]2
B. 3
[,1]2
-
- C 3[,0]2
-
D. 31[,]22
--
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域，利用z 的几何意义求得最大及最小值即可求解 【详解】画出可行域如图阴影所示：
化z y ax =-为斜截式,y ax z =+,当直线过C 时z 最大，联立20
220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩
得C
（24
33
-，）；当直线过B 时z 最小，此时B （2，0），故
N=423 ,
2,1?2
22
331
33
M a
a M a a
a
N
a
--
+=-==≤≤
++
，
则
M
N
的取值范围是
3
,1
2
⎡⎤
--
⎢⎥
⎣⎦
故选B
【点睛】本题考查线性规划，利用z的几何意义准确计算是关键，是基础题
6.在平面直角坐标系xOy中，()()()()()()
1122
1,0,1,0,4,0,0,4,,,,
A B M N P x y Q x y
-，若
11
3,
22
AP BP OQ t OM t ON
⎛⎫⎛⎫
==-++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，则PQ的最小值是（）
A. 322
B. 422
-
C. 222
D. 22
-
【答案】C
【解析】
【分析】
根据·3
AP BP=，判断出P在以原点为圆心，半径为2的圆上，根据11
22
OQ t OM t ON
⎛⎫⎛⎫
=-++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
得到,,
Q M N三点共线，利用圆心到直线MN的距离减去半径2，求得PQ的最小值.
【详解】由于·3
AP BP=，即()()22
112211
1,1,13
x y x y x y
+⋅-=+-=，即22
11
4
x y
+=，所
以P 在以原点为圆心，半径为2的圆上.11
22OQ t OM t ON ⎛⎫⎛⎫
=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
得到,,Q M N 三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，PQ 的最小值等于圆心到直线MN 的距离减去半
径2，直线MN 的方程为
144
x y
+=，圆心到直线的距离为4222=，故PQ 的最小值是222-，故选C.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三点共线的向量表示，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 7.已知函数()f x 与
'()f x 的图象如图所示，则函数()
()x f x g x e
=
（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）
A. (0,4)
B. (,1)-∞，4,43⎛⎫
⎪⎝⎭
C. 40,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D. (0,1)，
(4,)+∞
【答案】D
【解析】
分析：结合函数的图象求出()()0f x f x '-<成立的x 的取值范围，即可得到结论． 详解：结合函数的
图象可知：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<， 又由()
()x f x g x e =
，则()()()x
f x f x
g x e
-''=， 令()0g x '<，解得(0,1)(4,)x ∈⋃+∞，
所以函数()g x 的递减区间为(0,1),(4,)+∞，故选D ．
点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到()()0f x f x '-<，进而得到()0g x '<的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．
8.已知椭圆 22
221(0)x y a b a b
+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，
使1(,0)2
MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为 A. 2(
,1)2
B. 2(0,
2
C. 3
D. 3) 【答案】A 【解析】
由题意00M a N a -（，），（，）． 设00H x y （，） ，则2222
02 ()b y a x a
．
=- 222
2202000222
220000()1,02MH NH
b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⎛⎫∴=⋅===-∈- ⎪+---⎝⎭
可得：222
2
12 1(0)(1)2c a e e a -=-∈-∴∈，， 故选A ．
9.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱111,,CD CC A B 的中点，用过点,,E F G
的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为( )
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】
取1AA 的中点H ，连GH ，则GH 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面11A B BA 的交线． 延长GH ，交BA 的延长线与点P ，连E P ，交AD 于N ，则NE 为过点E ，F ，G 的平面与正方体的面ABCD 的交线．
同理，延长EF ，交11D C 的延长线于Q ，连GQ ，交11B C 于点M ，则FM 为过点E ，F ，
G 的平面与正方体的面11BCC B 的交线．
所以过点E ，F ，G 的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN ．
故可得位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为选项C 所示．选C ．
10.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作圆222x y a +=的
切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±
B. 3y x =±
C. y x =±
D.
2y x =±
【答案】A 【解析】 【分析】
作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，可得2a 2OA F B BM a ===，
，222F M a =，12F B b =，结合双曲线定义可得2b a =从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】如图，作OA ⊥1F M 于点A ，21F B F M ⊥于点B ，
∵1F M 与圆222
x y a +=相切，1245F MF ∠=︒
∴2a 2OA F B BM a ===，
，222F M a =，12F B b = 又点M 在双曲线上，
∴1222222a F M F M a b a -=+-= 整理，得2b a =，
∴
2b
a
=∴双曲线的渐近线方程为2y x = 故选A
【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.
11.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且
·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是 A.
73
B. 6
C.
132
D. 【答案】B 【解析】
【详解】设直线AB 的方程为x ty m =+，点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 与x 轴交点为
()0M m ，
∴联立2
{
x ty m y x
=+=，可得2
y ty m =+，根据韦达定理得12y y m ⋅=-． ∵·6OAOB =
∴12126x x y y +=，即()2
121260y y y y ⋅+⋅-= ∵,A B 位于x 轴的两侧 ∴123y y ⋅=- ∴3m =
设点A 在x 轴的上方，则10y >
∵1,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴()12121111111113319434()26224222S S y y y y y y y y +=
⨯⨯-+⨯⨯=++=+≥ 当且仅当11922y y =，即13
2
y =时取等号 ∴124S S +最小值是6
故选B
点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再
求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
12.已知实数a b c d ,,,满足1211c
a c d
e b --==-，其中e 是自然对数的底数，则
()()
22
a c
b d -+-的最小值为（ ）
A. 18
B. 12
C. 10
D. 8
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知得点(,)a b 在直线2y x =-上，点(,)c d 在曲线2x
y x e =-上，()()22
a c
b d -+-的
几何意义就是直线2y x =-到曲线2x
y x e =-上点的距离最小值的平方，由此能求出
()()
22
a c
b d -+-的最小值.
【详解】实数a b c d ,,,满足1211c
a c d e
b --==-，
2,2c d c e b a ∴=-=-，
∴点(,)a b 在直线2y x =-上，点(,)c d 在曲线2x y x e =-上，
()()
22
a c
b d -+-的几何意义就是直线2y x =-到曲线2x
y x e =-上点的距离最小值的
平方，
考查曲线2x
y x e =-平行于直线2y x =-的切线，
12x y e '=-，令121x y e '=-=-，
解得0x =，切点为(0,2)-，
该切点到直线2y x =-的距离
d =
=
离，故()()2
2
a c
b d -+-的最小值为28d =. 故选：D
【点睛】本题主要考查了代数式最小值的
求法，曲线的切线，导数的几何意义，点到直线的距离，两点间距离公式，属于难题
. 二、填空题 13.已知1sin()3απ+=，则sin cos 2αα
的值为__________． 【答案】3
7
- 【解析】 【分析】 由()1sin 3απ+=得1
sin 3
α=-，然后根据倍角公式将cos2α用sin α表示后可得所求结果．
【详解】∵()sin sin απα+=-， ∴1sin 3
α=-
， ∴221
sin sin 3cos212sin 1123αααα-
==-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
37=-．
故答案为37
-
． 【点睛】本题考查利用三角变换求值，解题时注意变换公式的灵活运用，属于基础题． 14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 是棱1BB 上一点，若异面直线1AC 与PD 所
成角的余弦值为
11
33
，则BP =_______.
【答案】1
【解析】 【分析】
由空间向量的方法，根据异面直线1AC 与PD 所成角的余弦值为
11
33
，即可求出B P 的长
. 【详解】以D 为坐标原点，以DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴,1
DD 方向为z 轴，建立空间
直
角
坐
标
系
，
设
B P a
=，则
()()()()()1D 0,0,0,A 4,0,0B 4,4,00,4,44,4,C P a ，，，，，
所以()()14,4,4,4,4DP a AC ==-，
，设异面直线1AC 与PD 所成的角为θ， 则112111cos 333243
DP AC cosDP AC DP AC a θ====+⨯，，解得1a =，即B 1P =. 故答案为1
【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.
15.已知函数()()2
12,1
{
?1
1,1x x f x x x
--+≤=+>下列四个命题：
①f(f(1))>f(3)； ②∃x 0∈(1,+∞),f'(x 0)=-1/3； ③f(x)的极大值点为x=1； ④∀x 1,x 2∈(0,+∞),|f(x 1)-f(x 2)|≤1 其中正确的有_________（写出所有正确命题的序号） 【答案】① ② ③ ④ 【解析】
函数()f x 的图形如图所示，对于① ，()()()()()34
12,12,323f f
f f f ====，①正
确；对于② ，1x > 时，()211',3
f x x x =-
=-⇒= ②正确；对于③，根据图形可判断③ 正确；对于④ ，()0,x ∈+∞ 时，
()()()()121212,,0,,1f x x x f x f x <≤∴∀∈+∞-≤ ，故④正确，故答案为① ② ③ ④.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数的极值，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
16.已知P 为椭圆
2
2198
x y 上一个动点，直线l 过圆()2
211x y -+=的圆心与圆相交于
,A B 两点，则PA PB ⋅的取值范围为_________.
【答案】[]3,15 【解析】 【分析】
设(3cos ,)P θθ，由圆()2
211x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =，由于
2,PA PB PC PB PA AB +=-=利用数量积的运算性质和余弦函数的单调性，二次函数的
最值，即可求出范围.
【详解】设(3cos ,)P θθ,
圆()2
211x y -+=的圆心(1,0)C ，半径1r =
2,PA PB PC PB PA AB +=-=,
222222
24,2PA PB PA PB PC PA PB PA PB AB ∴++⋅=+-⋅=
22
44PA PB PC AB ∴⋅=-
2
2
2211
(3cos 1))444
PA PB PC AB θθ∴⋅=-
=-+-⨯ 2cos 6cos 8θθ=-+ 2(cos 3)1θ=--
当cos 1θ=时取得最小值3，当cos 1θ=-时取得最大值15，
则PA PB ⋅的取值范围为[]3,15， 故答案为：[]3,15
【点睛】本题主要考查了向量的平行四边形法则、三角形法则，数量积的运算性质，椭圆的参数方程，圆的对称性，余弦函数的性质，属于难题. 三、解答题
17.已知在△ABC 中，23
C π∠=． （1）若225c a ab =+，求
sin sin B
A
； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． 【答案】(1)2 (2)14
【解析】 【分析】
（1）由余弦定理即题设可得2b a =，进而利用正弦定理可求得sin 2sin B
A
=； （2）由（1）知3
A B π
∠+∠=
，利用三角函数恒等变换的应用，化简可得sin sin A B -=
11
sin(2)264
A π+-，利用正弦函数的图象与性质，即可求解最大值. 【详解】（1）由余弦定理及题设
，得
．
由正弦定理，，得．
（2）由（1）知．
．
因为，所以当，取得最大值．
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换的应用和三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查了转化思想和推理与运算能力，属于基础题.
18.设数列{}n a 的前n 项和是n S ，且n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列，已知11a =，3246234S S S ++=.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）若12
21
2n n n n n a a b a a ++++=
+-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) n a n = (2) 1122
n -+ 【解析】
试题分析：(1)利用等差数列基本公式求出公差得到{}n a 的通项公式； （2）1112
n b n n =
-++，利用裂项相消法求出数列{}n b 的前n 项和n T . 试题解析： （1）记n n S c n =
，∴1111
S
c ==，又{}n c 为等差数列，公差记为
d ， 2432c c c +=，∴32c =，得12d =，∴12n n c +=，得22
n n n
S +=
2n ≥时，1n n n a S S n -=-=，1n =时也满足.综上n a n =
（2）由（1）得12221n n n b n n ++=
+-++ ()()1111212n n n n ==-++++ ∴11111
1233412n T n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=+-++
-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1122
n =
-+， 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为()11n a n n =
+，求前n 项和： ()111
11
n a n n n n ==-++；
（2）已知数列的通项公式为()()1
2121n a n n =
-+，求前
n 项和：
()()1
111212122121n a n n n n ⎛⎫
=
=- ⎪-+-+⎝⎭
；
（3）已知数列的通项公式为1
n a n n =
++，求前n 项和:.
11
n a n n n n =
=+-++
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．
（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由； （Ⅱ）当二面角D FC B --2
PB 与平面ABCD 所成的角． 【答案】（1）见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】
（Ⅰ）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，得到故//AE FQ 且AE FQ =，进而得到
//AF EQ ，利用线面平行的判定定理，即可证得//AF 平面PEC .
（Ⅱ）以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设FD a =，求得平面FBC 的法向量为
m ，和平面DFC 的法向量n ，利用向量的夹角公式，求得3a =PBD ∠为直
线PB 与平面ABCD 所成的角，即可求解.
【详解】（Ⅰ）在棱AB 上存在点E ，使得//AF 平面PCE ，点E 为棱AB 的中点． 理由如下：取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，由题意，//FQ DC 且1
2
FQ CD =
，
//AE CD 且1
2
AE CD =，故//AE FQ 且AE FQ =.所以，四边形AEQF 为平行四边形.
所以，//AF EQ ，又EQ ⊥平面PEC ，AF ⊥平面PEC ，所以，//AF 平面PEC . （Ⅱ）由题意知ABD ∆为正三角形，所以ED AB ⊥，亦即ED CD ⊥，
又90ADP ∠=︒，所以PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面
ABCD AD =，
所以PD ⊥平面ABCD ，故以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设FD a =，则由题意知()0,0,0D ，()0,0,F a ，()0,2,0C ，)
3,1,0B
，
()0,2,FC a =-，(
)
3,1,0CB =
-，
设平面FBC 的法向量为(),,m x y z =，
则由00m FC m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩得2030y az x y -=⎧⎪⎨-=⎪
⎩，令1x =，则3y =3z a =，
所以取231,3,m ⎛= ⎝⎭
，显然可取平面DFC 的法向量()1,0,0n =， 由题意：2
2
cos ,4
1213m n a
==
++，所以3a =.
由于PD ⊥平面ABCD ，所以PB 在平面ABCD 内的射影为BD ， 所以PBD ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 易知在Rt PBD ∆中，tan 3PD
PBD a BD
∠=
==，从而60PBD ∠=︒， 所以直线PB 与平面ABCD 所成的角为60︒.
【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和直线与平面所成角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，着重考查了分析问题和解答问
题的能力.
20.已知点M 是圆1F ：22(36x y ++=上的一动点，点2F ，点P 在线段1MF 上，且满足22()0PM PF MF +⋅=. （1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设曲线C 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴的交点分别为点A ，B ，斜率为
1
3
的动直线l 交曲线C 于D 、E 两点，其中点D 在第一象限，求四边形ADBE 面积的最大值.
【答案】（1）2
219
x y +=；
（2）【解析】 【分析】
（1）由向量的数量积的运算，可得2PF PM =，化简得12126PF PF F F +=>=利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程． （2）设直线l 的方程为1
3
y x m =
+，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得 1212,x x x x +和DE
，在利用点到直线的距离公式，求得点A 到直线DE 的距离1d 和点B
到直线DE 的距离为2d ，得出四边形ADBE 面积，即可求解． 【详解】（1）由题意，()()()
2222PM PF MF PM PF PF PM +⋅=+⋅-
22
20PF PM =-=，
∴2PF PM =.
∴1211PF PF PF PM FM +=+= 126F F =>=， ∴点P 的轨迹是以点1F ，2F 为焦点且长轴长为6的椭圆，
即26a =，2c =，∴3a =，c =2221b a c =-=.
即点P 的轨迹C 的方程为2219
x y +=.
（2）由（1）可得()3,0A ，()0,1B .
设直线l 的方程为1
3
y x m =
+，由点D 在第一象限，得11m -<<，()11,D x y ，()22,E x y ， 由2213
99
y x m x y ⎧
=+⎪⎨⎪+=⎩，得2226990x mx m ++-=， 则123x x m +=-，212992m x x -=
，DE =
=，
点A 到直线DE
的距离为
131m d +=
=，点B 到直线DE
的距离为
231m d -=
=
∴四边形ADBE 面积()121
2
ADE BDE S S S DE d d ∆∆=+=
⨯+
12=
=， 又11m -<<，∴当0m
=时，S 取得最大值
即四边形ADBE 面积的最大值为【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知函数()()1x
f x a x e =--，x ∈R ．
（1）求函数()f x 的单调区间及极值； （2）设()()
2
2
ln m g x x t x t ⎛
⎫=-+- ⎪⎝
⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，
使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．
【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有
极大值且为1
(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1
e
-
【解析】 【分析】
（1）通过求导，得到导函数零点为1x a =-，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为()1f a -，无极小值；（2）由()f x 最大值为0且()0g x ≥可将问题转化为
ln x x
m
=
有解；通过假设()ln h x x x =，求出()h x 的最小值，即为m 的最小值. 【详解】（1）由()()1x
f x a x e =--得：()()1x
f x a x e '=--
令()0f x '=，则()10x
a x e --=，解得1x a =-
当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '> 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<
()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞
当1x a =-时，函数()f x 有极大值()1
11a f a e
--=-，()f x 没有极小值
（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0
010f e =-= 又因为()()
2
2
ln 0m g x x t x t ⎛
⎫=-+-≥ ⎪⎝
⎭
∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =
x t ∴=，ln m
x t =
等价于方程ln x x
m
=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解
记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞
()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e
=
当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，()h x 单调递减
当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>，()h x 单调递增
所以当1x e =
时，()min 1h x e
=- 所以实数m 的最小值为1e - 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t
=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．
（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；
（2）若射线π(0)2θαα=<<
与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||
ON OM 的最大值. 【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=
（21
【解析】
【分析】
（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；
（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．
【详解】（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，
由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ
=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，
设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρ
θ=，即8cos ρθ=，
所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．
（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=
+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα
=+，||8cos ON α=，
所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝
⎭，
所以当π8
α=时，||||ON OM 1． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．。