2020高考文科数学一轮复习题平面解析几何(必修2、选修1-1)第2节【圆与方程】

2020 高考文科数学一轮复习题平面分析几何（必修2、选修 1-1）
第 2 节【圆与方程】
【选题明细表】
知识点、方法题号
圆的方程1,3,6,9
点与圆的地点关系2,7
与圆相关的最值 ( 取值 ) 问题4,11,12,14
与圆相关的轨迹问题5,8
圆的综合问题10,13
基础稳固 ( 时间 :30 分钟 )
1.(2018 ·全国名校第四次大联考) 若方程 4x2 +4y2-8x+4y-3=0 表示圆 , 则其圆心为 ( D)
(A)(-1,-) (B)(1,)
(C)(-1,) (D)(1,-)
分析 : 圆的一般方程为x2+y2-2x+y- =0,
据此可得 , 其圆心坐标为 (- ,- ), 即 (1,- ).
应选 D.
2.(2018 ·七台河市高三期末 ) 已知圆 C:x 2+y2-2x-4y=0, 则以下点在圆 C内的是 ( D )
(A)(4,1) (B)(5,0) (C)(3,4) (D)(2,3)
分析 : 圆 C化为标准方程为 (x-1) 2+(y-2) 2=5,
将选项一一代入 , 可得 (2,3) 在圆 C内,
应选 D.
3.(2018
2 2
圆心坐标为 (5,0), 则它的半径为 ( D ) ·青岛二模 ) 已知圆的方程 x +y +2ax+9=0,
(A)3 (B) (C)5 (D)4
可得 a=-5, 故它的半径为= =4, 应选 D.
4.(2018 ·兰州市一模 ) 已知圆 C:(x-
2
+(y-1)
2
若圆 C 上存在点 P, ) =1 和两点 A(-t,0), B(t,0)(t>0),
使得∠ APB=90°, 则 t 的取值范围是 ( D )
(A)(0,2] (B)[1,2] (C)[2,3] (D)[1,3]
分析 : 圆 C:(x-) 2+(y-1) 2=1 的圆心 C( ,1), 半径为 1, 因为圆心 C到 O(0,0) 的距离为 2,
因此圆 C 上的点到点 O的距离的最大值为3, 最小值为 1, 再由∠ APB= 90°, 以 AB为直径的圆和圆C 有
交点 , 可得 PO= AB=t, 故有 1≤ t ≤ 3, 应选 D.
5.(2018 ·淄博调研 ) 点 P(4,-2) 与圆 x2+y 2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( A )
(A)(x-2) 2+(y+1) 2=1 (B)(x-2) 2+(y+1) 2=4
(C)(x+4) 2+(y-2) 2=4 (D)(x+2) 2+(y-1) 2=1
分析 : 设圆上任一点为Q(x0,y 0),PQ 的中点为 M(x,y),则解得
因为点 Q在圆 x2+y2=4 上 ,
因此+ =4,
即 (2x-4) 2+(2y+2) 2=4,
化简得 (x-2) 2+(y+1) 2=1. 应选 A.
6.(2018·天津卷) 在平面直角坐标系中, 经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程
为.
2 2
分析 : 法一设圆的方程为x +y +Dx+Ey+F=0.
因此解得
因此圆的方程为x 2+y2-2x=0.
法二画出表示图如下图, 则△ OAB为等腰直角三角形, 故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,因此所求圆的方程为 (x-1) 2 +y2=1, 即 x2+y 2-2x=0.
答案 :x 2+y2-2x=0
7. 已知圆 C 的圆心在x 轴上 , 而且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,) 在圆 C 内, 则 m 的取值范围为.
分析 : 设圆心为 C(a,0),由|CA|=|CB|,
得 (a+1) 2+12=(a-1) 2+32, 解得 a=2.
半径 r=|CA|==.
故圆 C的方程为 (x-2) 2+y2=10.
由题意知 (m-2) 2+() 2<10,
解得 0<m<4.
答案 :(0,4)
8. 已知点 P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点 . 则 M的轨迹方程为.
分析 : 圆 C的方程可化为x2+(y-4) 2=16,
因此圆心为C(0,4),半径为4,
设 M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y),
由题设知·=0,
故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,
即 (x-1) 2+(y-3) 2=2.
因为点 P 在圆 C内部 , 因此 M的轨迹方程是 (x-1) 2+(y-3) 2=2.
答案 :(x-1)2+(y-3) 2=2
能力提高 ( 时间 :15 分钟 )
9.(2018 ·吴忠模拟 ) 与直线 x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( C
(A)(x+1) 2+(y+1) 2=2 (B)(x+1) 2+(y+1) 2=4
(C)(x-1) 2+(y+1) 2=2 (D)(x-1) 2+(y+1) 2=4
分析 : 由题意圆 x 2+y 2+2x-2y=0 的圆心为 (-1,1), 半径为,
因此过圆心 (-1,1) 与直线 x-y-4=0 垂直的直线方程为x+y=0,
所求的圆的圆心在此直线上, 清除 A,B,
因为圆心 (-1,1)到直线x-y-4=0的距离为=3 , 则所求的圆的半径为,
应选 C.
10.若直线 ax+2by-2=0(a>0,b>0) 一直均分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长 , 则 + 的最小值为 ( D )
(A)1(B)5
(C)4(D)3+2
分析 : 由题意知圆心C(2,1) 在直线 ax+2by-2=0 上,
因此 2a+2b-2=0, 整理得 a+b=1,
因此+ =( + )(a+b)=3++
≥ 3+2=3+2,
当且仅当= , 即 b=2-,a=-1 时, 等号建立 .
因此+ 的最小值为3+2 . 应选 D.
11. 过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与x 轴 ,y 轴的正半轴交于A,B 两点 , 则 |AB| 的最小值为 ( C)
(A)( B)( C)2(D)3
分析 : 设圆上的点为 (x 0,y 0), 此中 x0>0,y 0>0, 则切线方程为x0x+y 0y=1. 分别令 x=0,y=0 得 A(,0),B(0,
), 则 |AB|==≥=2. 当且仅当 x0=y 0时 , 等号建立 .
12. 已知圆 C:(x-3) 2 +(y-4) 2=1, 设点 P 是圆 C上的动点 . 记 d=|PB| 2+|PA| 2, 此中 A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为.
分析 : 设 P(x 0,y 0),d=|PB|2+|PA| 2=+(y 0+1) 2+ +(y 0-1) 2=2( + )+ 2.+为圆上任一点到原点距离
的平方 , 因此 ( + ) max=(5+1) 2=36, 因此 d max=2×36+2=74.
答案 :74
13. 已知以点 P 为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直均分线交圆P于点 C和 D, 且|CD|=4
.
(1)求直线 CD的方程 ;
(2)求圆 P的方程 .
解 :(1) 直线 AB的斜率 k=1,AB 的中点坐标为 (1,2).
因此直线 CD的方程为 y-2=-(x-1),
即 x+y-3=0.
(2) 设圆心 P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0.①
又直径 |CD|=4,
因此 |PA|=2.
因此 (a+1) 2+b2=40. ②
由①②解得或
因此圆心 P(-3,6)或P(5,-2),
因此圆 P 的方程为 (x+3) 2+(y-6) 2=40 或 (x-5) 2+(y+2) 2=40.
14.已知 M(m,n)为圆 C:x 2+y2 -4x-14y+45=0 上随意一点 .
(1) 求 m+2n的最大值 ;
(2) 求的最大值和最小值.
解 :(1) 因为 x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2, 设 m+2n=t, 将 m+2n=t 当作直线方程 , 因为该直线与圆有公共点,
因此圆心到直线的距离d=≤2,
解上式得 16-2≤t≤16+2,
因此所求的最大值为16+2.
(2) 记点 Q(-2,3),因为表示直线MQ的斜率k,
因此直线 MQ的方程为 y-3=k(x+2),
即 kx-y+2k+3=0.
由直线 MQ与圆 C有公共点 ,
得≤ 2 .
可得 2-≤ k≤ 2+, 因此的最大值为2+, 最小值为 2-.。