江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题

江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高
一上学期期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．以下各角中，是第二象限角的为（ ） A ．83
π-
B ．76
π-
C ．
76
π D ．
53
π 2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cm
B ．26cm
C ．28cm
D ．216cm
3．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③0a λ=（λ为实数），则λ必为零. ④,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线. 其中正确的命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知,,,O A B C 为同一平面内的四个点，若20AC CB +=，则向量OC 等于（ ）
A ．
2133
OA OB - B ．12
33OA OB -+
C ．2OA OB -
D ．2OA OB -+
5．已知3log 5a =，1
ln 2
b =， 1.11.5
c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
6．已知函数()sin f x x x =，设,,763a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．c b a >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
7．已知π1
sin 34α⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
58 B ．78
-
C ．58
-
D ．
78
8．x ∈[0，2π]，y ）
A ．0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．,2ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．3,
2
ππ⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
D ．3,22ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
9．已知函数3()cos 223f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝⎭
，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的是（ ） A ．将()f x 图象向左平移12
π
个单位可得到3
sin22
y x =
的图象 B ．将()f x 图象向右平移6
π
个单位，所得图象关于()0,0对称 C ．56
x π
=
是函数()f x 的一条对称轴 D ．最小正周期为
2
π 10．函数f(x)=x
13⎛⎫ ⎪⎝⎭
-|sin 2x|在5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数为( ) A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
11．已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭
，则8cos 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）
A ．4
5
-
B ．
35
C ．
35
D ．
45 12．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ） A ．(
,)42
ππ
B ．3(,)24
ππ
C ．(,)24
π
π
-
- D ．5(,
)4
ππ
二、填空题
13．已知函数2,2
()(1),2x x f x f x x -<⎧=⎨
-≥⎩
，则()2f =_____________ .
14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 15．若6
x π
=
是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值
是___________.
16．设0>ω，若函数()2sin f x x ω=在[,]34
ππ
-上单调递增，则ω的取值范围是________
三、解答题
17．如图所示，设,,M N P 是ABC 三边上的点，且13
BM BC =
，1
3CN CA =，
1
3
AP AB =
，若AB =a ，AC =b ，试用,a b 将,MN NP 表示出来．
18．（1）已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，sin()5cos(2)
32sin sin()
2παπαπαα-+-⎛⎫
--- ⎪⎝⎭
的值． （2）已知1
tan ,
tan αα
是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且7
32
παπ<<，求cos sin αα+的值．
19．已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图像如图所示，其中0A >，0>ω，
2
π
ϕ<
.
（1）求函数()f x 的表达式； （2）将函数()f x 的图像先向右平移
4
π
个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图像，求()g x 的最小值和()g x 取最小值时x 的取值集合．．
. 20
．已知cos()αβ+=
1tan 7β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.
（1）求22cos sin sin cos ββββ-+的值； （2）求2αβ+的值.
21．已知函数(
))
211sin cos 1cos cos 222
f x x x x x =⋅-
--.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程(
)02
m
g x +
=在[]0,x π∈上有两个不相等的实数解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12x x +的值.
22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有
()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已
知函数11()1()()24x x f x a =++，1
2
1()log 1ax g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7
上的所有上界构成的集合； （3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
参考答案
1．B 【分析】
将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】 对于A 选项，84433πππ-
=-，43π为第三象限角，则83π
-为第三象限角；
对于B 选项，75266
πππ-
=-，56π
为第二象限角，则76π-为第二象限角；
对于C 选项，76
π
为第三象限角； 对于D 选项，53
π
为第四象限角. 故选：B. 2．A 【分析】
利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】
设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8，r=2， ∴扇形的面积为1
2
l r=224r cm = 故选A 【点睛】
本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题． 3．A 【解析】
因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若0a λ=（λ为实数），则a 也可以零，因此命题也是错误的；若,λμ为0，尽管有a b λμ=，则a 与b 也不一定共线，
即命题也是错误的，应选答案A ． 4．C 【解析】
试题分析：由20AC CB +=得2()()0OC OA OB OC -+-=，即2OC OA OB =-，故选C ．
考点：向量的回头法运算及几何意义． 5．A 【分析】
利用指对数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】
由3log 51a =>，1
ln 02
b =<， 1.10 1.51
c -<=<，可知：a c b >>. 故选：A 6．B 【分析】
先对函数化简变形得()sin 2sin()3
f x x x x π
=+=+
，由正弦函数的图像和性质可知
()f x 的图像关于6
x π
=
对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，从而可比较出大小 【详解】
解：()sin 2sin()3
f x x x x π
==+
，
则()f x 的图像关于6
x π
=
对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，
因为
6
7
3
6
π
π
π
π
-
<
-
，
所以()()()673
f f f πππ
>>，
所以b a c >>， 故选：B
【分析】
利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】
π1sin sin cos 32664
πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2π17cos 22cos 113688παα⎛⎫⎛⎫
+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故选：B 8．C 【分析】
由解析式可得tan 0
cos 002x x x π≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤≤⎩
，解出即可.
【详解】
由题意，tan 0cos 002x x x π
≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩
，解得32x π
π≤<，
所以函数的定义域为3,2
ππ⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
. 故选：C. 9．C 【分析】
根据图象的平移可得判断A ；
根据图象的平移可得3
cos22
y x =，再把0x =代入可判断B ；由 5353()cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭
，可判断C ；由周期公式2T ωπ=可判断D ． 【详解】 A 选项中3()cos 223f x x π⎛⎫=
+ ⎪⎝
⎭向左平移12π
个单位，得33cos 2sin 2222y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，
B 选项中()f x 向右平移6π
个单位，得3cos22
y x =，33(0)cos022f ==，不关于()0,0对称，错误； C 选项中，5353(
)cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝
⎭，56x π=是函数()f x 的一条对称轴，正确； D 选项中，22
π
π=，最小正周期为π，错误． 故选：C. 【点睛】
本题考查了()()cos f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 10．C 【分析】
在同一坐标系内画出两个函数y 1=13x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
与y 2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的
个数，进而得到函数零点的个数． 【详解】
在同一直角坐标系中分别画出函数y 1=13x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
与y 2=|sin 2x|的图象，
结合图象可知两个函数的图象在5π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有5个交点，
故原函数有5个零点．
【点睛】
判断函数()()()h x f x g x =-零点的个数时，可转化为判断函数()y f x =和函数
()y g x =的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得
结论，体现了数形结合在解题中的应用． 11．D 【分析】
利用拼凑法将α表示成33αππ⎛⎫+
- ⎪⎝
⎭，再结合sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝
⎭，可得
sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛
⎫+++-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 【详解】
因为sin sin 35παα⎛⎫
+
+=- ⎪⎝
⎭，所以sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛
⎫+++-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，
所以sin sin cos cos sin 33333αααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+
++-+= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
所以
3sin 233ααππ⎛⎫⎛
⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
所以1cos 2
3235αα⎤ππ⎛⎫⎛⎫+-+=-⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦，
所以335
αππ⎛
⎫+
+=- ⎪⎝
⎭，即24cos 35απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，
所以824cos cos 335ααππ⎛⎫⎛
⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
故选D. 【点睛】
本题考查三角函数公式的化简求值，拼凑角、辅助角公式的使用，解题关键在于表示出
33αα⎛ππ⎫
⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，属于中档题
【解析】
令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤
=
∈-⎢⎥⎣⎦
，又由
()
2
sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，
得2210a a --=，解得1a =-舍去(1，
则sin cos 10θθ=<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 10θθ+=<
而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=
+ ⎪⎝⎭，当3,
24ππ
θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，sin cos 0
4πθθθ⎛
⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.
点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a
的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =-即sin θ和cos θ的符号相反，可
排除A 和D ，当3,24x ππ
⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛
⎫+=+> ⎪⎝
⎭与所求矛盾，排除B. 13．-1 【分析】
根据分段函数定义计算． 【详解】
(2)(1)121f f ==-=-．
故答案为：1-． 14．1
2
-
【详解】 因为，
所以，①
因为，
所以，②
①②得
，
即
， 解得
， 故本题正确答案为
15
．【分析】 利用对称关系，得()03f f π⎛⎫=
⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值
【详解】 由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求得a = 从而(
)3sin 2226f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当22,62
x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取
到最大值
故答案为：16．3(0,]2
【分析】
根据正弦函数的单调性，求出函数()2sin f x x ω=的单增区间，由2222k x k π
π
πωπ-+≤≤+（k Z ∈），可得： 2222k k x π
π
ππωω
-++≤≤，所以
22-3224k k πππωπππω
⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩ ，整理即可得解. 【详解】 根据正弦函数的单调性，可得：2222k x k π
π
πωπ-+≤≤+（k Z ∈），
所以：2222k k x π
π
ππωω-++≤≤， 解得：22-3224k k πππωπππω
⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩， 整理可得：36228k k
ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩ ，当0k =有解，解得302ω<≤. 故答案为：3(0,]2.
【点睛】
本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题.
17．21=33MN a b -+，1233
NP a b =- 【分析】
根据题意，结合图象，利用向量的加法法则和减法法则，表达MN 与NP ，即可求解.
【详解】 ()
121221333333
MN CN CM AC CB b a b a b =-=--=---=-+， 12123333NP AP AN AB AC a b =-=-=- 【点睛】
本题考查向量的加法和减法法则，属于基础题.
18．（1）34
-
；（2
） 【分析】
（1）由已知利用诱导公式化简得到tan α的值，再利用诱导公式化简
sin()5cos(2)
32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭为含有tan α的形式，代入即可； （2）由根与系数的关系求出k 的值，结合α的范围求出tan α，进一步求出α，即可求cos sin αα+的值．
【详解】
解：（1）由sin(3)2cos(4)απαπ-=-得：
sin 2cos αα， 即tan 2α，
cos 0α∴≠，
sin()5cos(2)
32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭ sin 5cos 2cos sin αααα
+=-+ sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα
+=-+ tan 52tan αα
+=-+ 2522
-+=-- 34
=-； （2）tan α，1tan α
是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩
， 解得：2k =±， 又732
παπ<<， tan 0α∴>，
2k ∴=， 即1tan 2tan αα
+=， 解得：tan 1α=，
134
πα∴=，
1313cos sin cos
sin 4422ππαα+=+=--=【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
19．（1）()2sin 226f x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭（2）最小值是2-， ,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩
. 【分析】
（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出ϕ，可得函数的解析式；
（2）利用函数()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，可求得()22sin 243g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，从而可求()g x 的最小值和取最小值时x 的取值集合.
【详解】
（1）由图可知：40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩
， 1541264
T πππ=-=，得：T π=，22T πω==， 代入(,4)6π，得sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，6π=ϕ， 所以：()2sin 226f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
. （2）由题意得：()2sin 2222sin 2463g x x x πππ⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以：()g x 的最小值是2-，此时：2232x k π
π
π-=-+，
x 的取值集合是,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩
. 【点睛】
本题考查由()sin y A x B ωϕ=++的部分图像确定其解析式，考查函数
()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，考查正弦函数的最值，属于中档题.
20．（1）1110；（2）4
π.
【分析】
（1）原式除以22cos sin ββ+，分子分母再同时除以2cos β即可得解；（2）由
cos()αβ+=cos2()αβ+、sin 2()αβ+，再由1tan 7β=求出sin β、cos β，代入2)cos[2(s ]co )(αβαββ+=+-的展开式即可得解.
【详解】
（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11cos sin 1tan 10
βββββββββ-+-+===++；
（2）cos()05
αβ+=>且(0,)αβπ+∈，0,2παβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=， 243cos2()2cos ()12155
αβαβ∴+=+-=⨯-=， 4sin 2()2sin()cos()5
αβαβαβ+=++=，
1tan 7β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1010ββ∴==， 2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴
3455==， 又0,2⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭παβ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，2(0,)αβπ∴+∈ 24παβ∴+=
.
【点睛】 本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，重点考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.
21．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-
+⎢⎥⎣⎦
，k z ∈（2）2m -<≤1253x x π+= 【分析】
(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x
的单调增区间；
(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围，再利用对称性求出12x x +的值.
【详解】
（1）())21sin cos sin 21cos 22f x x x x x x =⋅-=-+
1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭ 因此()f x 的最小正周期为22T ππ=
=， 由222232k x k π
π
π
ππ-≤-≤+，k z ∈，
解得()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦
，k z ∈.
（2）由题意得()sin 3g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，则方程()0g x +=可化简为
sin sin 032232m m x x ππ⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 即sin 32m x π⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭
由图像可知，方程()0g x =在[]0,x π∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x
12
m ⇔≤-<即2m -<≤1253x x π+= 【点睛】
本题主要考查三角函数图像的单调性，还考查三角函数()sin y A ωx φ=+图像的伸缩变换，其中涉及二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，以及利用三角函数周期、对称轴求出参数范围.
22．（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-．
【详解】
试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数12
1()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424x x x a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．
试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，
所以()()g x g x -=-，即1
122
11log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax
+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：1
21()log 1x g x x +=-， 而1122
12()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数12
1()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数1
21()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7
上的所有上界构成集合为[3,)+∞．
（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， 5()5f x -≤≤，1116()()4()424
x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22
x
x x
x a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立． ∴max min 11[62()][42()]22
x x x x a -⋅-≤≤⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t
=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，
设121t t ≤<，21121212
()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=
>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．
【方法点晴】
本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．。