第二类曲面积分

i
S i , yz , S i , zx , S i , xy
Si

v ( i , i , i ) n i S i
0
Σ 在该点的单位法向量为 n i
0
[ P ( i , i , i ) cos i Q ( i , i , i ) cos i R ( i , i , i ) cos i ] S i
第五节 对坐标的曲面积分
第五节 对坐标的曲面积分
一.对坐标的曲面积分的概念与性质
曲面的方向 双侧曲面有两个侧面，任意规定一个 侧面为正侧，另一个侧面便是负侧
为封闭曲面: 一般外侧为正侧,内侧为负侧. 为非封闭曲面: 由曲面上法向量的方向来确定正负侧. 例如:曲面x=x(y,z),如果法向量指向前,则确定前侧为正 侧,后侧为负侧 这种取定了法向量也就确定了侧的曲面叫有向曲面 -

x ) cos ( 2 f y ) cos ( f z ) cos ]dS


1 3
1 3
[( f
D
x ) ( 2 f y ) ( f z )] d
y z )d
( x
D

1 2
三 高斯公式
定理 (高斯定理)
空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系


R ( x , y , z ) dxdy
(2)如果f(x,y,z)在曲面∑上连续，则曲面积分存在
(3) 常见组合积分 (例如流量Φ)


Pdydz Qdzdx Rdxdy
(4) 基本性质与第一类曲面积分类似,两类积分的最主要 的区别为

R ( x , y , z ) dxdy


2
1



xdydz
xdydz

xdydz
xdydz

1

xdydz
2

xdydz
3

1

2
2

D yz
z y dydz
D yz
z y ) dydz
2 2
2
D yz
z y dydz
2 2
a
3
3
(2).同理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2


3 zdxdy

2
3
(1) 求 1
1 : x


2
xdydz
2
1 2 3
z y
后侧
2 : x
z y
2
2
前侧
两者的在yoz面上投影域同为 D yz : z y z , 0 z a
3 : z a
上侧 在yoz面上的投影为零
i 1


R ( x , y , z ) dxdy lim
d0

n
R ( i , i , i ) S i , xy
i 1
R(x,y,z)在有向曲面Σ 上对坐标x,y的曲面积分(第二类)
同理P(x,y,z), Q(x,y,z)在有向曲面Σ 上对坐标y,z 和z,x的曲面积分为




R ( x , y , z ) dxdy
对第二类曲面积分,必须注意曲面所取的侧 二、对坐标的曲面积分的计算法 化成∑的投影区域上的二重积分 (1) 设∑的方程为: z=z(x,y) ,Σ 在xoy面上的投影为 D xy z(x,y) 在 D xy 上有一阶连续偏导数, 可以证明:


Σ为
z x y (0 z a )
2 2 2
下侧
解
非封闭曲面,不能直接用高斯公式,可以加辅助曲面:
1 : z a
2
上侧
2 2 2 2
1

( y x z ) dydz ( x z y ) dzdx ( z y x ) dxdy
2 2




P ( x , y , z ) dydz lim lim
d0

n
P ( i , i , i ) S i , yz , i , i ) S i , zx
Q ( x , y , z ) dzdx
d0
Q (
i 1
i 1 n
i
注: (1)若∑是封闭曲面，则上述积分记为
例: 流体的流量 设不可压缩流体(设ρ =1)稳定流动,其流速为 v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k, 其中P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在有向曲面Σ 上 连续,求单位时间内流过曲面Σ 正侧的流量Φ.
如果Σ 是平面,面积为△S,流速v=Pi+Qj+Rk为常向量
cos i S i S i , yz , cos i S i S i , zx , cos i S i S i , xy

[ P (
i 1
n i 1
n
i
, i , i ) S i , yz Q ( i , i , i ) S i , zx R ( i , i , i ) S i , xy ]
R ( x , y , z ) dxdy

D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
注意： Σ 取上侧时为正号; Σ 取下侧时为负号. (2). 设Σ 的方程为: x=x(y,z)


P ( x , y , z ) dydz

D yz
P [ x ( y , z ), y , z ] dydz
dv
Qdzdx

三式相加


(
P x

Q y

R z
) dv


Pdydz Qdzdx Rdxdy
如果曲面Σ与平行于 z 轴的直线相交多于两点,则将 Ω分成小块,利用区域的可加性易证. 注意:对于闭曲面上的第二类曲面积分,利用高斯公式 化成三重积分计算简便.
( x , y )] R [ x , y , z 1 ( x , y )]} dxdy





R ( x , y , z ) dxdy
R ( x , y , z ) dxdy
dv
2

R ( x , y , z ) dxdy
1
同理


P x


Pdydz


Q y


xyzdxdy


xyzdxdy

1

xyzdxdy
2


D xy
xy
1 x y dxdy xy ( 1 x y ) dxdy
2 2 2 2 D xy
2 xy
D xy

1 x y dxdy
2 2


2
sin 2 d
0

1
r
3
1 r dr
注意： Σ 取前侧时为正号; Σ 取后侧时为负号. (3). 设Σ 的方程为: y=y(z,x)
Q ( x , y , z ) dzdx


Q [ x , y ( z , x ), z ] dzdx
D zx
注意： Σ 取右侧时为正号; Σ 取左侧时为负号.
例1
计算


xyzdxdy


2 ydzdx
2 3
a
3
(3). 3
3 :
3 zdxdy


3 zdxdy
3

3 zdxdy
4
2 2
z=a 上侧
4 :z
x y
下侧
2 2 2 投影域都是 D xy : x y a
3

D xy
3 adxdy
3 2

D xy
3
设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在空间闭区域Ω上具有一 阶连续偏导数,则:


(
P x

Q y

R z
) dv


Pdydz Qdzdx Rdxdy
其中Σ是Ω的边界曲面外侧
高斯公式
证 设闭区域Ω在 xoy 面上的投影域为 D xy 边界曲面Σ与平行于 z 轴的直线相交不多于两点,
, i , i ) S i , yz Q ( i , i , i ) S i , zx R ( i , i , i ) S i , xy ]
lim
d0
[ P (
i
其中d为n个子曲面的最大直径 定义 设R(x,y,z)是定义在有向曲面Σ 上的有界函数, 0 n , 将Σ 任意分成n个子曲面 S i , Σ 的单位法向量为 S i 在xoy面上的投影为 S i , xy , S i 上任取一点 n ( i , i , i ), 作和式 R ( i , i , i ) S i , xy
2
2 15
0
例2 计算流速为 v = {x,2y,3z}的不可压缩流体在单位 时间内穿过 x 2 y 2 z 2 ( 0 z a ) 表面外侧的流量Φ 解 设ρ =1

则流量


xdydz 2 ydzdx 3 zdxdy xdydz
1


2 ydzdx
P S yz Q S zx R S xy
Σ 分别在yoz,zox,xoy面上的投影
一般情况, Σ 是曲面,v的大小和方向都变化. 将Σ 任意分成n个子曲面 S i ,
Si
在yoz,zox,xoy面上的投影分别为
上任取一点 M i ( i , i , i ),

其中 f 为连续函数
, 为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧
[ f ( x , y , z ) x ]d y d z [ 2 f ( x , y , z )

y ]d z d x [ f ( x , y , z ) z ]d x d y

[( f
则Σ分成上下两曲面
1 : z z 1 ( x , y ) 下侧
2 : z z 2 ( x , y ) 上侧
2


R z
dv

{
D xy
D xy
z2 ( x, y )
R z
2
1
dz } dxdy
z1 ( x , y )
D xy
由曲面积 分计算法
{ R [ x , y , z
2 2 2

3 2
a
2
4


( y x z ) dydz ( x z y ) dzdx ( z y x ) dxdy
2 2 2 2 2

1




a
2
4

3 a 2
4
a
4
1
例 3 . 设对于半空间
例1.(上节例题2)


高斯公式



xdydz 2 ydzdx 3 zdxdy
(1 2 3 ) dv 6V 2 a
3

例2

( y x z ) dydz ( x z y ) dzdx ( z y x ) dxdy
2 2 2 2 2 2
n
0
cos i cos j cos k
为Σ 的单位法向量
则 ( v n 0 ) S | v | cos( v, n 0 ) S 其坐标表示式
( Pi Qj Rk ) (cos i cos j cos k ) S P cos S Q cos S R cos S
0, y 0
其中Σ 为 x 2 y 2 z 2 1 外侧在 x 解
1 2
的部分
1 : z 1 x y 下侧
2 2
2
2 : z
1 x y
2
2
上侧
1
两者的投影域相同,为
D xy : x y
2 2
1( x 0 , y 0 )
x y dxdy
2 2
3 a 3
d
0

a
r dr a
2
3
0
由(1),(2),(3)得 1 2 3 2 a 3
例 3 . [ f ( x , y , z ) x ] d y d z [ 2 f ( x , y , z ) y ] d z d x [ f ( x , y , z ) z ] d x d y，

( 2 x 2 y 1) dv
2 2



dv
2

a
2
2
4


( y x z ) dydz ( x z y ) dzdx ( z y x ) dxdy
2 2
1

( z y x ) dxdy
2 2
1

D xy
( a y x ) dxdy