直角坐标系中距离公式

O
l1:2x-7y+8=0
P(3l,20:)2xx-7y-6=0
两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
23708 14 1453
d
22(7)2
53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
27
y P l1
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可 以写成如下形式：
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
1
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
211210
d
25
2212
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2)
O
d 2(1) 5
3
3
x
l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
26
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y
3两点间的距离：
33Leabharlann 方法②利用直角三角形面 积公式的算法框图
求出 PR 、PS
利用勾股定理求出 R S
根据面积相等知 dRSPRPS得到点 P 到 l 的距离 d PQ
21
思路② ：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB0, 这 时 l与 x轴 ,y轴 都 相 交 , l
y
过 p作 x轴 的 平 行 线 ,交 l与 点 Rx1,y0; R
反思：这种解法的 优缺点是什么？
y P（x0,y0)
Q O
x
l
19
还有其 它方法 吗？
思路② 利用直角三角形的面积 公式的算法
y
R·
·Px0, y0
d
Q·
O
x
·S
l:AxByC0
20
过 程 设 计：
过点P 作 x 轴、y 轴的垂线 l 交于点 S、 R
用 x 0、 y 0 表示点 S、 R 的坐标
Ax0By0C1 PQ
C2 C1 A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中
x、y的系数化为相同
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尝试回忆
要记牢 哦！很 重要的！
1.点 到 直 线 的 距 d Ax0 By0 C
离:
A2 B2
2.两平行线间的距离公式: d | C2 C1 | A2 B2
yx2 3x4相交于A、B两点，求|AB|的
值.
12
例4：证明平行四边形四条边的平方 和等于两条对角线的平方和.
y D (b, c) C (a+b, c)
A(0,0) B(a,0) x
13
点p(x',y')关于点Q(x0,y0)的对称 点为
(2x0-x',2y0-y')
14
用“坐标法”（解析法）解决有关 几何问题的基本步骤：
|x2x1| (x1x2)24x1x2
11
理论迁移
例1 已知点 A(1,2) 和 B(2, 7) , 在x轴上求一点P，使|PA|=|PB|，并求 |PA|的值.
例2：已知△ABC的三个顶点是A(-1，0), B(1，0),C(1/2，3/2),试判断三角形的形状
例3 设直线2x-y+1=0与抛物线
8
知识探究（二）：距离公式的变式探究
思考1:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 y2-y1可怎样表示？从而点P1和P2的距离 公式可作怎样的变形？
|P 1P 2||x2x1| 1k2
9
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
反思2前：面我们是在A,B均不为零的 假设下推导出公式的， 若A,B 中有一个为零，公式是否仍然 成立？
返2回4
点到直线距离公式
点 P(x0, y0 )到直线 AxByC0
（其 中 A 、 B 不 同 时 为 0）的距离为
d Ax0 By0 C A2 B2
注： A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此公 25
2
3
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
4
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
P2
M
o
P1 x
|P |1 P P 12 P 2 | |(x (2 x2 x1 x)12 )2 (y (2 y2 y1 y)12 )2
7
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
|OP| x2 y2
作 y 轴 的 平 行 线 ,交 l 与 点 S x 0 ,y 2
A x 1 B y 0 C 0 ,A x 0 B y 2 C 0
Q
x 1 B y A 0C ,y2 A x B 0C O
P d
Sx
P R x 0 x 1 A x 0 B A y 0 C ,P S y 0 y 2 A x 0 B B y 0 C
| P1P2 || y2 y1|
1 1 k2
10
| P1P2 || x2 x1 | 1 k 2 1
| y2 y1 | 1 k 2 思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两 种变形，其使用条件分别是什么？
思考4:若已知 x1 x 2 和 x 1 x 2 ，如何 求 | x2 x1 | ？
第一步；建立坐标系， 用坐标系表示有关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运算结果 “翻译”成几何关系
15
二.点 到 直 线 的 距 离
16
点到直线的距离
点到直线的距离公式的推导过程
y
点到直线的距离的定义
过点 P 作直线 l 的
Q
垂线，垂足为 Q 点，线
O
段 P Q 的长度叫做点 P
到直线 l 的距离．
l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
在 直 线 l 1 上 任 取 一 点 P x 0 , y 0 , 过 点 P 作 直 线 l 2 的 垂 线 , 垂 足 为 Q
则 点 P 到 直 线 l2 的 距 离 为 : P QA x 0 A 2 B y 0 B 2 C 2
点 P 在 直 线 l 1 上 ， A x 0 B y 0 C 1 0
P2 y
o
P1 x
| P1P2 | x02 y02
5
思考4:在平面直角坐标系中，已知点
P1(2，-1)和P2(-3，2)，如何计算点P1和 P2的距离？P2 y
M
o
P1 x
|P 1 P 2|P 1 M 2 P 2 M 25 2 3 23 4
6
思考5:一般地，已知平面上两点P1(x1， y1)和P2(x2，y2)，利用上述方法求点P1 和P2的距离可得y什么结论？
R SP R 2P S2A A 2 B B 2 A x0B y0C
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由三角形面积公式可得：
d RSPR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
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辨析反思
反思1：在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
P（x0,y0)
x
l
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创设情境
已知点P（x0,y0）和直线l Ax+By+C=0, (假设A、B≠ 0)
求点P到直线l 的距离.
y P（x0,y0)
Q O
x
l
返1回8
尝试
合作 思考：最容易想到的方法是什么？
交流
思路①. 依据定义求距离,其流程为：
求l 的垂线l 1的方程
解方程组，得交点Q的坐标 求P Q