2018-2019学年度山西省晋中市和诚高中有限公司高三11月月考数学(理)试题含答案

和诚中学2018—2019学年度高三11月月考试题
理科数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1．设集合A ＝{ |
－4＋3
0}，B ＝
，则A ∩B ＝( )
A ．[1,2]
B ．(1,2]
C ．[1,3]
D ．(1,3] 2．复数1＋2i
1－i
的共轭复数为( )
A ．－12＋32
i
B ．－12－3
2
i C ．－1＋3i D ．－1－3i
3．函数f (x )＝cos(2)，∈[0，π]的单调递增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π
4. 若2cos 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2＝53，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋2α＝( ) A.19 B ．－23 C.5
3
D ．－
5
3
5. 函数f ()＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1－2x
1＋2x cos x 的图象大致为( )
6. 已知sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )＝sin(ω＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4的值为( ) A ．－35 B ．－45 C.35 D ．4
5
7. 已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{ }是公差为－1的等差数列，
且S 6＝3
8
，则
等于( )
A.421 B ．631 C.821
D ．1231
8. 已知函数f ()＝，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )＜0(0＜a ＜b ＜c )，若实数为
方程f ()＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )
A ．
＜a B ．
＞b C ．
＜c
D ．
＞c
9.数列{a n }中，满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，且a 1，a 4 035是函数f (x )＝13
x 3－4x 2
＋6x －6的极值点，则log 2a 2
018
的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(n ∈N *)，且对任意n ∈N *
都有1a 1＋1a 2
＋
＋1
a n
＜t ，则实数t
的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞
11．若函数f ()＝2sin( ) (－2＜＜14)的图象与轴交于点A ，过点A 的直线l 与函
数的图象交于B ，C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →
＝(其中O 为坐标原点)( )
A ．－32
B ．32
C ．－72
D ．72
12. 将函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋
π6的图象向左平移π
12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )
A.49π12
B.35π6
C.25π
6 D.17π
4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
14.已知变量，满足约束条件 ,且目标函数z ＝3＋的最小值为－1，则实
常数k ＝________.
15.函数f ()是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，若实数a 满足f (log 2a )＋
f ()≤ 2f (2)，则a 的取值范围是________．
16.在△ABC 中，已知B ＝π
3，AC ＝43，D 为BC 边上一点．若AB ＝AD ，则△ADC 的周长的
最大值为________．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.17题10分，18-22题，每小题12分） 17(10分). 已知函数f ()=
设
(1)求方程f ()=2的根； (2)若对任意R,不等式f (2)恒成立，求实数m 的最大值；
18（12分）. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且2cos
2
A －B
2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5
. (1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA 在BC 方向上的投影．
19（12分）. 已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，
a 5－3
b 2＝7.
(1)求{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *
，求数列{c n }的前n 项和．
20(12分).已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝
＋
n (n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝
，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k
2 014
对
一切n ∈N *
都成立的最大正整数k 的值；
(3)设f (n )＝⎩⎨⎧
a n n ＝2k －1，k ∈N *
，3a n －13 n ＝2k ，k ∈N *
，
是否存在m ∈N *
，使得f (m ＋15)＝5f (m )成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
21（12分）.已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．
(1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．
22（12分）. 已知函数f (x )＝(x －2)e x
＋a (x －1)2
有两个零点．
(1)求a 的取值范围；
(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.
和城中学2018—2019学年度高三11月月考
理科数学试题参考答案
1.解析：选B.解不等式－4x ＋3≤0，得1≤x ≤3，∴A ＝[1,3]，解不等式1
x －1
≥1，得1＜x ≤2，∴B ＝(1,2]，∴A ∩B ＝(1,2]．
2.解析：选B.∵1＋2i 1－i ＝
＋
＋－
＋
＝1－2＋3i 2＝－12＋32i.∴1＋2i 1－i
的共轭复数为－12－
32
i. 3．解析：选C.由2k π－π≤2x －π3≤2k π，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z. ∴函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －
π3，x ∈[0，π]的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2π3，π. 4. 解析：选A.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α2－1＝23，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α－1＝－19， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝1
9
.
5. 解析：选C.依题意，注意到f (－x )＝1－2－x
1＋2－x cos(－x )＝2x
－2－x 2
x
＋2－x cos x ＝2x
－1
2x
＋1
cos x ＝－f (x )，因此函数f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；
当0＜x ＜1时，1－2
x
1＋2
x ＜0，cos x ＞0，f (x )＜0，因此结合选项知，C 正确，选C.
6. 解析：选B.根据函数f ()＝sin(ω＋φ)(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得T 2＝πω＝π
2
，∴ω＝2. 由sin φ＝35，且φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可得cos φ＝－45，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.
7. 解析：选A.∵{log 2a n }是公差为－1的等差数列， ∴log 2a n ＋1－log 2a n ＝－1，即log 2
a n ＋1a n ＝log 212，∴a n ＋1a n ＝12，∴{a n }是公比为1
2
的等比数列， 又∵S 6＝
a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫126
1－12
＝3
8，∴a 1＝4
21
.
8. 解析：选D.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是R 上的减函数，y ＝log 2x 是(0，＋∞)上的增函数，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
－log 2x 是(0，＋∞)上的减函数，又∵f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b ＜c ，∴f (a )＜0，f (b )＜0，f (c )＜0或f (a )＞0，f (b )＞0，f (c )＜0，故f (c )＜f (x 0)＝0，故c ＞x 0，故x 0＞c 不可能成立．
9.解析：选A.根据题意，可知a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，即数列{a n }是等差数列．又f ′(x )＝x 2
－8x ＋6，所以a 1＋a 4 035＝8＝2a 2 018，所以log 2a 2 018＝log 24＝2.
10.解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n
a 1a 2a 3…a n －1
＝
2n 2
2
n －2
＝2
n 2－(n －1)2
＝2
2n －1
，又
a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1
a n ＝1
22n －1，数列{1
a n }是以1
2为首项，1
4
为公比的等比数列，等比数
列{1a n }的前n 项和等于12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－14n 1－14
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞，选D.
11．解析：选D.由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＝0可得π8x ＋π4＝k π，∴x ＝8k －2，k ∈Z ，∵－2
＜x ＜14，∴x ＝6即A (6,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，∵过点A 的直线l 与函数的图象交于B ，
C 两点，∴B ，C 两点关于点A 对称即x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝0，则(OB →＋OC →)·OA →
＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)·(6,0)＝6(x 1＋x 2)＝72.
12. 解析：选A 由题意得g (x )＝2sin2x ＋
π12＋π6＋1＝2sin2x ＋π
3
＋1，故g (x )max ＝3，g (x )min ＝－1，由g (x 1)g (x 2)＝9，得
,由g (x )＝2sin2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π
2
＋2k π，k ∈Z ，
即x ＝π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2＝－23π12，－11π12，π12，13π
12，故
当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2取得最大值，最大值为49π12
.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.解析：由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝π，得到B ＝π3，所以cos B ＝1
2，又a ＝1，b ＝3，
根据余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac ·cos B ，即c 2
－c －2＝0，因式分解得(c －2)(c ＋1)＝0，解得c ＝
2，c ＝－1(舍去)，又sin B ＝32，b ＝3，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得sin C ＝c sin B
b
＝2×3
23
＝
1.
答案：1
14.解析：由题意作出目标函数的平面区域如图所示，
结合图象可知，当过点A (x,2)时，目标函数z ＝3x ＋y 取得最小值－1，故3x ＋2＝－1，解得x ＝－1，故A (－1,2)，故－1＝4×2－k ，故k ＝9.
答案：9
15.解析：由偶函数的性质得已知不等式可化为f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (2)，即f (log 2a )＋
f (lo
g 2a )≤2f (2)，所以f (log 2a )≤f (2)，∴f (|log 2a |)≤f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，所以|log 2a |≥2，
即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，14∪[4，＋∞)．
答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪[4，＋∞) 16. 解析：∵AB ＝AD ，B ＝
π3
， ∴△ABD 为正三角形，∵∠DAC ＝π3－C ，∠ADC ＝2π
3，在△ADC 中，根据正弦定理可
得
AD sin C ＝43
sin
2π
3
＝DC
sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π3－C ，
∴AD ＝8sin C ，DC ＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，
∴△ADC 的周长为AD ＋DC ＋AC ＝8sin C ＋8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ＋43＝8⎝ ⎛⎭
⎪⎫12sin C ＋32cos C ＋43＝8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＋43，
∵∠ADC ＝2π3，∴0＜C ＜π3，∴π3＜C ＋π3＜2π3，∴当C ＋π3＝π2，即C ＝π6时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3的最大值为1，则△ADC 的周长最大值为8＋4 3.
答案：8＋4 3 三、解答题
17解：因为错误！未找到引用源。

，所以错误！未找到引用源。

.
（1）方程错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

，亦即错误！未找到引用源。

， 所以错误！未找到引用源。

，于是错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

(4)
分
（2）由条件知错误！未找到引用源。

.
因为错误！未找到引用源。

对于错误！未找到引用源。

恒成立，且错误！未找到引用源。

， 所以错误！未找到引用源。

对于错误！未找到引用源。

恒成立. 而错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

，
所以错误！未找到引用源。

，故实数错误！未找到引用源。

的最大值为4.····························10分 18解：(1)由2cos
2
A －B
2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3
5
得 [cos （A B ）+1]cosB sin(A B)sinB cosB=,
即cos （A B ）cosB sin(A B)sinB=,则cosA=
.············5分
(2)由cosA=
，0<A<,得sinA=，
由正弦定理得，sinB==
.由题知a>b,则A>B ，故B=，
根据余弦定理，有
=+-2
5c
（
），解得c=1或c=-7(舍去)，
故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA ｜ｃｏｓＢ＝
··············12分
19解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.
由已知，有⎩
⎪⎨⎪⎧2q 2
－3d ＝2，
q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2
－8＝0， 又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n -1，n ∈N *
； 数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *
.·················5分 (2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n -1
，设{c n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1×20
＋3×21
＋5×22
＋…
＋(2n －3)×2n -2＋(2n －1)×2n -1
， 2S n ＝1×21
＋3×22
＋5×23
＋…
＋(2n －3)×2n -1＋(2n －1)×2n
， 两式相减得－S n ＝1＋22
＋23
＋…
＋2n －(2n －1)×2n
＝2n +1
－3－(2n －1)×2
n
＝－(2n －3)×2n
－3，
所以S n ＝(2n －3)·2n
＋3，n ∈N *
.·····················12分 20解：（1）当n=1时，
=6
当
而当n=1时，n+5=6适合公式,
············3分
（2）==，
=
=
∴T n 单调递增，故(T n )min ＝T 1＝13.令13＞k 2 014，得k ＜6711
3
，所以k max ＝671.······8分
(3)f (n )＝⎩⎨⎧
n ＋5 n ＝2k －1，k ∈N *
，
3n ＋2 n ＝2k ，k ∈N *
，
当m 为奇数时，m ＋15为偶数，由f (m ＋15)＝5f (m )得3m ＋47＝5m ＋25，解得m ＝11. 当m 为偶数时，m ＋15为奇数，由f (m ＋15)＝5f (m )，得m ＋20＝15m ＋10，解得m ＝57∉N *
(舍
去)．
综上，存在唯一正整数m ＝11，使得f (m ＋15)＝5f (m )成立．··············12分 21解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x
－a .
若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a >0，则当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞时，f ′(x )<0.
所以f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝
⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞上单调递减．················6分 (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；
当a >0时，f (x )在x ＝1a
处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.
因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.
令g (a )＝ln a ＋a －1，
则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．····································12分
22解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x
＋2a )．
①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x
，f (x )只有一个零点．
②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a
2
，
则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝
⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，
故f (x )存在两个零点．
③设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．
若a ≥－e
2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)内单调递
增．
又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．
若a <－e
2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；
当x ∈(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.
因此f (x )在(1，ln(－2a ))内单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)内单调递增． 又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．·····························8分
(2)证明：不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，又f (x )在(－∞，1)内单调递减，
所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，又f (x 1)= f (x 2)即f (2－x 2)< f (x 2). 由于f (2－x 2)＝－x 2e
2－x
2
＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2
，
所以f (x 2)- f (2－x 2)＝－x 2e 2－x
2
－(x 2－2)e x 2.
设g (x )＝－x e
2－x
－(x －2)e x
，则g ′(x )＝(x －1)(e
2－x
－e x
)．
所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0. 从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.··················12分。