高中数学章末过关检测四指数函数与对数函数新人教A版必修第一册

章末过关检测(四) 指数函数与对数函数
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知a >0，化简a ×a a ＝( ) A ．a B ．a 52 C ．a 54 D ．a 3
8 2．若x log 32＝1，则4x
的值是( ) A ．9 B ．3 C ．2log 32 D ．2log 23
3．函数f (x )＝x －1＋log 3(4－x )的定义域为( )
A ．{x |1<x <4}
B ．{x |1≤x ≤4}
C ．{x |1<x ≤4}
D ．{x |1≤x <4} 4．函数f (x )＝－x 5
－x ＋3的零点所在区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(0，1) D ．(－1，0) 5．已知a ＝log 0.32，b ＝30.3
，c ＝0.32
，则( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．c <a <b D ．b <c <a
6．若2a
＝5b
＝10，则2a
b ＝( )
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
7．函数f (x )＝log 2(|x |－1)的图象为( )
8．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt
，其中P 0，k 是常数．已知当t ＝5时，污染物含量降
为过滤前的25%，那么k ＝( )
A ．－15ln 4
B ．ln 3－ln 45
C ．15ln 4
D ．ln 4－ln 35
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．下列函数中既是奇函数，又是(0，＋∞)上的增函数的是( ) A ．f (x )＝－1x
B ．f (x )＝3x
C ．f (x )＝log 3x
D ．f (x )＝3x
10．下列计算成立的是( )
A ．log 28－log 24＝log 24＝2
B ．log 35＋log 34＝log 39＝2
C ．lg 2＋lg 5＝lg 10＝1
D ．log 223
＝3log 22＝3
11．若函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)在区间[－2，2]上的最大值和最小值的和为103，则a
的值可能是( )
A.13 B ．3
3
C ． 3
D ．3 12．已知函数f (x )＝log 2(2x
＋8x
)－2x ，以下判断正确的是( )
A ．f (x )是增函数
B ．f (x )有最小值
C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )是偶函数 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．已知函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)，若f (2)＝4，则a ＝________．
14．[2022·山东菏泽高一期中]若对任意的a >0且a ≠1，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．
15．若方程x ＝3－lg x 的解在区间(k ，k ＋1)上，则整数k ＝________．
16．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
，x ≥0－x 2－2x ＋1，x <0，函数f (x )有________个零点，若函数y ＝f (x )－m
有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)化简求值： (1)(8)－
23－3
4×21
3＋(35
)0
；
(2)log 23×log 34＋lg 2＋lg 5.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2，9)
(1)求实数a的值；
(2)若f(2x－1)<3，求实数x的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)(a>0，且a≠1).
(1)求函数f(x)＋g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性，并证明．
20．(本小题满分12分)己知函数f(x)＝a x＋b(a>0，且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象过点(0，2)，求b的值；
(2)若函数f(x)在区间[2，3]上的最大值比最小值大a2
2
，求a的值．
21．(本小题满分12分)Logistic 模型是常用的预测区域人口增长的模型之一，其形式为P t ＝K
1＋C ·e
－rt ，
其中P t 是间隔年份t 时的人口数量，K 是有关人口极限规模的待定参数，r 、C 是有关人口增长率和初始人口数量的特定参数，己知某地区的人口数据如下表；
函数P t
＝120
1＋0.5×e －0.05t 能比较好地描述2010年起该地区的人口数量P t (单位：万)与间隔年份t (单位：年)的关系．
(1)请估计该地区2030年的人口数量(结果保留3位小数)；
(2)请估计该地区2020年到2030年的年平均增长率．．．．．．a (结果保留3位小数). 参考数据：e －0.5
≈0.607，e －1
≈0.368，(101.35192.076
)0.1≈1.010.
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2a －x
1＋x
为奇函数．
(1)求实数a 的值；
(2)若f (x )－m ＋log 2(x 2
＋4x ＋3)≤0恒成立，求实数m 的取值范围．
章末过关检测(四) 指数函数与对数函数
1．解析：a ×a a ＝a 12×a 34＝a 5
4. 答案：C
2．解析：因x log 32＝1，则x ＝1
log 32＝log 23，
所以4x
＝4log 23＝(2log 23)2
＝32
＝9. 答案：A
3．解析：由题意得，⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≥0，
4－x >0，解得1≤x <4，
所以函数的定义域为{x |1≤x <4}． 答案：D
4．解析：因为f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1>0，f (2)<0， 所以f (x )的零点所在区间为(1，2). 答案：A
5．解析：∵0<0.32
<0.30
＝1，30.3
>30
＝1 ∴0<c <1<b ，
∵log 0.32<log 0.31＝0，∴a <0， ∴a <c <b . 答案：A
6．解析：∵2a
＝5b ＝10， ∴a ＝log 210，b ＝log 510.
∴a b ＝log 210log 510＝ln 5
ln 2＝log 25， ∴2a
b ＝2log 25＝5.
答案：C
7．解析：函数f (x )＝log 2(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，可以排除选项B 、C ；
由f (－x )＝log 2(|－x |－1)＝log 2(|x |－1)＝f (x )，
可知函数f (x )为偶函数，其图象应关于y 轴对称，可以排除选项D. 答案：A
8．解析：由题意得：P 0e
－5k
＝25%P 0，即e
－5k
＝14，两边取对数，ln e －5k ＝ln 14
，解得：k
＝1
5
ln 4. 答案：C
9．解析：f (x )＝－1
x
是奇函数，且是增函数，A 符合题意；
f (x )＝3x 不具有奇偶性，是增函数，B 不符合题意； f (x )＝lo
g 3x 不具有奇偶性，是增函数，C 不符合题意；
f (x )＝3
x ＝x 1
3是奇函数，且是增函数，符合题意．
答案：AD
10．解析：log 28－log 24＝log 28
4＝log 22＝1，故A 选项错误．
log 35＋log 34＝log 3(5×4)＝log 320，故B 选项错误． lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1，故C 选项正确． log 223
＝3log 22＝3，故D 选项正确． 答案：CD
11．解析：当0<a <1时，函数f (x )＝a x
在[－2，2]上为减函数， 则f (x )max ＋f (x )min ＝f (－2)＋f (2)＝1a 2＋a 2
＝103，解得a ＝33；
当a >1时，函数f (x )＝a x
在[－2，2]上为增函数，
则f (x )max ＋f (x )min ＝f (2)＋f (－2)＝a 2
＋1a 2＝103，解得a ＝ 3.
综上所述，a ＝3
3
或 3. 答案：BC
12．解析：由f (x )＝log 2(2x ＋23x )－log 222x ＝log 2(12
x ＋2x
)，
令μ＝2x
>0为增函数；而t ＝1μ
＋μ在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增；
所以t 在x ∈(－∞，0)上递减，在x ∈(0，＋∞)上递增；
又y ＝log 2t 在定义域上递增，则y 在x ∈(－∞，0)上递减，在x ∈(0，＋∞)上递增； 所以f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故最小值为f (0)＝1，f (－x )＝log 2(12－x ＋2－x )＝log 2(2x
＋12
x )＝f (x )，故为偶函数．
答案：BD
13．解析：因为函数f (x )＝a x
(a >0且a ≠1)，f (2)＝4，所以a 2
＝4，解得a ＝2. 答案：2
14．解析：令log a (x －1)＝0，解得x ＝2， 则f (2)＝log a 1＋1＝1， 所以点P 的坐标为(2，1). 答案：(2，1)
15．解析：令y ＝x ＋lg x －3，显然y 在(0，＋∞)上递增，又y |x ＝2＝lg 2－1<0，y |x
＝3
＝lg 3>0，
所以函数y 的零点在(2，3)内，故k ＝2. 答案：2
16．解析：由题，当x ≥0时，f (x )＝2x
，当x <0时，y ＝－x 2
－2x ＋1为二次函数，对
称轴为x ＝－1，且过(0，1)开口向下．故画出图象如图所示，
故函数f (x )有1个零点．
又f (x )＝m 有三个不同的交点则由图象有y ＝－x 2
－2x ＋1最大值为 4×（－1）×1－（－2）
2
4×（－1）＝2.故m ∈(1，2).
答案：1 (1，2)
17．解析：(1)原式＝23
2
×(－23
)
－223×21
3＋1＝12－2＋1＝－1
2
. (2)原式＝lg 3lg 2×2lg 2
lg 3＋lg (2×5)＝2＋1＝3.
18．解析：(1)依题意a >0且a ≠1，
f (2)＝a 2＝9⇒a ＝3，
(2)∵f (x )＝3x
在R 上是增函数， 且f (2x －1)<3＝f (1)， ∴2x －1<1， ∴x <1，
∴所求的x 取值范围是(－∞，1).
19．解析：(1)由f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，得－1<x <1.
则函数f (x )＋g (x )的定义域为(－1，1).
(2)函数f (x )＋g (x )为定义域(－1，1)上的偶函数． 令h (x )＝f (x )＋g (x )，
则h (x )＝f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )， 又h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x ) ＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x ). 则∀x ∈(－1，1)，有h (－x )＝h (x )成立．
则函数f (x )＋g (x )为在定义域(－1，1)上的偶函数． 20．解析：(1)f (0)＝a 0
＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1.
(2)当0<a <1时，f (x )在区间[2，3]上单调递减，此时f (x )max ＝f (2)＝a 2
＋1，
f (x )min ＝f (3)＝a 3＋1，所以a 2＋1－(a 3
＋1)＝a 2
2
，解得：a ＝1
2
或0(舍去)；
当a >1时，f (x )在区间[2，3]上单调递增，此时f (x )min ＝f (2)＝a 2
＋1，f (x )max ＝f (3)＝a 3
＋1，所以a 3
＋1－(a 2
＋1)＝a 2
2，解得：a ＝3
2
或0(舍去).
综上：a ＝12或3
2
.
21．解析：(1)2030年即间隔年份为20年，
该地区的人口数量P 20＝1201＋0.5×e －0.05×20＝
120
1＋0.5×0.368≈101.351 该地区2030年的人口数量大约为101.351万． (2)由表可知2020年的人口数量为92.076万， 又由(1)知2030年的人口数量大约为101.351万， 则有92.076×(1＋a )10
＝101.351，
即(1＋a )10
＝101.35192.076，解得a ＝(101.351
92.076
)1
10－1≈0.010，
所以该地区2020年到2030的年平均增长率a 大约为0.010. 22．解析：(1)由题意得：f (－x )＝－f (x )，
即log 2a ＋x 1－x ＝－log 2a －x
1＋x ，解得：a ＝±1，
当a ＝－1时，a －x 1＋x
＝－1<0，不合题意，舍去，
所以a ＝1，经检验符合题意； (2)由1－x 1＋x >0，解得：－1<x <1，
由x 2
＋4x ＋3>0得：x >－1或x <－3，
综上：不等式中x∈(－1，1)，
f(x)－m＋log2(x2＋4x＋3)≤0变形为m≥log2[(1－x)(x＋3)]，即m≥log2[(1－x)(x＋3)]恒成立，
令g(x)＝log2(－x2－2x＋3)＝log2[－(x＋1)2＋4]，
当x∈(－1，1)时，g(x)∈(－∞，2)，
所以m≥2，实数m的取值范围为[2，＋∞).。