53第三节 Newton插值多项式

利用N2(x)又可得过前四点的三次牛顿插值多项式 N3( x) N2( x) 0.1970( x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)
故 f (0.596) N3(0.596) 0.6319145 f [x0 , , x4 ] 0.0344 可得N3(x)的截断误差
f [x, x0 ,L , xn1] f [x0 , x1,L , xn] f [x, x0,L , xn]( x xn ) 依次把后式代入前式，最后得
f ( x) f ( x0 ) f [x, x0 ]( x x0 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 ) f [x, x0 , x1]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1]( x x0 ) f [x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [x, x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
1
数学学院 信息与计算科学系
分析“承袭性”，先考察的n=1情形，此时线
性插值多项式记为P1(x), 它满足插值条件 P1(x0)=f(x0), P1(x1)=f(x1), 用(2.1)式的点斜式表示为
P1( x)
f ( x0 )
f
(
x1 ) x1

f( x0
x0 )
(
x

x0
),
它可看成是零次多项式的修正P0(x)=f(x0)，即
则Pn(x)可表示为
Pn( x) a0 a1( x x0 ) L an( x x0 )L ( x xn1),
其中a0,a1,…, an为待定系数，可由条件(3.1)确定. 与 拉格朗日插值不同，这里的Pn(x)是由基函数{1,x-x0, …,(x-x0)…(x-xn-1)}逐次递推得到的. 为了给出系数 ai(i=0,1, …,n)的表达式，需引进差商(即均差)的定义.
的情形，这里h称为步长，此时插值公式可得到简化. 设点xi的函数值为fk=f(xk)，fk+1-fk , fk-fk-1分别称为函数 f(x)在点xk处的一阶向前差分和一阶向后差分. 记为
fk fk1 fk , fk fk fk1
由插值多项式的唯一性知，它与拉格朗日插值多 项式是等价的，即 Ln(x) Nn(x)
数学学院 信息与计算科学系
且有如下递推形式
Nn( x) Nn1( x) f [x0, , xn]( x x0 ) ( x xn1)
和余项公式
Rn( x) f [x, x0 , x1, , xn]( x x0 ) ( x xn )
解 因为f (8)(x)=-6·8 !，所以得 f [1,2, …,9]=-6, 因为f (9)(x)=0， 所以得 f [1,2, …,10]=0.
数学学院 信息与计算科学系
二、牛顿插值多项式
设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得
得
f
(x)
f [x, x0 ] f ( x0 )
f ( x) f ( x0 )
又
f [x0 , x1, x2 , x3 ] 0.1970
可得N2(x)的截断误差
R2(x) 0.1970(x 0.40)(x 0.55)(x 0.65)
得误差估计为 R2 (0.596) 0.96 104
数学学院 信息与计算科学系
因为
f [ x0 , x1, x2 , x3 ] 0.1970
数学学院 信息与计算科学系
例4 已知函数表
xi
1
3
4
7
f(xi)
0
2 15 12
求满足以上插值条件得牛顿型插值公式. 解 在例1中，我们已经计算出 f ( x0 ) 0, f [ x0 , x1] 1, f [ x0 , x1, x2 ] 4 f [ x0 , x1, x2 , x3 ] 1.25;
f
x [x, x0
x0 ]( x

x0
)
同理，由二阶差商定义
f [ x, x0 , x1]
f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] x x1
得 f [x, x0 ] f [x0 , x1] f [x, x0 , x1]( x x1)
如此继续下去，可得一系列等式
数学学院 信息与计算科学系
称为函数f (x)关于点x0, x1, xk 的二阶差商.
数学学院 信息与计算科学系
一般地, 称
f [x0, x1,L
, xk ]
f [x0,L
, xk2 , xk ] f [x0, x1,L xk xk1
, xk1]
为函数f (x)在点x0 , x1 , …, xk的 k 阶差商.

x2 x0
x1 x0
x2 x1
系数a2是函数f(x)的“差商的差商”.
数学学院 信息与计算科学系
一般情况已知f(x)在插值点上xi(i=0,1, …,n)的值 为f(xi)(i=0,1, …,n)，要求n次插值多项式满足条件
Pn( xi ) f ( xi ), i 0,1,L , n,
0.2800 0.3588 0.4336
0.1970 0.2137
0.0344
数学学院 信息与计算科学系
由上表可得过前三点的二次牛顿插值多项式为
N2( x) 0.41075 1.1160( x 0.40) 0.2800( x 0.40)( x 0.55)
故
f (0.596) N2(0.596) 0.632010
f ( x) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 ) f [ x, x0 ] f [ x0 , x1] f [ x, x0 , x1]( x x1 ) f [ x, x0 , x1] f [ x0 , x1, x2 ] f [ x, x0 , x1, x2 ]( x x2 )
数学学院 信息与计算科学系
一、差商的概念
1. 差商的定义
定义1
称
f [ x0 , xk ]
f ( x0 ) f ( xk ) 为函数 f (x) x0 xk
关于点x0, xk的一阶差商. 一阶差商的差商(均差)
f [ x0 , x1, xk ]
f [ x0 , xk ] f [ x0 , x1] xk x1
数学学院 信息与计算科学系
性质2 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f [ x0 , x1,
, xn]
f (n)( )
n!
例2 f(x)=-6x8+7x5-10,求f[1,2, …,9]及f[1,2, …,10].
多项式, 并由此计算f(0.596)的近似值，并估计误差.
解 计算的差商结果做差商表为 xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
0.40 0.41075 1.1160
0.55 0.57815 1.1860
0.65 0.69675 1.2757
0.80 0.88811 1.3841
0.90 1.02652
则牛顿三次插值多项式为
N3 ( x) 0 ( x 1) 4( x 1)( x 3) 1.25( x 1)( x 3)( x 4) 1.25x3 14x2 38.75x 26
数学学院 信息与计算科学系
例5 已知f(x)=shx的数表, 分别求二次和三次牛顿插值
R3( x) 0.0344( x 0.40)( x 0.55)( x 0.65)( x 0.80) 得误差估计为 R3(0.596) 0.34 106
数学学院 信息与计算科学系
三、等距节点的牛顿插值公式
1. 差分的定义 设插值节点为等距节点,即xk=x0+kh (k=0,1, …,n)
解 做差商表
xi
f(xi)
一阶差商 二阶差商
1
0
1
3
2
4
15
13 -1
4 -3.5
7
12
三阶差商 -1.25
所以得
f [1,3,4,7] 1.25
数学学院 信息与计算科学系
2. 差商的性质 性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即
f
[ x0 ,
x1,
,
xn]

n
k0(
xk

x0
)
(
一般f(xk)称为f(x) 在点xk的零阶差商，记作f[xk]， 即 f[xk] = f(xk).
差商的计算结果要做出一个数据表格
数学学院 信息与计算科学系
差商表
xk 函数值 一阶差商 二阶差商
三阶差商 ...
x0 f (x0)
f [ x0 , x1]
x1 f (x1)
f [x0, x1, x2]
其中
Nn( x) f (x0 ) f [x0, x1]( x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0 )(x x1) L f [x0,L , xn]( x x0 )L ( x xn1)
数学学院 信息与计算科学系
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式，且易知 Nn(x) 满足插值条件式, 故其为插值问题的解，称之为牛顿 插值多项式.
xk


f (xk ) xk1 )( xk

xk 1 )
(
xk

xn
)
这一性质可以用数学归纳法证明，它表明差商与节 点的排列次序无关，即
f[x0 , x1 , x2 , ..., xn]= f[x1 , x0 , x2 , ..., xn]=…
= f[x1 , x2 , ..., xn , x0 ] 称之为差商的对称性。
P1( x) P0( x) a1( x x0 ),
其中 a1
f ( x1) f ( x0 ) 是函数f(x)的差商.
x1 x0
再考察三
个节点的二次插值P2(x)，它满足条件
数学学院 信息与计算科学系
P2( x0 ) f ( x0 ), P2( x1 ) f ( x1 ), P2( x2 ) f ( x2 ),

f (n1) ( )
(n 1)!
(
x

x0
)
( x xn )
即得差商性质2. 且可写成
Rn( x) f [xn1, x0 , x1, , xn]( x x0 ) ( x xn ) f [x0 , x1, , xn, xn1]( x x0 ) ( x xn )
数学学院 信息与计算科学系
第三节 牛顿(Newton)插值多项式
拉格朗日插值多项式的优点是利用插值基函 数使插值多项式容易建立，缺点是增加节点时原 有多项式不能利用，必须重新建立，即所有基函 数都要重新计算，这就造成计算量的浪费；牛顿 插值多项式是代数插值的另一种表现形式，当增 加节点时它具有所谓的“承袭性”，这要用到差 商的概念。
f [ x1 , x2]
f [x0, x1, x2 , x3] ...
x2 f (x2)
f [x1, x2, x3]
f [ x2 , x3]
...
x3 f (x3)
...
... ...
...
数学学院 信息与计算科学系
例1 已知数据函数
xi
1
3
4
7
f(xi)
0
2
15
12
计算三阶差商 f [1,3,4,7] .
可表示为
P2( x) P1( x) a2( x x0 )( x x1).
显然它满足条件P2(x0)=f(x0)及P2(x1)=f(x1). 令
P2(x2)=f(x2)，则得
f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x1) f ( x0 )
a2

P2( x2 ) P1( x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
数学学院 信息与计算科学系
f ( x) f ( x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x, x0, x1](x x0 )(x x1) f ( x0 ) f [x0, x1](x x0 ) f [x0, x1, x2](x x0 )(x x1) f [x, x0, x1, x2](x x0 )(x x1)(x x2 ) Nn( x) f [x, x0, , xn](x x0 )(x x1) ( x xn )