北京中考2013一模23题,一元二次方程二次函数的综合题

东城已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数． 西城)23．已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为
2
a
，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移1
4
个单位，再向上平移18个单位，得到抛物线2C ．求抛物
线2C 的解析式；
(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式
33222m mn n -+的值．
海淀23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
2y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点
A 的坐标为(2,0)-．
（1）求B 点坐标；
（2）直线
y =
1
2
x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；
②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线
y =
1
2
x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．
石景山) 如图，直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线1C 交
x 轴于另一点M （-3,0）.
(1)求抛物线1C 的解析式；
(2)直接写出抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式； (3)如果点'A 是点A 关于原点的对称点，点D 是图形2C 的顶点，那么在x 轴上是否存在点P ，使得△PAD 与△'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由.
丰台)二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．
（1） 求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．
平谷)23. 已知关于m 的一元二次方程2
21x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；
（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于
3
2
，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．
昌平)已知抛物线22y x kx k =-+-+．
（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103
，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角
的正弦值为
45
，求该抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.
-1-1
11
x
O y
怀柔)23． 已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;
（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.
通州). 已知二次函数()2
214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、
()2,0B x ，且32-<1x <1
2
-．
（1）求k 的取值范围；
（2）设二次函数()2
214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若O M O B =，求二次
函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平
行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2
214y x k x k =-++的图象上，请直接写
出满足上述条件的平行四边形的面积.
延庆如图，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 过点A(4,0)、B(1,3) .
（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、
n 的值.
顺义)已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.
房山)23.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （
3
2
，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x=t 和x=t+2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G.
①求t 的取值范围
②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由. 密云
燕山)己知二次函数)12(22
1-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．
⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；
⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左
侧)，将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：2
2)(t x y -=，
平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．
⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=2
1
(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．
大兴如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．
（1）抛物线及直线AC 的函数关系式； （2）设点M （3，m ），求使MN+MD 的值最小时m 的值； （3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由.
O x
y
3
2
-1
1
2
1
-1
答案
2013东城一模)23．解：(1)证明： Δ=23)4(1)m m +-+（ =2
6944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++．
∵ 2(1)m +≥0， ∴ 2(1)4m ++＞0．
∴ 无论m 取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2） 解关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0，
得 23(1)4
2
m m x --±++=. ………………3分
要使原方程的根是整数，必须使得2(1)4m ++是完全平方数. 设2
2
(1)4m a ++=， 则(1)(1)4a m a m ++--=.
∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同， 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨
--=⎩或12,
1 2.
a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩
解得2,1.a m =⎧⎨
=-⎩或2,
1.a m =-⎧⎨=-⎩
. ………………5分
将m =－1代入23(1)4
2
m m x --±++=，得
122,0x x =-=符合题意. ………………6分
∴ 当m =－1 时 ，原方程的根是整数. ……………7分
西城)（1）证明：∵22(4)4216a a a ∆=+-⨯=+， …………………………………1分 而2
0a ≥，
∴2160a +>，即0∆>.
∴无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根. …………2分 （2）解：∵当2a
x =
时，0y =， ∴22()(4)022
a a
a a ⨯++⨯+=.
∴2
30a a +=，即(3)0a a +=.
∵0a ≠，
∴3a =-. ………………………………………………………… 3分
∴抛物线1C 的解析式为2
2
125232()4
8
y x x x =+-=+-. ∴抛物线1C 的顶点为125(,)48
--
. ∴抛物线2C 的顶点为(0,3)-.
∴抛物线2C 的解析式为2
23y x =-. …………………………4分
（3）解：∵点A （m ，n ）和B （n ，m ）都在抛物线2C 上，
∴2
23n m =-，且2
23m n =-. ∴222()n m m n -=-. ∴2()()n m m n m n -=-+. ∴()[2()1]0m n m n -++=. ∵A 、B 两点不重合，即m n ≠， ∴2()10m n ++=. ∴1
2
m n +=-
. ……………………………………………………… 5分 ∵2
23m n =+，2
23n m =+， ∴3
3
222m mn n -+ 2
2
222m m mn n n =⋅-+⋅ n m mn m n ⋅++-⋅+=)3(2)3(
).(3n m += ………………………………………………………………6分
3
2
=-. ………………………………………………………………7分
海淀解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为212m
x m
-=-
=.………………………1分 ∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-， ∴点B 的坐标为 (4,0)．………………………2分
（2）∵点B 在直线
y =
1
2
x +4m +n 上， ∴024m n =++①.
∵点A 在二次函数2
-2y mx mx n =+的图象上， ∴044m m n =++②. ………………………3分 由①、②可得1
2
m =
，4n =-. ………………………4分 ∴ 抛物线的解析式为y ＝21
42x x --，直线的解析式为y ＝122x -． ……………5分
（3）-
5
02
d <<． ………………………7分 石景山)．解：（1）设抛物线的解析式为：2(0)y ax bx c a =++≠ ∵直线33y x =-+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，
∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1分 又∵抛物线经过A 、B 、M 三点，
∴0,930,3.
a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
解得：1
23a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩.
∴抛物线1C 的解析式为：2
23y x x =--+．………………2分
（2）抛物线1C 关于y 轴的对称图形2C 的解析式为：2
23y x x =-++. ……3分 （3）'A 点的坐标为（-1,0），∵2
23y x x =-++=2(1)4x --+， ∴该抛物线的顶点为(1,4)D ．………………………………4分 若△PAD 与△'A BO 相似，
①当
DA AP =
3'BO OA =时，43AP =，P 点坐标为1(,0)3-或7
(,0)3……………5分 ②当DA AP =
1
'3
BO OA =时，12AP =，P 点坐标为(11,0)-或(13,0)…………6分 ∴当△PAD 与△'A BO 是相似三角形时，
P 点坐标为1(,0)3-或7
(,0)3
或(11,0)-或(13,0) ………………7分
丰台解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，
所以324)1(22--=--=x x x y ………………………1分
令,0322
=--x x 解之得3,121=-=x x .
∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0）……………………3分 (2) 如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b
当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b
由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b ------------------- 7分 平谷)解：（1）2242(1)8.m m ∆=-⨯⨯-=+ …….…………………………………………….1分 ∵ 20,m ≥
∴ 280.m ∆=+>
所以无论m 取任何实数，方程2
21x mx +-=0都有两个不相等的实数根. ………..2分
(2)设221y x mx =+-．
∵ 2
210x mx +-=的两根都在1-和
3
2
之间， ∴ 当1x =-时，0y >，即：210m --> ．
当32x =时，0y >，即：93
1022m +->．
∴ 1
213
m -<<． ………………………..………..………………………………3分
∵ m 为整数，
∴ 210m =--，
，． …………………………………………………………….. 4昌平23．（1）证明：当y =0时，得2
20x kx k -+-=.
∵222
44(2)(2)4b ac k k k -=--=-+. ∵2
(2)0k -≥， ∴2
(2)40k -+>.
∴无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点. ……………………
3分
（2）解：如图，过点P 作P A ⊥x 轴于A ,则∠OAP =90°，
依题意得：104,sin 3
5
OP POA =∠=
.
∴8,23
AP OA ==.
∵n <0,
∴8
(2,)3
P -.
∵P 在抛物线上， ∴84223
k k -
=-+-+. ∴23
k =-. ∴
抛
物
线
解
析
式
为
22833
y x x =--
+.
………………………………………5分
（3）当y =0时，2
28
033x x +
-=. ∴124
2,3
x x =-=，
∴抛物线与x 轴相交于点4
(2,0),(,0)3
.B C -
当直线y = - x + b 经过点C （-2，0）时，b = -2. ………………………………………
6分
当直线y = - x + b 与抛物线2
28+-33
y x x =相切时，228
33x +x-x b =-+，
∴△ = 25
8
4()093
b ++=. ∴
b
=
12136
-
.
……………………………………………………………………7分
∴ 当12136
-
＜b ＜-2时，直线与图形M 有四个交点. (8)
怀柔 (1)证明：
①当k=0时，方程为x+3=0，所以x=-3，方程有实数根.…… 1分
C B
A
P y
O
x
1
1-1
-1
②当k≠0时, ()34132
⋅-+=∆k k
=k k k 121692-++ =1692+-k k
=()0132
≥-k ………………………………2分
所以,方程有实数根
综上所述，无论k 取任何实数时，方程总有实数根 （2）令0y =，则03)13(2=+++x k kx 解关于x 的一元二次方程，得x 1=-3 ，x 2=k
1
-
……………………3分 ∵ 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数， ∴k =1………………４分
（3）由（2）得抛物线的解析式为342++=x x y 配方得y=(x ＋2)2－1
∴抛物线的顶点M （－2，－1） ∴直线OD 的解析式为y=2
1
x
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h ，2
1
h ）， (5)
分
∴平移后的抛物线解析式为y=（x －h ）2＋21
h ．
①当抛物线经过点C 时，∵C（0，9），∴h 2＋2
1
h=9，
解得h=4
145
1-±． ∴ 当
4
145-1-≤h＜4145
1-+ 时，平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点．
………………………………………………………………6分
②当抛物线与直线CD 只有一个公共点时， 由方程组y=（x －h ）2＋2
1
h ，y=－2x ＋9．
得 x 2＋（－2h ＋2）x ＋h 2＋21
h －9=0，
∴△=（－2h ＋2）2－4（h 2
＋2
1h －9）=0，
解得h=4．
此时抛物线y=（x －4）2＋2与射线CD 唯一的公共点为（3，3），符合题意
(7)
分
综上：平移后的抛物线与射线CD 只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是 h=4或
4
145-1-≤h＜4145
1-+．
通州解：(1)令0y =，则()22140x k x k -++=
解方程得：2x k =或2x =， ……………… 1分； 由题意得：()20A k ，，()20B ，
， ∴ 31222-k <<-， ∴31
44
k -<<-. ……………… 2分；
(2)令0x =，则4y k =， ∴()04M k ，， ∵OM OB =，
∴ 42k -=， ……………… 3分； ∴ 1
2
k =-
， ∴2
2y x x =--. (4)
分；
或∵OM OB =，()20B ，， ∴()0M ，-2，
把点M 的坐标分别代入()2
214y x k x k =-++中，
∴42k =-， ……………… 3分； ∴ 1
2
k =-
， ∴2
2y x x =--. (4)
分；
(3)2，517+，517-. （每个答案各1分） ……………… 7分．
4
2
2
5
10
A
O
B
延庆)解：（1）将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：
22
44b 0
13
c b c ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩…………………………1分 解之得：b=4，c=0 …………………2分 所以抛物线的解析式为：24y x x =-+……3分 将抛物线的表达式配方得：()22424y x x x =-+=--+
所以对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）…………………4分 （2）点p （m ，n ）关于直线x=2的对称点坐标为点E （4-m ，n ），则点E 关于y 轴对称点为点F 坐标为（4-m,-n ），……………………………………5分 则四边形的面积OAPF=4n =20
所以n =5，因为点P 为第四象限的点，所以n<0，所以n= -5 ………6分
代入抛物线方程得m=5 …………………………………………………7分
顺义（1）证明：①当0m =时，方程为220x -+=，所以 1x =，方程有实数根.…… 1分
②当0m ≠时, []2
(32)4(22)m m m ∆=-+-+ =2
2
912488m m m m ++-- =244m m ++
=2
(2)0m +≥ ………………………………2分 所以,方程有实数根
综①②所述，无论m 取任何实数时，方程恒有实数根 …………3分
（2）令0y =，则2
(32)220mx m x m -+++=
解关于x 的一元二次方程，得11x = ，22
2x m
=+
……………………5分 二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数， 所以m 只能取1，2
所以抛物线的解析式为2
54y x x =-+或2
286y x x =-+………………7分 房山)解：
（1）根据题意，抛物线2
y x bx c =-++与x 轴交点为（1,0）和（5,0）----1分
∴102550b c b c -++=⎧⎨
-++=⎩，解得6
5b c =⎧⎨=-⎩
.
∴抛物线的解析式为265y x x =-+-. --------------------2分
（2）∵265y x x =-+-的图象过A （
3
2
，m ）和B （4，n ）两点 ∴ m=
74，n=3 ， ∴A （32，7
4
）和B （4，3） ------------ 3分 ∵直线y kx b =+（k ≠0）过A （32，7
4
）和B （4，3）两点
∴372443k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得121
k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩. ∴直线的解析式为1
12
y x =
+. -------------------4分 （3）①根据题意3
2
24
t t ⎧⎪⎨⎪+⎩＞
＜，解得32≤t ≤2 -------------------5分 ②根据题意E （t ，
1t 12
+），F （t+2，1
t 22+）
H （t ，2
t 6t 5-+-），G （t+2，2
t 2t 3-++），
∴EH=2
11t t 62-+
-，FG=23
t t 12
-++. 若EFGH 是平行四边形，则EH=FG ，即211t t 62-+-=2
3t t 12
-++
解得t=7
4， - ---------------------6分
∵t=74满足3
2
≤t ≤2.
∴存在适当的t 值，且t=7
4
使得EFGH 是平行四边形.----------7分
密云（1）当2k =-时，(1,2)A -
A 在反比例函数图像上
∴设反比例函数为
k y x =
，
代入A 点坐标可得2k =-
2
...........................2y x
-∴=
分
（2）要使得反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大，
0.....................
k ∴<分 而对于二次函数2
y kx kx k =+-，其对称轴为
12x =-
，
要使二次函数满足上述条件，在0k <的情况下， 则x 必须在对称轴的左边，
(图为一种可能的情况)
即
1
2x <-
时，才能使得y 随着x 的增大而增大………………..4分
∴ 综上所述，则0k <，且12x <-
（3）由(2)可得15(,)
24Q k --
ABQ ∆是以AB 为斜边的直角三角形
A 点与
B 点关于原点对称，所以原点O 平分AB
又
直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半
...........................5OQ OA OB ∴==分 作AD OC ⊥，QC OC ⊥
222
125416
O Q C Q O C k
=
+=
+ 而2221OA AD OD k =
+=+
2
2
1251416
k k ∴
+=+， 则233k =
，或2
3...................................73k =-分
燕山)⑴ 令01=y ，得△＝2
22)1(4484)12(4)2(-=+-=---t t t t t ， …………1分
∵t >1，∴△＝2
)1(4-t >0，
∴无论t 取何值，方程0)12(22=-+-t tx x 总有两个不相等的实数根，
∴无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点． ………………………2分 ⑵解法一：解方程0)12(22
=-+-t tx x 得，
11=x ，122-=t x ， ………………………3分
∵t >1，∴112>-t ．得A (1，0)，B (12-t ，0)， ∵D (m ，n )，E (m ＋2，n )， ∴DE ＝AB ＝2，
即2112=--t ，解得2=t ． ………………………4分 ∴二次函数为1)2(34221--=+-=x x x y ，
显然将抛物线1C 向上平移1个单位可得抛物线2C ：22)2(-=x y ，
故1=n ． ………………………5分 解法二：∵D (m ，n )在抛物线2C ：22)(t x y -=上，
∴2)(t m n -=，解得n t m ±=， ………………………3分 ∴D (n t -，n )，E (n t +，n )，
∵DE ＝2，∴n t +－(n t -)＝n 2＝2， ………………………4分 解得 1=n ． ………………………5分 ⑶由⑵得抛物线2C ：22)2(-=x y ，D (1，1)，E (3，1)， 翻折后，顶点F (2，0)的对应点为F ＇(2，2)， 如图，当直线b x y +-=2
1
经过点D (1，1)时，记为1l ， 此时2
3
=
b ，图形G 与1l 只有一个公共点； 当直线b x y +-=21经过点E (3，1)时，记为2l ，此时2
5
=b ，图形G 与2l 有三个公
共点；
当3<b 时，由图象可知，只有当直线l :b x y +-
=2
1
位于1l 与2l 之间时，图形G 与直线l 有且只有两个公共点， ∴符合题意的b 的取值范围是
2
5
23<<b ． …………………7分 大兴解：（1）由抛物线y=﹣x 2+bx+c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，
， 解得
.
∴ 抛物线为y=﹣x 2+2x+3 . ………………………………………1分
又设直线为y=kx+n 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得,
， 解得
.
∴ 直线AC 为y=x+1 . ………………………………………2分 （2）作N 点关于直线x=3的对称点N ′，则N ′（6，3），由（1）得D （1，4）， ∴ 直线DN ′的函数关系式为y=﹣x+
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小
则m=﹣×=………………………………………4分
（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
∵点E在直线AC上，设E（x，x+1）
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3）
∵F在抛物线上，∴x+3=﹣x2+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x﹣1）由F在抛物线上，∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
，∴E（，
317
2
-
）或（，）
满足条件的点E为E（0，1）、（，317
2
-
）或（，）.。