山东省泰安市宁阳一中2018_2019学年高二数学上学期期中试题2018120301164

宁阳一中2017级高二上学期期中考试
数学试题
一.选择题(共12题，每题5分，共60分.)
1、命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是()
A.∀x∈R，|x|+x2<0
B.∀x∈R，|x|+x2≤0
22
C.∃x0∈R，|x0|+ <0
D.∃x0∈R，|x0|+ ≥0
x x
00
2、下列命题中，正确的是（）
A．若a b,c d,则a c b d B. 若a b,c d,则ac bd
a b则
C. 若ac bc,则a b
D.若,
a b
c c
22
2y
2
3、抛物线y24x的焦点到双曲线x1的渐近线的距离是()
3
13
A. B. C.1 D.
22
3
x y x y
2222
4、椭圆1与双曲线1有相同的焦点，则k应满足的条件是()
9k2k3
A. k=2
B. 2<k<3
C. k
3 D. 0<k<3
5、若a 0，b 0，且a b 4，则下列不等式恒成立的是（）
1
1
11
A．B．C．D．
1ab 2a2b28
ab2a b
6、设{a n}为等差数列，S为其前n S S,n S()
项和，若8则当为何值时最大
n12n
A．8 B.9 C.10 D.12
x
7、椭圆
16
2
则AF
1
y2
9
BF
1
1的两个焦点为
F,
1
的值为（
F,过F的直线交椭圆于A、B两点，
若
22
）
A B 6，
A.
10 B.8 C.16 D.12
y
2
8、双曲线x21的离心率大于2的充要条件是()
m
1
A.m>
B. m>1
C. m≥1
D.m>2
2
9、已知数列{a}的前n项和为
n S，且S2a1，则数列{a}的通项公式为
（）
n n n n
1
A.a
2n
1
B. a
2n
1
C. a
2n 3
D.
n
1
n
n
n
n
a 2
- 2
x
y
2
2
10、已知双曲线
1(a
0,b 0) ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 M ，
a
b
2
2
N 两点，O 为坐标原点，若 OM ON ，则双曲线的离心率为( )
1 3
1 3 1 5
A.
B.
C.
D.
2
2
2
1
2
5 x
2
2
y
11、椭圆 C ：
1的左、右顶点分别为 A 1，A 2，点 P 在 C 上且直线 PA 2斜率的取值范 4
3
围是
2 ，1，那么直线 PA 1
斜率的取值范围是( )
1 3
3 3 1
A
. B
, . ,
C . ,1
4
2
8 4
2
D 3
. ,1D 3 4
12、过抛物线 y 2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，点 O 是原点，若|AF|=3，则△AOB 的面积为( )
2 3 2 A.
B. C.
D.
2
2
2
2 2
二、填空题（共 4题，每题 5分，共 20分.)
13、若一个椭圆的长轴长是短轴长的 3倍，焦距为 8，则这个椭圆的标准方程为 14、 抛物线 y
2x 2 的焦点坐标为_________.
15、数列{ }的通项公式 a n
n 2 ，则其前 n 项和为_______________．
a
n
n
x y
22
16、已知双曲线1(a 0,b 0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线
a b
22x22py(p 0)
的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA c，则双曲线的渐近线方程为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17、（本小题满分10分）
（1）已知x 3,求y
x x 4
的最小值，并求取到最小值时x的值。

3
（2）已知x 0，y
x
0，
2
y
3
2,求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的
值
2
18、（本小题满分12分）
已知条件p:x23x 40，条件q:x26x 9m20，若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围
19、（本小题满分12分）
已知数列满足
a a213
1a a
n n
1
n，
(1)求证：数列1是等比数列.
a
n
(2)求数列的通项公式和前n项和
a
n S n
20、（本小题满分12分）
已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值.
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.
21、（本小题满分12分）
设等差数列{a}的公差为d，前n项和为S，已知5，10
．
a120
2
S n n （Ⅰ）求数列{a}的通项公式；
n
11
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证．
b{b}n T T
n a a
n n n
6
n n1
3
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为F 1,0，点
M
3
2
,
6
2
在椭圆上，
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）斜率为k的直线l过点F且不与坐标轴垂直，直线l交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
宁阳一中2017级高二上学期期中考试
数学试题答案
一.选择题(共12题，每题5分，共60分.)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B A D C A B A D B C
二、填空题（共4题，每题5分，共20分.)
x y y x
0,
2222
1
13、1或114、()15、(n 1)2n1216、y
x 1821828
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17、（本小题满分10分）
解（：1）x 3,x 3
y
x
x
4
3
(x
3)
x
4
3
3
24
3
7 (3)
分
4
当且仅当x
57 (5)
3时取等号，即x时，y的最小值为分
x 3
（2）x 0，y 0
，
x
2
y
3
2
x
2
y
3
(7)
分
22
x y
6
xy
6 (8)
分
(10)
x y
x y
当且仅当1
时取等号，即2,
3时，xy的最大值
为6
23
分
4
解：p：-1≤x≤4，.............2分q：3-m≤x≤3+m(m>0)或3+m≤x≤3-m(m<0)，.............4分
若p是q的充分不必要条件，
m>0,m<0,
依题意得，{或......... ....8分
3+m≥4,{
3―m≤―1,3+m≤―1,
3―m≥4,
解得m≤-4或m≥4....................12分
19、（本小题满分12分）
a n+1―1
(1)依题意有a n+1-1=2a n-2且a1-1=2，所以=2，...........4分
a n―1
所以数列{a n-1}是等比数列.
(2)由(1)知a n-1=(a1-1)2n-1.
即a n-1=2n，所以a n=2n+1，...........8分
而S n=a1+a2+…+a n=(2+1)+(22+1)+(23+1)+…+(2n+1) ............10分
2(1―2n)
=(2+22+23+…+2n)+n= +n
1―2
=2n+1-2+n. ..............12分
20、（本小题满分12分）
3
(x―2). ..............1分(1)直线l的方程为y= 3
y2=6x,
9
联立{消去y，得x2-5x+ =0. ..............3分
3
y=3(x―2),
4
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=5，.............4分而|AB|=|AF|+|BF|= x1+x2+p，所以|AB|=5+3=8. ............6分(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3，所以x1+x2=6，...........8分于是线段AB的中点M的横坐标是3. ............10分
3 3 9
又准线方程是x = - ，所以M到准线的距离为3+ = . ...........12分
222
5
2 a a
d 5
1
解析（Ⅰ）：由
(10
1)
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
10 S 10a
d 120
2
10
1
a
3
1
解得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
d
2
所以 a
3 (n 1) 2 2n 1
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
n
1
1 1 1
1 （Ⅱ）b
(
) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 n
1
a n n n n
n n a
(2
1)(2
3)
2 2 1 2 3
T n
b n
b 1 b
b
．．．．．．．．
2
3
1 2 1 3 (
1 5
15
17
17
19
1 1 ．．．．．． ．．．．．．．．．．10
分
) 2n
1 2n 3
1 2 1 3 (
1 1
1 1
) 2n 3 6 2(2n 3) 6
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
22、（本小题满分 12分）
x
y
2
2
解析：（Ⅰ）设椭圆方程为
1 (a b 0)
．．．．．．．．．．．．．1分
a
b
2
2
2
2
a b 1 (1)
6a 2
3b 2
4a 2b
则
3
3
由（2）得 （3）
1 (2)
4a
2b
2
2
由（1）得b 2 a 2 1代入（3）得 6a 2
3(a 2
1) 4a 2 (a 2 1) ，
即 4a 4
13a 2 3 0 ，即 (4a 2
1)(a 2
3)
．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
a 2
a 2
3，或 1
4 因为 a 2
1，所以 a 2
3，b 2 2， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
x
y
2
2
所以椭圆方程为
1
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
3
2
（Ⅱ）（法一）
设 A (x 1, y 1), B (x 2 , y 2 ), AB 中点 N (x 0 , y 0 ) ， 直线 AB 的方程为 y
k (x 1)（ k 0 ）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
6
x
y
2
2
代入
1，整理得 3 6 3( ) 0 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
( k 2
2)x 2 k 2 x
k 2 2
3
2
因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F ，所以方程有两个不等实根
6k 2 4k y
y k (x x 2)
则 x
x
，
．．．．．．．．．．．．．．．9分
1
2
1
3 2
3k
k 2
2
2
1
2
2
3k
2
所以 x
，
2
3k
2
2k y
2
3k
2
2k
1 3k
2
所以 AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y
(x
) 3k 2
2
k
2
3k
2
y
k
1 2 2
x
时，
．．．．．．．．．．．．．10分
G
3k 2
2 3 3(3k 2 2) 2
1
2
因为 k
0 ，所以3(3k
2
2)
6，
，
3(3k
2) 3
1 3
2
1
1
2
0 x
，所以
．．．．．．．．．．．．．12分
3( k
) 3 3
3
2
G
（Ⅱ）（法二）
设 A (x 1, y 1), B (x 2 , y 2 ), AB 中点 N (x 0 , y 0 )
．．．．．．．．．．．．．7分
x 1 2
3
由
x
2 2
3
y 2 1
2 y
2 2
2
1 1
(1) (2)
(x
x )(x x ) (y
y )(y
y ) (
0 1) (2)
1
2
1
2
1
2
1
2
得
3 2
y y
2(x x )
2x
k
1
2
1
2
斜率
．．．．．．．．．．．．．9分
x
x
3(y
y )
3y
1
2
1
2
y 2x
y k
又
，所以
， ．．．．．．．．．．．．．10分
x
1 3y
x
1
所以 2x 0 (x
1)
3y 2
0 ，得 0
1
x
x
y
2
2
因为 ( , ) 在椭圆内，即
，
x 0 y
1
3 2
7
2x (x
1) x 2 x x
2
将
代入得
，
y
1
2
3
3
3
解得 x 0 3 所以 0
x 0
1
．．．．．11分
3y
则 AB 的垂直平分线为 y 0
(x x ) ，
y
2x
1
1 0
x
(0, 时，
．．．．．．．．．．．．．12分
3
3
8。