高一数学人教A版必修1本章测评一：第一章集合与函数概念_Word版含解析

高一数学人教A 版必修1本章测评一：第一章集合与函数概念
本章测试
一、选择题
1.如图1-1,U 是全集,M 、P 、S 是U 的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
图1-1
A.(M ∩P)∩S
B.(M ∩N)∪S
C.(M ∩P)∩S
D.(M ∩N)∪S
思路解析:符号语言、图形语言、文字语言三者的转译能力是高考命题的一个侧重点,应力求熟练准确. 图中阴影部分的元素x 的属性是:x ∈M 且x ∈P,但x ∉S.故选C.
答案:C
2.设f(x)、g(x)都是单调函数,有下列命题:①若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是增函数;②若f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数;③若f(x)是减函数,g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是减函数;④若f(x)是减函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是减函数.
其中正确的命题是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
思路解析:g(x)是单调函数,-g(x)也是单调函数,它与g(x)有相反的增减性.两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数,∴②③对.
答案:C
3.满足条件{1,2}⊆A {1,2,3,4}的集合A 的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
思路解析:∵{1,2}⊆A {1,2,3,4},
∴A 中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3(4)三个元素.
∴集合A 可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.
∴集合A 的个数是3.故选C.
答案:C
4.同时满足(1)M ⊆{1,2,3,4,5},(2)若a ∈M,则6-a ∈M 的非空集合M 有( )
A.32个
B.15个
C.7个
D.6个
思路解析:∵M ⊆{1,2,3,4,5},a ∈M,则6-a ∈M,
∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M,3可单独出现.
∴集合M 的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.
故选C.
答案:C
5.f(x)=x 5+ax 3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于( )
A.-26
B.-18
C.-10
D.10
思路解析:∵f(x)=x 5+ax 3+bx-8,
f(-2)=(x 5+ax 3+bx)-8=10,则(x 5+ax 3+bx)=18,
f(2)=-(x 5+ax 3+bx)-8=-26.
答案:A
6.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系,如果购买1 000吨,每吨为800元;购买2 000吨,每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( )
A.820元
B.840元
C.860元
D.880元 思路解析:设y=kx+b,由⎩⎨
⎧+=+=,7002000,8001000b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.
9000,10b k ∴y=-10x+9 000.∴x=109000y -. 当y=400时,x=860元.故选C.
答案:C
7.设数集M={x|m ≤x ≤m+4
3},N={x|n-31≤x ≤n},且M 、N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集,如果把b-a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”,那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.
31 B. 32 C.121 D.12
5 思路解析:根据定义,可知集合M 、N 的长度一定,分别为43、3
1,要使集合M ∩N 的“长度”最小,应取m=0,n=1,得M ∩N={x|32≤x ≤43},其区间长度为43-32=121.故选C. 答案:C
8.若f(x)=1
22
+x x ,则f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)等于( ) A.3 B.27 C.4 D.2
9 思路解析:f(x)+f(x 1)=122
+x x +112+x =1,∴f(2)+f(21)=f(3)+f(31)=f(4)+f(4
1)=1. 又f(1)= 21,∴原式=2
7. 答案:B
9.设M 、P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉P},则M-(M-P)等于( )
A.P
B.M
C.M ∩P
D.M ∪P
思路解析:这是一道新定义的集合运算,关键是将M-P 用我们熟悉的交、并、补运算来表示.根据定义,“x ∈M 且x ∉P ”等价于“x ∈M ∩(P)”,为此,可设全集为U,则M-P=M ∩(P).于是有
M-(M-P)=M-［M ∩(P)］=M ∩(M ∪P)=(M ∩M)∪(M ∩P)= ∅∪(M ∩P)=M ∩P.
答案:C
10.定义在R 上的偶函数在［0,7］上是增函数,在［7,+∞］上是减函数,又f(7)=6,则f(x)( )
A.在［-7,0］上是增函数,且最大值是6
B.在［-7,0］上是减函数,且最大值是6
C.在［-7,0］上是增函数,且最小值是6
D.在［-7,0］上是减函数,且最小值是6
思路解析:f(x)是偶函数,得f(x)关于y 轴对称,如图1-2-,则f(x)在［-7,0］上是减函数,且最大值为6.
图1-2 答案:B
二、填空题
11.已知集合A={x|x 2-2x-3=0},集合B={x|ax-1=0}.若B 是A 的真子集,则a 的值为_______.
思路解析:因集合A 是确定的,所以先求出集合A={-1,3}.
B 是A 的真子集,需考虑两种情况:
(1)B 是空集时,a=0;
(2)B 不是空集时,a=-1或a=
31. 答案:0或-1或3
1 12.已知集合A={x|x 2+(m+2)x+1=0},若A ∩R +=∅〔R +=(0,+∞)〕,则实数m 的取值范围为_______________. 思路解析:本题综合考查方程的根与系数的关系以及集合的运算,同时此题还需特别注意空集的特殊性. A ∩R +=∅,且方程x 2+(m+2)x+1=0无零根,
所以该方程只有两个负根或无实数根,
即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆0
)2(,04)2(2m m 或Δ=(m+2)2-4<0.
综上可得m>-4.
答案:m>-4
13.f(x)的定义域为(0,1),则g(x)=f(x+31)+f(x-3
1)的定义域是__________. 思路解析:由已知得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤-<≤+<.1310,1310x x 解得31<x ≤32. 答案: 31<x ≤3
2 14.设函数f(x)=x 2+x+2
1,则在其定义域［n,n+1］,n ∈N 上,函数值域中共有个整数. 思路解析:不难判断函数f(x)=x 2+x+2
1在［n,n+1］,n ∈N 上是增函数, 即n 2+n+21≤y ≤(n+1)2+(n+1)+ 21=n 2+3n+2
5成立. 又因为n 2+n+21和n 2+3n+25均非整数,而且［n 2+n+21,n 2+3n+25］上有(n 2+3n+25)-(n 2+n+2
1)=2n+2个整数,所以函数f(x)=x 2+x+2
1的值域中共有2n+2个整数. 答案:2n+2
三、简答题
15.设A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0},其中a ∈R ,如果A ∩B=B,求实数a 的取值范围.
思路分析:由题意易知B 有四种情况,再对四种情况讨论转化为一元二次方程根的讨论.
解:化简A={0,-4},∵A ∩B=B,∴B ⊆A.
(1)当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1.
(2)当B={0}或{4},即B A 时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1,此时B={0},满足B ⊆A.
(3)当B={0,-4}时,
⎪⎩
⎪⎨⎧=--=+->--+=∆,01,
4)1(2,0)1(4)1(4222a a a a 解得a=1.
综上所述,实数a 的取值范围是a=1或a ≤-1.
评述:由A ∩B=B 得到B ⊆A,再进行运算时,容易疏漏B=∅的情况.若改为A ∪B=A 同样有B ⊆A.
16.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在［0,1)上是增函数,若f(a-2)-f(4-a 2)<0,求a 的取值范围. 解:由函数的定义域知⎩⎨⎧<-<-<-<-,141,
1212a a ∴3<a<5.
又∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,
∴f(4-a 2)=f(a 2-4).
则f(a-2)-f(4-a 2)<0⇒f(a-2)<f(a 2-4). 结合3<a<5,可知(a-2)与(a 2-4)同号.
又∵在［0,1］上f(x)是增函数,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<.|4||2|,532a a a 解得a ∈(3,2)∪(2, 5).
17.上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费.以前,上海地区通过“上海热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟,上网费0.12元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求,自1999年3月1日起,上海地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟,上网费每月不超过60小时,以4.00元/小时计算,超过60小时部分,以8.00元/小时计算.
(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数.
(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月上网60小时的费用支出,因特网费调整后,若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出,该网民现在每月可上网约多少小时?(精确到0.01小时)
(3)从涨价和降价的角度分析该地区调整前、后上因特网的费用情况.
思路分析:理解题意,把实际问题转化为数学问题去处理.
解:(1)由题意知,y=.
60,600,2402.11,2.7>≤≤⎩⎨⎧-x x x x (2)调整前上网的费用与上网时间的函数关系为y 1=0.12×20x+0.12×60x=9.6x,当x=60时,y 1=576(元).由7.2×60=432<576,∴调整后该用户上网时间超过60小时.
由11.2x-240=576,∴x ≈72.86(小时).
答:该用户可上网约72.86小时.
(3)调整前每小时平均费用9.6元.
调整后,若x ∈［0,60］时每小时平均费用为7.2元;若x>60时,每小时平均费用为(11.2-
x 240)元. 由11.2-x
240≥9.6,则x ≥150.所以当用户上网时间小于150小时时上网费用是降低了, 而当上网时间大于150小时,上网费用是涨价了,但不会高于每小时11.2元.
18.设集合A={x|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={
21}时,求p 的值和A ∪B. 思路分析:∵A ∩B={
21},∴21∈A,且21∈B. ∴2
1既是方程2x 2+3px+2=0的根,又是方程2x 2+x+q=0的根. 代入易求得p 、q 的值,从而得集合A 、B,求得A ∪B.
解:∵A ∩B={
21},∴21∈A.∴2(21)2+3p(21)+2=0.∴p=-35.∴A={2
1,2}. 又∵A ∩B={21},∴21∈B.∴2(21)2+2
1+q=0.∴q=-1. ∴B={21,-1}.∴A ∪B={-1, 21,2}. 评述:本题考查了元素与集合的关系,应让学生深刻理解.会进行交集和并集的运算.
19.设S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合,
①S 内不含1;
②若a ∈S,则a
-11∈S. 解答下列问题:
(1)若2∈S,则S 中必有其他两个数,求出这两个数;
(2)求证:若a ∈S,则1-a
1∈S; (3)在集合S 中元素的个数能否只有一个？请说明理由.
思路分析:理解集合中元素的属性是解决问题的突破口,由(1)、(2)知S 中不能只有一个元素,对问题(3),若从正面考虑有困难,可逆向思考,即正难则反.
(1)解:∵2∈S,∴
211-∈S,即-1∈S ∴)
1(11--∈S,即21∈S. (2)证明:∵a ∈S,∴a -11∈S.∴a
--1111=1-a 1∈S. (3)解:(用反证法)假设S 中只有一个元素,则有a=1-a 1,即a 2-a+1=0,方程无实数解, ∴集合S 中不能只有一个元素.
评述:元素是否属于某个集合,关键是看它是否适合集合的公共属性.反证法是证明问题的一种重要方法,应让学生逐步掌握.
20.已知函数f(x)对任意x 、y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)当x ∈［-3,3］时,函数f(x)是否有最值？如果有,求出最值;如果没有,请说明理由.
解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0)=f(0)+f(0) ⇒f(0)=0.
而0=x-x,因此0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),
即f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x).
∴函数f(x)为奇函数.
(2)设x 1<x 2,由f(x+y)=f(x)+f(y)知
f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1)〔f(x)为奇函数〕,
∵(x 2-x 1)>0,且x>0时f(x)<0,
∴f(x 2-x 1)=f(x 2)-f(x 1)<0,
即f(x 2)<f(x 1).
函数f(x)是定义域上的减函数,
当x ∈［-3,3］时,函数f(x)有最值.
当x=-3时,函数有最大值f(-3);当x=3时,函数有最小值f(3).
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6,
f(-3)=-f(3)=6.
∴当x=-3时,函数有最大值6;当x=3时,函数有最小值-6.。