4-4-变上限积分函数及其导数.doc

模块基本信息
一级模块名称积分学二级模块名称基础模块
二级模块名称变上限积分函数及其导数
模块编号4-4
先行知识
1、定积分的概念■■■
帳
!块编号4-2 2、定积分的性质模块编号4-3知识内容教学要求掌握程度
1、变上限积分函数及原函数的概念1、理解变上限积分函数及原
函数的概念
一般掌握
2、变上限积分函数的求导2、掌握变上限积分函数的求导
能力目标培养学生知识类比、迁移的能力
时间分配45分钟编撰王明校对熊文婷审核危子青修订人张云匾二审危子青
一、正文编写思路及特点
思路：先复习定积分的概念和性质，给出变上限积分函数的定义, 通过两个定理来展示变上限积分函数的性质.
特点：引导学牛根据已学过的相关知识理解新知识
二、授课部分
（-）新课讲授
前面我们利用定积分的概念计算了定积分的值，从中我们可以看到利用定义来求定积分是一件十分麻烦而困难的事，因此我们必须寻找一种计算定积分的新方法，即后面要学习的微积分
基木定理。

为了学习微积分基本定理，我们先来研究变上限积分函数及其导数的相关知识，为微积分基木定理的证明做准备.
1、变上限积分函数
定义：设函数/U）在区间［⑦洌上连续，并且设x为a bi上的一点, 考察定积分打（兀加，如果上限兀在区间［。

,创上任意变动，则对于每一个取定的兀，定积分都有一个相应的积分值
与之对应?因此它在⑺,创上定义了一个函数，称为变上限积分函数，记作
①（兀兀,
为明确起见，常记作o（x）=￡7（/w/ o
说明：当/（X）＞0,利用定积分的几何意义可以直观地看到积分
上限的函数所表示的意义：积分jy⑴力表示图1中阴影部分的面积.
卜?面讨论这个函数的可导性
定理1如果函数几。

在区间0,甸上连续，则函数
O(x) =［^f(x)dx
在s,切上具有导数，并且它的导数为
①‘⑴Wt=f(x) (a<x<h).
(选讲)证明:若b),取Ax 使x-f-Ax^(a9 h).
A(P=(P(x^-Ax)—①(x)=广打⑴加
应用积分中值定理,有△①寸?Ax,
其中g在x与x+Ax之间,Ax—>()时,.于是
0仪丿=1曲竽=hmf^=hmf^)=f(x).
山7) Ax A XT()
若x=a ,取&>0,贝【J同理可证①　+(x)=f(a);若x=b ,取Ax<0,则同理可证①_?)=f(b).
注：(1)变上限积分函数的导数其结果为被积函数/(X)本身
(2)若e(x) = /O),则称函数①(x)为/(兀)在［a, b］上的一个原函数.此定理说明连
续函数一定存在原函数，它其中的一个原函数就是一个变上限积分函数.
2、例题
例1求下列函数的导数：
⑴　①（兀）=[cos ⑵ + l ）df （—级）（2）①（兀）=J R cos 3/df （一级）⑶①（兀）=『/力（二级）
⑷①（x ） = J :必（二级）解:（1）直接利用积分上限函数的求导法则,Q>3 = cos （2兀+1）. (2)O(x) = -￡e { cos3tdt ,则①'(兀)=-e x cos3x. (3)①(x) = J &力可视为g(u) = j"/力与构成的复合函数，则由复合函数求导公式可得
① G) = g 3)" = / ? 2x = 2xe x4.说明：利用此方法，可推出一般公式
([：⑴f ⑴山)1= .f (°(尤))0(尢) 2 2 3(4)①(x) =(&/+- e !dt = [ e l dt- [ e r dt J.v 3 Jo Jo Jo 2 3则①?) = (￡e 1dt) *-(￡" e l dt) * = / ? 2x 一/ ? 3x 2说明：一般的，若①(x)=『(：/(/)〃/,有
①(兀)=/(g(x))g (兀)一/(/2(X ))A (X )
求极限lim^C °SZ
XT O x （二级）
rcosx
s =lim x->()_严“ ? (cos 兀)，R _￡YE ?（COS Q V e^^sinx
=lim ------------------- = lim -------------- 心0 2X 入TO 2X
=丄lim 厂叫Hm 竺兰= -e~
l
2 XTO XTO x 2 三、能力反馈部分
1、求下列函数的导数（掌握变上限积分函数的求导）
（1）
①（x ） = J ： tan （, +1）dt （一级）（2）
①（兀）=[!?力（一级）
⑶①（兀）=匸号G （二级）2、求极限（利用变上限积分函数的求导求极限）
[X
sin tdt （1）lim —? （二级）
（2）------------------- lim （二级）
XT0 1 一COS X
解：此极限是#型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式得
原式二Hm 竺匚=1
A->0
]例3求极限lim —?（二级）
XT0 X
解：此极限是#型的未定式，利用洛必达法则和变上限积分函数的导数公式有
lim A->()
x->0。