高考数学总复习 第七章 立体几何 课时作业44 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学试题

课时作业44 直线、平面平行的判定及其性质
1．(2019·某某某某一模)下列说法中，错误的是( C )
A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，则l∥m
B．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β
C．若直线l⊥平面α，平面α⊥平面β，则l∥β
D．若直线l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直线l⊂平面β，则l∥m
解析：对于A，由面面平行的性质定理可知为真命题，故A正确；对于B，由面面垂直的性质定理可知为真命题，故B正确；对于C，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；对于D，由线面平行的性质定理可知为真命题，故D正确．综上，选C.
2．(2019·某某省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是( D )
A．a⊂α，若b∥a，则b∥α
B．α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥β
C．a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．a∩b＝A，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
解析：选项A中，b⊂α或b∥α，不正确．
B中b与β可能斜交或b在β内，B错误．
C中a∥c，a与c异面，或a与c相交，C错误．
利用面面平行的判定定理，易知D正确．
3．(2019·某某聊城模拟)下列四个正方体中，A，B，C为所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是( B )
解析：在B中，如图，连接MN，PN，
∵A，B，C为正方体所在棱的中点，
∴AB∥MN，AC∥PN，
∵MN∥DE，PN∥EF，
∴AB∥DE，AC∥EF，
∵AB∩AC＝A，DE∩EF＝E，
AB、AC⊂平面ABC，DE、EF⊂平面DEF，
∴平面ABC∥平面DEF，故选B.
4．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝( B )
A ．16
B ．24或24
5
C ．14
D ．20
解析：设BD ＝x ，由α∥β⇒AB ∥CD ⇒△PAB ∽△PCD ⇒PB PA ＝PD PC
. ①当点P 在两平面之间时，如图(1)，则有
x －8
6
＝
8
9－6
，∴x ＝24；②当点P 在两平面外侧时，如图(2)，则有8－x 6＝89＋6，∴x ＝24
5
，故选B.
5．(2019·豫西五校联考)已知m ，n ，l 1，l 2表示不同直线，α、β表示不同平面，若
m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( D )
A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥β且n ∥β
C ．m ∥β且n ∥l 2
D ．m ∥l 1且n ∥l 2
解析：对于选项A ，当m ∥β且l 1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A 不是α∥β的充分条件；对于选项B ，当m ∥β且n ∥β时，若m ∥n ，则α，β可能平行也可能相交，故B 不是α∥β的充分条件；对于选项C ，当m ∥β且n ∥l 2时，α，β可能平行也可能相交，故C 不是α∥β的充分条件；对于选项D ，当m ∥l 1，n ∥l 2时，由线面平行的判定定理可得l 1∥α，l 2∥α，又l 1∩l 2＝M ，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m ∥l 1且n ∥l 2不一定成立，故D 是α∥β的一个充分条件，故选D.
6．(2019·某某长郡中学模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA ＝AD ＝4，
AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，点E 是线段AB 的中点，点F 在线段PA 上，且EF ∥平面PCD ，
直线PD 与平面CEF 交于点H ，则线段CH 的长度为( C )
A. 2 B．2 C．2 2 D．2 3
解析：如图，∵PD与平面CEF交于点H，
∴平面CEF∩平面PCD＝CH，
∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，
过点H作HM∥PA交AD于点M，
连接CM，∵EF∩AF＝F，CH∩HM＝H，
∴平面AEF∥平面CHM，∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE ∥CM，
又BC∥AM，∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝2.
又AD＝4，∴M是AD的中点，
则H为PD的中点，∴CH＝CM2＋MH2＝22＋22＝22，故选C.
7．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件点M在线段FH上(或点M与点H重合) 时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)
解析：连接HN ，FH ，FN ，则FH ∥DD 1，HN ∥BD ，∴平面FHN ∥平面B 1BDD 1，只需M ∈FH ，则MN ⊂平面FHN ，∴MN ∥平面B 1BDD 1.
8．(2019·某某某某统一考试)在三棱锥P -ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为 8 .
解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且
EF ＝MN ＝23
AC ＝2，FM ＝EN ＝13
PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
9．如图所示，设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a
3
，过
B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝
22
3
a .
解析：如图，∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥PQ .
又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ .
∴PQ PM ＝PD AP
＝2，即PQ ＝2PM . 又知△APM ∽△ADB ，
∴PM BD ＝AP AD ＝13
， ∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223
a .
10．(2019·某某榆树模拟)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的有③.(写出所有正确命题的序号)
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β； ②若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α；
③若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n ； ④若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α.
解析：对于①，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β的位置关系是垂直或平行，故①错误；对于②，若m ∥n ，m ∥α，则n 可能在α内或平行于α，故②错误；对于③，若α∩β＝n ，
m ∥α，m ∥β，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断m ∥n ，故③正确；对于④，
若m ⊥α，m ⊥n ，则n 可能在α内或平行于α，故④错误．
11．如图所示的一块木料中，棱BC 平行于平面A ′C ′.
(1)要经过平面A ′C ′内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC 是什么位置关系？并证明你的结论．
解：(1)过点P 作B ′C ′的平行线，
交A ′B ′，C ′D ′于点E ，F ，连接BE ，CF ，作图如下：
(2)EF ∥平面AC .理由如下：
易知BE ，CF 与平面AC 相交，因为BC ∥平面A ′C ′， 又因为平面B ′C ′CB ∩平面A ′C ′＝B ′C ′， 所以BC ∥B ′C ′，
因为EF ∥B ′C ′，所以EF ∥BC ， 又因为EF ⊄平面AC ，BC ⊂平面AC ， 所以EF ∥平面AC .
12．(2019·豫北六校联考)如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1
的中点，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点．
(1)求证：四边形BDFE 为梯形； (2)求证：平面AMN ∥平面EFDB . 证明：(1)连接B 1D 1，
∵在△B 1D 1C 1中，E ，F 分别是B 1C 1，C 1D 1的中点， ∴EF ∥B 1D 1且EF ＝1
2B 1D 1，
又知四边形BDD 1B 1为矩形， ∴BD 綊B 1D 1，∴EF ∥BD 且EF ＝1
2BD .
∴四边形BDFE 为梯形．
(2)连接FM ，在△A 1B 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，A 1D 1的中点，∴MN ∥B 1D 1. 由(1)知，EF ∥B 1D 1， ∴MN ∥EF .
在正方形A 1B 1C 1D 1中，F 为C 1D 1的中点，M 为A 1B 1的中点，∴FM 綊A 1D 1， 又∵四边形ADD 1A 1为正方形，
∴AD綊A1D1，∴FM綊AD，
∴四边形ADFM为平行四边形．
∴AM綊DF.
又∵AM∩MN＝M，DF∩FE＝F，
∴平面AMN∥平面EFDB.
13．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( C )
解析：如图，过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.
∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，
MN∩MQ＝M，
∴平面MNQ∥平面DCC1D1.
又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，
∵MQ
AQ
＝
DD1
AD
＝2，∴MQ＝2x.
在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，
即y2＝4x2＋1，
∴y2－4x2＝1(x≥0，y≥1)，
∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，故选C.
14．(2019·某某某某一模)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，点P是底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面EFDB，则tan∠APA1的最大值是( D )
A.
2
2
B．1
C.2D．2 2
解析：如图，分别取A1D1的中点G，A1B1的中点H，连接GH，AG，AH，
连接A1C1，交GH，EF于点M，N，连接AM，连接AC，交BD于点O，连接ON. 易证MN綊OA，所以四边形AMNO是平行四边形，所以AM∥ON，
因为AM⊄平面BEFD，ON⊂平面BEFD，
所以AM∥平面BEFD，
易证GH∥EF，因为GH⊄平面BEFD，EF⊂平面BEFD，
所以GH∥平面BEFD，又AM∩GH＝M，AM，GH⊂平面AGH，
所以平面AGH∥平面BEFD，
所以点P 在GH 上，当点P 与点M 重合时，tan ∠APA 1的值最大． 设正方体的棱长为1，则A 1P ＝24
， 所以tan ∠APA 1的最大值为
124
＝2 2.
15．(2019·某某某某一模)如图是一X 矩形白纸ABCD ，AB ＝10，AD ＝102，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，现分别将△ABE ，△CDF 沿BE ，DF 折起，且A 、C 在平面BFDE 同侧，下列命题正确的是
①④.(写出所有正确命题的序号)
①当平面ABE ∥平面CDF 时，AC ∥平面BFDE ； ②当平面ABE ∥平面CDF 时，AE ∥CD ； ③当A 、C 重合于点P 时，PG ⊥PD ；
④当A 、C 重合于点P 时，三棱锥P -DEF 的外接球的表面积为150π. 解析：在△ABE 中，tan ∠ABE ＝22
， 在△ACD 中，tan ∠CAD ＝22
， 所以∠ABE ＝∠DAC ，
由题意，将△ABE ，△DCF 沿BE ，DF 折起，且A ，C 在平面BEDF 同侧，
此时A 、C 、G 、H 四点在同一平面内，平面ABE ∩平面AGHC ＝AG ，平面CDF ∩平面AGHC ＝CH ，当平面ABE ∥平面CDF 时，得到AG ∥CH ，
显然AG ＝CH ，所以四边形AGHC 为平行四边形，所以AC ∥GH ，进而可得AC ∥平面BFDE ，故①正确；
由于折叠后，直线AE 与直线CD 为异面直线，所以AE 与CD 不平行，故②不正确； 当A 、C 重合于点P 时，可得PG ＝103
3，PD ＝10，
又GD ＝10，∴PG 2
＋PD 2
≠GD 2
， 所以PG 与PD 不垂直，故③不正确； 当A ，C 重合于点P 时，在三棱锥P -DEF 中， △EFD 与△FCD 均为直角三角形， 所以DF 为外接球的直径，
即R ＝DF 2＝562，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫5622＝150π，故④正确．综上，正确命题的序号为①④.
16．如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 为PB 的中点．
(1)求证：CE ∥平面PAD ；
(2)在线段AB 上是否存在一点F ，使得平面PAD ∥平面CEF ？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：取PA 的中点H ，连接EH ，DH ，如图所示，
因为E 为PB 的中点，
所以EH ∥AB ，EH ＝12
AB ， 又AB ∥CD ，CD ＝12
AB ， 所以EH ∥CD ，EH ＝CD ， 因此四边形DCEH 是平行四边形，
所以CE ∥DH ，又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，
因此CE ∥平面PAD .
(2)存在点F 为AB 的中点，使平面PAD ∥平面CEF ，
证明如下：
取AB 的中点F ，连接CF ，EF ，所以AF ＝12
AB ， 又CD ＝12
AB ，所以AF ＝CD ， 又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形，
因此CF ∥AD ，
又AD⊂平面PAD，CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．。