直线与方程参考答案

直线与方程参考答案
直线的倾斜角与斜率
二、典例分析：
1、直线的倾斜角和斜率： 例1、解析:直线的斜率3333cos 33≤
≤-⇒-
=k k α,⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴πππα,656,0 例2、解析:解法一：设PA 与PB 的倾斜角分别为,αβ，直线PA 的斜率是15k =，直线
PB 的斜率是212
k =-
，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90
，斜率的取值范围为[)5,+∞。

当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜
角由90
增至β，斜率的取值范围为1,2⎛⎤
-∞-
⎥⎝⎦。

故直线l 的斜率的取值范围为[)1,5,2⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ 。

解法二：设直线l 与线段AB 的相交于点M ，且M 不同于,A B
两点。

设(0)AM MB λλ=>。

由向量相等可得
323(,)11M λλλ
--++，又∵直线l 过点(1,2)P -，∴直线l 的斜率
是3
2
5213214(1)1k λλλλλ
----+==--+--+，整理得542k k λ-=+。

∵0λ> ∴
5042k k ->+，解之得5k >或1
2
k <-。

当M 与A 重合时，2(3)
51(2)PA k --=
=---；当M 与B 重合时，201132PB k -==---。

综上所述，直线l 的斜率的取值范围为[)1,5,2⎛
⎤-∞-
+∞ ⎥⎝⎦。

解法三：设直线l 的斜率是k ，则直线l 的方程是2(1)y k x -=+，即20kx y k -++=。

∵,A B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，
∴(232)(302)0k k k k -+++-++≤，即(5)(42)0k k -+≥，解之得5k ≥或1
2
k ≤-。

故直线l 的斜率的取值范围为[)1,5,2⎛
⎤-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ 。

说明：求直线斜率取值范围的方法：
解法一：直线l 过点(1,2)P -，与线段AB 的相交于点在AB 上，用运动变化的观点，可求出符合条件的所有直线的斜率。

解法二：从整体上考虑本题中点M 在线段AB 上的数学模型，联想向量AM 与MB
共
线且同向，可考虑用向量的知识求解。

解法三：因为直线l 与线段AB 的相交，所以,A B 两点分别在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上，故可考虑用不等式表示的平面区域求解。

例3、解析:解法一：直线l ：0x my m ++=恒过点(0,1)-。

11201AP k --=
=-+，123022AQ k --==-，则132m -≥或12m -≤-，∴21
32
m -≤≤且0m ≠，
又0m =时，直线0x my m ++=与与线段PQ 有交点，∴所求实数m 的范围是
2132
m -
≤≤。

解法二：过,A B 两点的直线方程是21
1(1)21
y x --=
++，即
1433y x =+，代入0x my m ++=，整理得73
m x m =-+，由已知
7123m m -≤-≤+，解之得21
32
m -≤≤，
∴所求实数m 的范围是21
32
m -≤≤。

2、两直线平行与垂直：
例4、解法一：（1）当sin 0θ=时，1l 的斜率不存在，2l 的斜率为0，显然1l 不平行于
2l 。

当sin 0θ≠时，121,2sin sin k k θθ=-=-，欲使12l l ，只要1
2sin sin θθ
-=-，
即sin 2
θ=±，∴,4k k Z π
θπ=±∈，此时两条直线截距不相等。

∴当,4
k k Z π
θπ=±∈时，12l l 。

（2）当sin 0θ=，即,k k Z θπ=∈时，1l 的斜率不存在，
2l 的斜率为0，显然12l l ⊥。

当sin 0θ≠时，121
,2sin sin k k θθ
=-
=-，而121
()(2sin )sin k k θθ
=-
⨯-21=≠-，∴不满足12l l ⊥。

故当,k k Z θπ=∈时，12l l ⊥。

解法二：（1）由12210A B A B -=，即2
2sin 10θ-=，得sin 2
θ=±
，
由12210B C B C -≠，得sin 1θ≠-。

所以sin 2
θ=±，即,4k k Z π
θπ=±∈，
∴当,4
k k Z π
θπ=±∈时，12l l 。

（2）由12120A A B B +=，得2sin sin 0θθ+=，即sin 0θ=，∴,k k Z θπ=∈， 故当,k k Z θπ=∈时，12l l ⊥。

说明：两直线平行与垂直的判定方法：
① 解法一：将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，利用直线的斜率来判定。

② 解法二：将直线方程化为一般式，利用12l l ⊥⇔12120A A B B +=；12l l ⇔ 12210A B A B -=且12210A C A C -≠（或12210B C B C -≠）。

例5、［思路分析］
1）若令
1
1
y t x -=+，代入线段AB 所在的直线方程消去y 可得到()(231)t f x x x =-≤≤≠-且可求出t 的范围，但计算较繁。

2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。

解：令
1
1
y t x -=+，不难发现t 就是线段AB 一动点M 与定点P （-1，1）连线的的斜率如图。

易求出12,4PA PB k k =-=，由图知，满足题意的直线PM 的斜率为1
,24
k k ≥≤-，
即1
1
y x -+的取值范围为1(,2][,)4-∞-+∞ 。

说明：① 形如“1
1
y y t x x -=-”的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。

② 对于曲线y=f(x)上任一动点P （x,y ），探求0
y y t x x +=+的范围
问题都可联想直线斜率公式，数形结合解决。

三、巩固训练：
1. 解：设直线y ＝x cosα＋m 的倾斜角为θ，则
tan cos (1,0)k θα==∈-，∴倾斜角为3(
,)4
π
θπ∈。

答案：D 。

2. 解：∵a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对的边长，， ∴由正弦定理得
sin sin a b
A B
=，即sin sin a B b A =，而1212s i n (s i n )0
A A
B B b A a B +=+-=，所以两条直线垂直。

答案：B 。

3. 解：直线ax+y+1=0过定点C(0,－1),当直线处在AC 与BC 之间时,必与线段AB 相交,应满
足213+≥
-a 或3
1
2-+≤-a 即2-≤a 或1≥a . 答案：D 。

【思维点拨】斜率与倾斜角的范围之间不能想当然,要根据具体情况而定 4. 解：①当a ＝1时，2
π
α=
②当a ≠1时，∵k ＝
11-a ∈(－∞，－3)∪[3
3
，＋∞)∴α∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,6ππ∪⎥⎦
⎤ ⎝⎛32,2ππ 综合①②知直线l 的倾斜角α∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡32,
6
ππ
5. 错解：（1）直线x+2ay －1=0与直线（3a －1）·x －ay －1=0的方程可变形为 y=－
a 21x+a 21与y=a a 13-x －a
1
. ∴ 当－a 21=a a 13-且a 21≠－a 1时，即a=6
1
时，两直线平行
.
（2）当－
a 2（－2
a
）=－1时，两直线垂直，此方程无解. 故无论a 为何值时，两直线都不垂直.
剖析：两直线平行的条件为k 1=k 2，b 1≠b 2，垂直的条件k 1·k 2=－1，都是在两直线都有斜率，即方程中y 的系数均不为0的条件下才成立，若方程中y 的系数中含字母参数时，则应就等于0和不等于0两种情况去讨论，否则就会遗漏特殊情况。

在错解中都是a0的情况，而当a=0时：（1）中的两直线分别为x －1=0和x+1=0，此时是平行直线；（2）中的两直线分别为x=1和y=
21，此时是垂直直线，故（1）的答案是a=0或a=6
1
，两直线平行；（2）的答案是a=0，两直线垂直.
评注：此题（2）中若用两直线垂直的充要条件A 1A 2+B 1B 2=0求解，更简便.
直线的方程
二、典例分析：
1、求直线的方程：
例1、解: 当在x 轴上、在y 轴上的的截距都是零时，设所求直线方程为y kx =，将
(5,2)-代入y kx =中，得25k =-
，此时，直线方程为2
5
y x =-，即250x y +=。

当在x 轴上、在y 轴上的的截距都不是零时，设所求直线方程为
12x y
a a +=，将(5,2)-代入
12x y a a +=中，得1
2a =-，此时，直线方程为1112()22
x y +=⨯--，即210x y ++=。

综上所述，所求直线方程为250x y +=或210x y ++=。

说明：用直线截距式方程时，一定注意截距是否等于零。

例2、解法一：∵ 直线被两直线1l ：4x+y+6=0,2l ：3x －5y －6=0截得的线段的中点恰好为坐标原点，∴所求直线一定过坐标原点，于是可设所求直线方程为y=kx, 且所求直线与1l ,2l 的交点分别为A ，B 两点。

解方程组460y kx
x y =⎧⎨
++=⎩
，得
66,44k x y k k =-=-++，即66(,)44k A k k --++；同理由3560y kx
x y =⎧⎨--=⎩得
66(,)5353k B k k -
---。

∵ 截得的线段的中点恰好为坐标标原点, ∴46+-k +k 536
-=0
得6
1
-=k ，从而所求直线方程为x+6y=0。

解法二：设所求直线与1l ，2l 的交点分别为A ，B 两点。

设),(00y x A ，∵AB 关于原点对称，∴),(00y x B --，又∵A ，B 分别在直线1l ，2l 上，∴4x 0+y 0+6=0且－3x 0+5y 0－6=0，两式相加得x 0+6y 0=0，即点A 在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，故所求的直线方程为x+6y=0。

说明：“设点而不求”是简化计算的一种十分重要的方法。

例3、解：Q 点在l 1: y ＝4x 上，可设Q(x 0，4x 0)，则PQ 的方程为：6
6
44400--=
--x x x y , 令y ＝0，得：x ＝1500-x x (x 0>1)，∴ M (1
500-x x ，0)，∴ S △O Q M ＝21·1500-x x
·4x 0＝10·1020-x x ＝10·[(x 0
－1)＋
1
1
0-x ＋2]≥40。

当且仅当x 0－1＝
1
10-x 即x 0＝2取等号，∴Q(2，8)，PQ 的方程为：626484--=--x y ， ∴x ＋y －10＝0。

2、求直线的方程：
例4、解：在线段AB 上任取一点P ，作垂线CD 、DE ，则AB 的方程为
12030=+y x ，设P(x ，20-x 32)，则S=(100-x)[80-(20-x 3
2)] (0≤x≤30) 得22220218050
6000(5)3333
s x x x =-++=--+
(0≤x≤30) 所以x=5，y=3
50
时，S 取最大值1805060173≈平方米。

例5、解：⑴. 证明：由(31)1ay a x =--，得(3
)(1)0a x y x -+--=，由30
10
x y x -=⎧⎨
--=⎩，
得1
3x y =-⎧⎨
=-⎩
，所以直线l 恒过定点(1,3)--，因此无论a 为何值，直线l 总过第三象限。

⑵.要直线l 不过第二象限，需且只需31010
a k a
a -⎧=≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩
，解得13a ≥，
所以1
3
a ≥时，直线l 不过第二象限。

三、巩固训练：
1. 解：化成斜截式，方程为(0)A C
y x B B B
=-
-≠，∵直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，，∴00A B C B ⎧-<⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，即00A B
C B
⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，故A 、B 、C 同号。

答案：A 。

2. 解：A 不能表示垂直于x 轴的直线，故正确；而B 本身正确；C 不能表示过原点的直线，即截距为0的直线，故正确；不能表示斜率不存在的直线，故不正确。

答案：D 。

3. 解：(1)设所求的直线l 方程为
1=+b y a x (a >0,b>0),由已知11
2=+b
a 。

于是2
21212⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛+≤⨯b a b a =4
1， ∴S Δ AOB =ab 2
1≥4,当且仅当21
12==b a ，即a =4,b=2时取等号，此时直线l 的方程为
12
4=+y
x ，即x+2y─4=0。

(2)解法一：设直线l :y─1=k(x─2)，分别令y=0,x=0，得A(2─k
1
，0)，B(0，1─2k )。

则|PA|⨯|PB|=)11)(44(22k k ++=)1(4822
k
k ++≥4，
当且仅当k 2=1，即k=±1时，取最小值,
又k<0，∴k=─1，此时直线l 的方程为x+y─3=0。

解法二： 如图，设∠PAO=θ，则|PA|=1/sinθ， |PB|=2/co sθ(0<θ<π/2),∴|PA|⨯|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ≥4,
∴当且仅当sin2θ=1即θ=π/4时，|PA|⨯|PB|取最小值4,此时直线l 的斜率为─1，方程为x+y─3=0。

4. 解：⑴. 设00(,)C x y ，则AC 边的中点0052
(
,)22
x y M +-，BC 边的中点0073(
,)22x y N ++，∵点M 在y 轴上，∴0
502x +=，∴05x =-。

∵点N 在x 轴上， ∴0
3
02
y +=，∴03y =-。

即(5,3)C --。

⑵.由⑴知，5
(0,)2M -，(1,0)N ，∴直线MN 的方程为1512
x y +=-， 即5250x y --=。

5. 解法一：显然直线效率存在。

设直线方程为y-1=k(x-2) (k<0) 得点A(0,1
2k
-), B(0,1-2k)
（1） S △ABO =
21
︱OA ︱·︱OB ︱=21 (k 12-) (1-2k)=2+(-2k-k
21) ∵k<0 ∴S △ABO ≥4,此时21
-=k 即直线为x+2y-4=0
（2）︱OA ︱+︱OB ︱=(k 12-)+ (1-2k) ≥223+ 此时2
2
-=k 即直线为
x+0222=-y
（3）︱PA ︱·︱PB ︱=414822
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
+k k , 此时1-=k 即直线为x+y-3=0 解法二：设直线方程为)0,0(1>>=+b a b y a x 。

a b ab b
a +=⇒=+∴211
2
θ
(1) 8222≥⇒≥+=ab ab a b ab S △ABO =2
1
ab 的最小为8当且仅当 a=4,b=2时成立.即得直线为x+2y-4=0
(2)22332
2
)2(2+≥+-+-=-+
=+a a a a a b a 此时直线为x+0222=-y 解法三：设∠OAB=θ(θ∈(0°,90°),则︱OA ︱=1+θ
tan 2
,︱OB ︱=2+tanθ,
︱PA ︱=θ
sin 2,︱PB ︱=θcos 1
类似法一可求.
6. 解：当010x ≤<时，直线段过点(0,0)O ，
(10,20)A ，所以20
210
OA k =
=，由点斜式得方程为2y x =。

当1040x ≤<时，直线段过点(10,20)A ，
(40,30)B ，
所以30201
40103
AB k -==-，由点斜式得方程为
120(10)3y x -=-，即150
33
y x =+。

当010x ≤<或40x >时，由物理知识可知，直线的斜率就是相应进水或出水的速度。

设进水的速度为1V ，出水的速度为2V ，在第①段中，是只进水的过程，所以12V =；在第
②段中，是既进水，又出水的过程，所以此时的速度为1213V V +=
，所以25
3
V =-，即当40x >时，斜率5
3
k =-
，又直线过点(40,30)B ，∴由点斜式得方程为530(40)3y x -=--，即5290
33
y x =-+。

若0y =，则58x =，此时到(58,0)C 为
止。

综上所述，所求y 与x 的函数关系为2(010)1
50(1040)3
35
290(4058)3
3x x y x x x x ⎧
⎪≤<⎪
⎪=+≤<⎨⎪⎪-+≤≤⎪⎩。

直线的交点坐标与距离公式
二、典例分析：
1、距离公式的应用：
例1、解法一: 若直线l 的斜率不存在，则直线l 的为3x =，此时与直线12,l l 的交点分别为(3,4)A '-和(3,9)B '-，截得的线段A B ''的长为495A B ''=-+=，符合题意。

若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为(3)1y k x =-+
，解方程组
(3)110y k x x y =-+⎧⎨
++=⎩，得3241(,)11k k A k k ---++，解方程组(3)1
60y k x x y =-+⎧⎨++=⎩
，得3791(,)11k k B k k ---++，由5AB =得，22232374191()()51111k k k k k k k k -----+-+=++++，
解之得0k =，即所求直线l 的方程为1y =。

综上所述，所求直线l 的方程为3x =或1y =。

解法二: 由题意，两条平行直线12,l l
之间的距离为d =
=
，且直线l 被平行直线12,l l 截得的线段AB 的长为5，设直线l 与直线1l 的夹角为θ
，则
2sin 52
θ==
，故45θ= 。

由直线1:10l x y ++=的倾斜角为135 ，知直线l 的倾斜角为0 或90
， 又由直线l 经过点(3,1)P ，故所求直线l 的方程为3x =或1y =。

说明：由距离公式求直线的方程
解法一: 是用点斜式方程设出，分别与两直线方程联立解出两交点,A B 的坐标，再利用5AB =求k 出值。

解法二: 利用平行直线12,l l 之间的距离及直线l 与直线1l 的夹角的关系求解。

例2、解: ⑴. ∵ 直线1:20(0)l x y a a -+=>，21
:202
l x y --
=， ∴ 12l l ，∴
=
3a =或4a =-（舍去）。

⑵. 设点00(,)P x y ，若P 点满足条件②，则P 点在与直线12,l l 平行的直线
:20l x y C '-+=
12=132C =
或116
C =。

∴ 0013202x y -+
=或0011
206
x y -+=。

若P
=
，
即0000231x y x y -+=+-，∴ 00240x y -+=或0320x +=。

由于条件①：P 是第一象限的点，∴ 0320x +=不符合题意，舍去。

于是由000013202240
x y x y ⎧-+
=⎪⎨⎪-+=⎩解得00312x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，不符合题意，舍去。

由00001120
6
240
x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩解得00
193718x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，符合题意。

所以点137
(
,)918
P 为同时满足三个条件的点。

2、对称问题：
例3、解: ⑴ 设(,)A x y '，由已知22
113122310
22y x x y +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得3313
413x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴334
(,)1313
A '-。

⑵ 在直线m 上取一点，如(2,0)M ，则(2,0)M 关于直线l 的对称点必在上m '，设对称点为(,)M a b '，则02
123202310
22b a a b -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-⨯+=⎪⎩，解得613
3013a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，630(,)1313M '，
设m 与l 的交点为N ，则由2310
3260
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得(4,3)N ，又∵m '经过点(4,3)N ，
∴ 由两点式得直线m '的方程为9461020x y -+=。

⑶ 解法一: 在直线:2310l x y -+=上任取两点，如(1,1)M ，(4,3)N ，则M ，N 关于点(1,2)A --对称点M '，N '均在直线l '上，由中点坐标公式易得(3,5)M '--，(6,7)N '--，∴ 由两点式得直线l '的方程为2390x y --=。

解法二: ∵ l l ' ，∴ 可设直线l '的方程为230(1)x y C C -+=≠。

∵ 点(1,2)A --到两直线l ，l '的距离相等，∴
=
， 解得9C =-，∴直线l '的方程为2390x y --=。

解法三: 设(,)P x y 为直线l '上任意一点，则(,)P x y 关于点(1,2)A --对称点为(2,4)P x y '----，∵(2,4)P x y '----在直线:2310l x y -+=上，
∴ 2(2)3(4)10x y -----+=，即2390x y --=。

说明：点与直线对称问题
①. 点关于点对称：利用中点坐标公式解之；
②. 点关于直线对称：利用中点在对称轴上，斜率之积等于1-； ③. 直线关于直线对称：转化为点关于直线对称； ④. 直线关于点对称：转化为点关于点对称。

例4、解: 如图，已知直线:270l x y --=，设光线AC 经直线l 上点C 反射为CB ，则12∠=∠。

再设点A 关于直线l 的对称点为(,)A a b '，则
13∠=∠，∴23∠=∠，即B 、C 、A '三点共线。

∵ AA l '⊥且线段AA '的中点在l 上， ∴4
212
2427022b a a b -⎧⨯=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯--=⎪⎩，解得10a =，2b =-，即(10,2)A '-。

∴ 直线A B '的方程为82
2(10)510y x ++=
--，即2180x y +-=。

直线A B '与直线l 的交点是2511
(,)42
C ，∴入射光线AC 的方程为
11424(2)2524
y x -
-=
+--
，即211480x y -+=。

故入射光线的方程为211480x y -+=，反射光线的方程为2180x y +-=。

3、最值问题：
例5、解: ⑴.如图（1）所示，设点B 关于直线l 的对称点为(,)B a b '，则
4
31431022
b a
a b -⎧⨯=-⎪⎪⎨
+⎪⨯--=⎪⎩，解得3a =，3b =， 即(3,3)B '。

于是直线AB '的方程为 14
3134
y x --=--，即290x y +-=。

解310290x y x y --=⎧⎨
+-=⎩，得2
5x y =⎧⎨=⎩，即直线AB '与直线l 的交
点是(2,5)P 。

⑵. 如图（2）所示，设点C 关于直线l 的对称点为
(,)C m n '，则4
313
34310
22
n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-⎨
++⎪⨯--=⎪⎩，解得35m =，245
n =，
即324(,)55
C '。

于是直线AC '的方程为
1917930x y +-=。

解3101917930x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得117
267
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线AC '与直线l
的交点是1126
(,)77
Q 。

例6、解: 如图所示，易得到点(1,4)A --关于y
轴的对称
点1(1,4)A -。

设点A 关于直线y x =的对称点为
2(,)A a b ，则41114122
b a b a +⎧⨯=-⎪⎪+⎨--⎪=⎪⎩，解得4a =-，1b =-，即2(4,1)A --。

于是直线12A A 的方程为
411441
y x +-=-+--，即35170x y ++=。

由351700x y x ++=⎧⎨=⎩
，得0x =，175y =-，即所求点17(0,)5B -； 由35170x y y x
++=⎧⎨=⎩，得175x y ==-，即所求点1717(,)55C --。

此时ABC ∆的周长最小。

三、巩固训练：
1. 答案：()6,4
2. 答案：2x+y-3=0, 2x+y+3=0
3. 解：(1) ()()2320220
m m m m ⎧-+=⎪=⎨-=⎪⎩由解得,则2m ≠ (2)由()2321,02
m m m m -+-<>≠-解得且m 2 4. 解:直线l 过点()(),0,0,4m m -,则4020m m
--=-,则4m =- 由0,4004m m m >-<<<得,则()()242422
m m m S ---+==≤2 所以直线方程是x+y-2=0
5.［思路］
1） 利用距离公式求出两平行直线的距离；
2） 利用勾股定理求出此直线夹在两平行直线间的线段长；
3） 利用夹角公式求出直线斜率，即可求出直线方程。

［破解］
如图7-9所示， 由28030
x y x y ++=⎧⎨++=⎩求出交点M （－5，2）．设
所求直线 l 与12,l l 分别交于B 、A 两点， 由已知
l 1、l 2
间距离||AC =，在 Rt △ABC
中，||BC =．
设
图
7-9
l 1到l 的角为α，则||tan 3||
AC BC α==. 设直线 l 的斜率为k ，由夹角公式得 |1|1tan 32|1|2
k k k k α-==⇒=-=-+或 .所求直线的方程为 2x ＋y ＋8=0或x ＋2y ＋1=0.
［收获］
1、 数形结合，利用图形直观特征，能有效地找到解题思路。

2、 平面几何中有关定理（如本题中的勾股定理），能很好地将几何问题化归为代数问
题来处理。