【初中教育】最新中考数学第一部分考点研究复习第三章函数第16课时二次函数的综合应用真题精选含解析

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______年______月______日
____________________部门
第三章函数
第16课时二次函数的综合应用
江苏近4年中考真题精选(20xx~20xx)
命题点(20xx年10次，20xx年9次，20xx年9次，20xx年8次) 1。

(20xx无锡26题10分)已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3。

(1)求A、B两点的坐标；
(2)若tan∠PDB＝，求这个二次函数的关系式．
第1题图
2。

(20xx南京26题9分)已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m 为常数，且a≠0)．
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。

①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．
3。

(20xx宿迁26题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N。

(1)求N的函数表达式；
(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；
(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N 所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数．
第3题图
4。

(20xx南通26题10分)平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；
(3)设(a，y1)、(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由．
5。

(20xx无锡27题10分)一次函数y＝x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C。

(1)求点C的坐标；
(2)设二次函数图象的顶点为D。

①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；
②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．
第5题图
【20xx精选】最新中考数学第一部分考点研究复习第三章函数第16课时二次函数的综合应用真题精选含解析
1。

解：(1)如解图所示：y＝ax2－2ax＋c，
＝a(x2－2x)＋c，
＝a(x－1)2＋c－a，
∴P点坐标为(1，c－a)．(1分)
过点C作CE⊥PQ垂足为E，延长CE交BD于点F，则CF⊥BD。

第1题解图
∵P(1，c－a)，
∴CE＝OQ＝1。

∵PQ∥BD，
∴△CEP∽△CFD，
∴＝，
又∵CP∶PD＝2∶3，
∴＝＝＝，
∴CF＝2。

5，
∴OB＝CF＝2。

5，
∴BQ＝OB－OQ＝1。

5，
∴AQ＝BQ＝1。

5，
∴OA＝AQ－OQ＝1。

5－1＝0。

5，
∴A(－0。

5，0)，B(2。

5，0)；
(2)∵tan∠PDB＝，
∴＝，
∴DF＝CF＝×2。

5＝2，
∵△CFD∽△CEP，
∴＝，
∴PE＝＝＝0。

8，
∵P(1，c－a)，
∴PE＝OC－(c－a)＝a，
∴a＝0。

8，
∴y＝0。

8x2－1。

6x＋c
把A(－0。

5，0)代入得：0。

8×(－0。

5)2－1。

6×(－0。

5)＋c ＝0，
解得：c＝－1
∴这个二次函数的关系式为：y＝0。

8x2－1。

6x－1…
2。

(1)证明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am。

∵当a≠0时，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2>0。

∴方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根．
∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－)2－，
∴点C的坐标为(，－)．
当y＝0时，a(x－m)2－a(x－m)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，
∴AB＝1。

当△ABC的面积等于1时，有×1×|－|＝1。

∴×1×(－)＝1，或×1×＝1。

∴a＝－8，或a＝8
②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为(0，am2＋am)．
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，
1
×1×|－|＝×1×|am2＋am|。

2
∴×1×(－)＝×1×(am2＋am)，或×1×＝×1×(am2＋am)．
整理得：m2＋m＋＝0或m2＋m－＝0，
∴m＝－，或m＝，或m＝－1＋2
2
3。

解：(1)由题意得N的函数表达式为y＝－(x－2)2＋9；
(2)∵点P的坐标为(m，n)，点A为(－1，0)，点B为(1，0)，
∴PA2＋PB2＝(m＋1)2＋(n－0)2＋(m－1)2＋(n－0)2
＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2
＝2m2＋2n2＋2
＝2(m2＋n2)＋2＝2OP2＋2，
∴当PA2＋PB2最大时，要满足OP最大，即满足OP经过点C，
又∵点P(m, n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，
∴CP＝1，
∵OC＝＝，
∴OP＝＋1，
∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2(＋1)2＋2＝38＋4；
(3)由题意得纵坐标的取值范围为：－1≤y≤9，M与N的图象交点的横坐标即为横坐标的取值范围－1≤x≤3，
∴M与N所围成封闭图形内(包括边界)的整点有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)(1，8)，
(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，8)共25个．
4。

解：(1)把(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)分别代入
y＝x2＋bx＋c，
得，
把②代入①中得b＝2,
c＝m2＋2m＋2；
(2)由(1)得，y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2。

由题意得，Δ＝22－4(m2＋2m＋2)≥0，
∴(m＋1)2≤0，(4分)
又∵(m＋1)2≥0，
∴(m＋1)2＝0，
∴m＝－1，
∴当抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点时，m＝－1；
(3)当a＜－2时，y2－y1＜0；
当a＝－2时，y2－y1＝0；
当a＞－2时，y2－y1＞0。

理由如下：
由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2 ，
∵(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，
∴y1＝a2＋2a＋m2＋2m＋2，y2＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2，∴y2－y1＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2－(a2＋2a＋m2＋2m＋2)＝(a＋2)2－a2＋2(a＋2)－2a＝4(a＋2)，(8分)
∴当a<－2时，y2－y1<0；
当a＝－2时，y2－y1＝0;
当a>－2时，y2－y1>0
5。

解：(1)y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝×2＝，
∴C(2，);
(2)① ∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(2，－)，
∴CD＝3，
设A(m，m)(m<2)，
由S△ACD＝3，得×3×(2－m)＝3，解得m＝0，
∴A(0，0)，
由A(0，0)、 D(2，－)，得，
解得，
∴y＝x2－x；
第5题解图
②如解图，设A(m，m)(m<2)，
过点A作AE⊥CD于点E，
则AE＝2－m，CE＝－m，
AC＝AE2＋CE2
＝（2－m）2＋（3
2
－
3
4
m）2
＝(2－m)，
∵CD＝AC，
∴CD＝(2－m),
由S△ACD＝×CD×AE＝10得×(2－m)2＝10，解得m＝－2或m＝6(舍去)，
∴m＝－2，
∴A(－2，－)，CD＝5，
若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，－)，由A(－2，－)、D(2，－)，得，
解得，
∴y＝x2－x－3。

(8分)
若a＜0，则点D在点C上方，
∴D(2，)，
由A(－2，－)，D(2，)，得，
解得，∴y＝－x2＋2x＋。