最新-2018高中数学 第一章183三角函数的诱导公式二课件 必修4 精品

互动探究1 本例条件不变，(1)求cos(α－15°) －sin(15°－α)的值； (2)求sin(165°＋α)的值．
解：(1)cos(α－15°)－sin(15°－α)＝cos(15°－α) ＋sin(α－15°)以下同例题． (2)sin(165°＋α)＝sin(90°＋75°＋α)＝cos(75°＋
α)＝13.
例2 已知 f(α)＝cosπ2＋sinα－·coπs－2πα－·si2n·s3i2πn＋－αα＋32π. (1)化简 f(α)；
(2)若 α 是第三象限角，且 cos(α－32π)＝15，求 f(α) 的值．
【思路点拨】 利用诱导公式化简fα→ 求sinα → 求fα
【解】 (1)原式＝－sinsαin·coπs＋－αα·s·i[n－π2s＋inαπ2－α] ＝si－nαs·icnoαsα·c·ocsoαsα＝－cosα.
1．2 任意角的三角函数 1．2. 3 三角函数的诱导公式(二)
学习目标 1.借助单位圆中的三角函数定义推导出诱导公 式五、六； 2．掌握六组诱导公式并灵活运用．
三
角
课前自主学案
函1
数.
的2
课堂互动讲练
诱.
导3
公.
式
知能优化训练
()
二
课前自主学案
温故夯基
1．终边与角 α 的终边关于__原__点____对称的角可以 表示为 π＋α. 2．终边与角 α 的终边关于_x_轴_____对称的角可以 表示为－α(或 2π－α)．
例3 求证：cosθ[scions32ππ－－θθ－1]
＋
cos2π－θ
＝
cosπ＋θsinπ2＋θ－sin32π＋θ
2 sin2θ
.
【思路点拨】 利用诱导公式，从左到右，
化繁为简．
【证明】
左
边
＝
－cosθ cosθ－cosθ－1
＋
cosθ
－cosθcosθ＋cosθ
＝1＋1cosθ＋1－1cosθ＝11－＋ccoossθθ＋11－＋ccoossθθ
3．终边与角 α 的终边关于__y_轴_____对称的角可 以表示为 π－α. 4．终边与角 α 的终边关于__y_＝__x___对称的角可 以表示为π2－α.
知新益能
1．公式五
sin(π2－α)＝_c_o_s_α_____，cos(π2－α)＝sinα.
2．公式六ຫໍສະໝຸດ sin(π 2＋
α)
＝
cosα
1．利用诱导公式可以进行较复杂的三角函数式 的化简、求值及证明． 2．求值问题常有给角求值，给值(或式)求值． 根据问题求值的需要和诱导公式的转化有时需分 类讨论，要灵活运用诱导公式，注意观察角与角 之间的关系．
3．观察一下每一组诱导公式的等号两边的角度， 不难发现，这两个角度的和或差总是一个轴线
利用诱导公式证明恒等式
(1)证明题遵循“化繁为简”的原则． (2)证明条件等式，一般有两种方法：一是从被证 等式一边推向另一边的适当的时候，将条件代入， 推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法； 二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式， 这种方法称为推出法．不论使用哪种方法都要抓 住目标，据果变形．
＝1－c2os2θ＝sin22θ＝右边．
【名师点评】 证明题可采取分析法、综合法 等；可执果索因，也可执因求果；可从左到右， 亦可从右到左，甚至“左右开弓”．当然，掌 握诱导公式并熟练应用是解题的前提．
自我挑战 2 求证：tanπ＋sinαα·s＋in32－π2·cπo－sαα＋co32sπ2 π－α＝tanα.
证明：左边＝
tanα·sin－α·cos－α
sin[2π－π2－α]·cos[2π－π2－α]
＝ tanα·－sinα·cosα sin[－π2－α]cos[－π2－α]
＝
－sin2α
－sinπ2－αcosπ2－α
＝－－cossiαn·s2αin
＝ sinα α cosα
＝tanα＝右边．
方法感悟
【思路点拨】 探索75°＋α与15°－α、α－
15°的关系，应用公式五、六化简．
【规范解答】 cos(15°－α)＝cos[90°－(75°＋α)]
＝sin(75°＋α)，又 α 是第三象限角，
所以 sin(75°＋α)＜0.6 分
所 以 sin(75°＋ α) ＝ － 1－cos275°＋α ＝ －
角，即为 kπ，k∈Z 或 kπ＋π2，k∈Z 的形式．于 是我们归纳出诱导公式的一个十分重要的功能： 如果两个角的和或差是轴线角 kπ，k∈Z 或 kπ
＋π2，k∈Z，那么利用诱导公式，总可以把它们 变成同名或异名函数来处理．能认识到这一点， 对于我们灵活运用诱导公式进行变形是十分重 要的．
，
cos(
π 2
＋
α)
＝
_－__s_i_n_α_____.
问题探究
公式五、六有什么作用？ 提示：利用公式五或六，可以实现正弦函数与余 弦函数的相互转化．
课堂互动讲练
利用诱导公式化简求值 诱导公式五、六主要是把有关的角转化为对应 的锐角三角函数，实现正、余弦间的转化．
例1 (本题满分 14 分)已知 cos(75°＋α)＝13，α 是第三象限角，求 cos(15°－α)＋sin(α－15°)的值．
(2)∵cos(α－32π)＝－sinα，
∴sinα＝－15， 又 α 是第三象限角，
∴cosα＝－ 1－sin2α＝－
∴f(α)＝－cosα＝25
6 .
1－－152＝－25 6，
【名师点评】 这是一个与函数相结合的问题， 解决此类问题，可先用诱导公式化简变形，将 三角函数的角度统一再用同角三角函数关系式， 这样可避免公式交错使用时导致的混乱．
2 3
2 .8
分
所以 sin(α－15°)＝sin[－90°＋(75°＋α)]
＝－sin[90°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－13.13 分
所以原式＝－1＋32
2 .14
分
【名师点评】 当两个角 α 与 β 有以下关系时： α＋β＝π2，α－β＝π2，都可以应用公式五、六转 化，常见的有π3－α 与π6＋α；π3＋α 与π6－α；π4＋ α 与π4－α 等．