2020高中数学 直线和圆的参数方程(含解析)4-4

课时分层作业（六）
(建议用时:45分钟)
一、选择题
1．原点到直线错误!(t为参数）的距离为（)
A．1 B．2 C．3 D．4
［解析] 消去t，得3x－4y－15＝0，
∴原点到直线3x－4y－15＝0的距离
d＝错误!＝3.
[答案］C
2．若曲线错误!(θ为参数),则点(x,y）的轨迹是( ）
A．直线x＋2y－2＝0
B．以（2,0）为端点的射线
C．圆(x－1）2＋y2＝1
D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段
[解析］∵x＝1＋cos 2θ＝1＋1－2sin2θ＝2－2sin2θ＝2－2y，即x＋2y－2＝0，又y＝sin2θ，
∴0≤y≤1，∴选D.
[答案］D
3．已知圆C 的圆心是直线错误!(t 为参数)与x 轴的交点,且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( ）
A ．（x ＋1）2＋y 2＝4
B ．(x －1）2＋y 2＝2
C ．（x ＋1)2＋y 2＝2
D ．(x －1)2＋y 2＝4
[解析］ 由错误!得x －y ＋1＝0。

∴圆心C （－1，0)，
又圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，
∴r ＝|－1＋0＋3|2
＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.
［答案］ C
4．直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆错误!（θ为参数)的圆心位于（ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
［解析］ ∵直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，∴a <0，b >0,∴点(a ，b )在第二象限．
[答案］ B
5．圆的参数方程为错误!(0≤θ<2π），若圆上一点P对应参数θ＝错误!π,则P点的坐标是________．
[解析] 当θ＝错误!π时,x＝2＋4cos错误!π＝0，
y＝－错误!＋4sin 错误!π＝－3错误!，
∴点P的坐标是（0,－3错误!）．
［答案] （0,－3错误!）
6．已知直线l:错误!（t为参数),圆C：ρ＝2cos θ，则圆心C到直线l的距离是__________．
［解析］直线l的普通方程为
y＝x＋1，即x－y＋1＝0，
∵圆C：ρ＝2cos θ，
∴ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2－2x＝0，
∴圆心为C(1,0），
∴圆心到直线的距离为d＝错误!
＝ 2.
[答案] 2
7．已知曲线C的参数方程为错误!(t为参数)．求曲线C的普通方程．
[解] ∵x2＝t＋错误!－2.∴x2＋2＝t＋错误!＝错误!y,∴y＝3x2＋6。

即所求曲线C的普通方程为y＝3x2＋6。

8．已知圆的极坐标方程为ρ2－4错误!ρcos（θ－错误!）＋6＝0。

（1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2)若点P(x，y）在该圆上,求x＋y的最大值和最小值．
［解] (1）由ρ2－4错误!ρcos（θ－错误!）＋6＝0得
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程（x－2)2＋(y－2）2＝2,
令x－2＝错误!cos α，y－2＝错误!sin α，
得圆的参数方程为错误!（α为参数）．
(2）由（1)知，
x＋y＝4＋2(cos α＋sin α）
＝4＋2sin（α＋错误!），
故x＋y的最大值为6,最小值为2。

9．已知圆系方程为x2＋y2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0（a〉0且为已知常数，φ为参数),
(1)求圆心的轨迹方程；
(2）证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．
［解］（1)由已知圆的标准方程为：
(x－a cos φ）2＋（y－a sin φ)2＝a2（a>0）．
设圆心坐标为(x，y）,
则错误!（φ为参数），
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2。

(2）由方程错误!
得公共弦的方程:
2ax cos φ＋2ay sin φ＝a2，
圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝错误!为定值．
∴弦长l＝2错误!＝错误!a（定值)．。