高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法之马矢奏春创作
时间：二O二一年七月二十九日
【知识梳理】
1．一元二次不等式
我们把只含有一个未知数,而且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2＋
bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的
不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等
式的解集.
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表
判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)
的根有两相异实根x1,x2,(x1
＜x2)
有两相等实根x1＝
x2＝－
b
2a
没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
题型一、一元二次不等式的解法
【例1】解下列不等式：
(1)2x2＋7x ＋3＞0；
(2)x2－4x －5≤0；
(3)－4x2＋18x －814
≥0； (4)－12
x2＋3x －5＞0； (5)－2x2＋3x －2＜0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0,所以方
程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3,x2＝－12
.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上,所以原
不等式的解集为{x|x ＞－12
,或x ＜－3}． (2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0,所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为⎝
⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94. (4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0,Δ＝(－6)2－40＝－4＜0,所以方程x2－6x ＋10＝0无实根,又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上,所以原不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0,因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0,所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根,又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
【类题通法】
解一元二次不等式的一般步伐
(1)通过对不等式变形,使二次项系数年夜于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．
【对点训练】
1．解下列不等式：
(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.
(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)．
解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1, x2＝6.
结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知,原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．
(2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0.
解方程x2－7x ＋6＝0得,x1＝1,x2＝6.
结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知,原不等式的解集为
{x|1<x<6}．
(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.
方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.
结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
(4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2.
∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.
解方程9x2－12x ＋4＝0,得x1＝x2＝23
.
结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知,原不等
式的解集为{x|x≠23
}. 题型二、解含参数的一元二次不等式
【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.
[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1,x2＝a,函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上,则当a ＜－1时,原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；
当a ＝－1时,原不等式解集为∅；
当a ＞－1时,原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}．
【类题通法】
解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数年夜于0与小于0进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论；
(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的年夜小进行讨论．
【对点训练】
2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a∈R)．
解：原不等式可化为：
(ax ＋1)(x －1)＜0,
当a ＝0时,x ＜1,
当a ＞0时⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a
＜x ＜1. 当a ＝－1时,x≠1,
当－1＜a ＜0时,⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0, ∴x＞－1a
或x ＜1. 当a ＜－1时,－1a
＜1, ∴x＞1或x ＜－1a
, 综上原不等式的解集是：
当a ＝0时,{x|x ＜1}；
当a ＞0时,⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|－1a ＜x ＜1； 当a ＝－1时,{x|x≠1}；
当－1＜a ＜0时,
⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a . 当a ＜－1时,⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1, 题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系
【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2},求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．
[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}, ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．
由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝1＋2b ＝1×2
得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝2
代入所求不等式,得2x2－3x ＋1＞0.
由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12
或x ＞1.
∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－∞12∪(1,＋∞)．
【类题通法】
1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根,也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．
2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部份,是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部份,是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的,三者之间相互依存、相互转化．
【对点训练】
3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12
和2. (1)求a 、b 的值；
(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.
解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12
和2, 由根与系数的关系,得⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋2＝－b a －12×2＝2a .
解得a ＝－2,b ＝3. (2)由(1)知,ax2＋bx －1＞0可酿成－2x2＋3x －1
＞0,
即2x2－3x ＋1＜0,解得12
＜x ＜1. ∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12
＜x ＜1}． 【练习反馈】
1．不等式x(2－x)＞0的解集为( )
A ．{x|x ＞0}
B ．{x|x ＜2}
C ．{x|x ＞2或x ＜0}
D ．{x|0＜x ＜2}
解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0,故0＜x ＜2.
2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0},N＝{x|x2－x －6＞0},
则M∩N 为( )
A ．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}
B ．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}
C ．{x|x≤－2或x ＞3}
D ．{x|x ＜－2或x≥3}
解析：选A∵M＝{x|x2－3x －28≤0}
＝{x|－4≤x≤7},
N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3},
∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．
3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．
解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0,
∴1＜x ＜3
谜底：(1,3)
4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2,则实数a ＝________,实数b ＝________.
解析：由题意可知－12
,2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋2＝－b a －12
×2＝2a
解得a ＝－2,b ＝3.
谜底：－23
5．解下列不等式：
(1)x(7－x)≥12；
时间：二O二一年七月二十九日
(2)x2＞2(x－1)．
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0,因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3,x2＝4,
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
(2)原不等式可以化为x2－2x＋2＞0,
因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0,方程x2－2x＋2＝0无实根,而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.
时间：二O二一年七月二十九日。