高考数学一轮复习学案 第32讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题（解析版）

第32讲二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题(解析版）
考点内容解读要求常考题型二元一次不等式（组）
表示平面区域
掌握确定平面区域的方法(线定界．点定域) Ⅰ选择题
简单的线性规划问题理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划
问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其
他知识的综合
Ⅱ
选择题．填
空题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；
②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；
③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0．
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C 的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称意义
目标函数欲求最大值或最小值的函数
约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数
可行解满足线性约束条件的解
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标
线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
考点1 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1：直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥0
y ≥0，
x －y ≥－2，
4x ＋3y ≤20
表示的平面区域的公共点有( )．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 【解析】由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)， 且斜率k ＝－2＜k AB ＝－4
3
，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．
【答案】 B 类题通法
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
变式训练
1．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，
kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为
( )． A ．1 B ．－3 C ．1或－3
D ．0
【解析】 其中平面区域kx －y ＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx －y ＋2＝0又过定
点(0，2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示，根据区域面积为4，得A (2,4)，代入直线方程，得k ＝1． 【答案】A
考点2 求线性目标函数的最值
例2：已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤ 2，
y ≤2，
x ≤ 2y
给定．若M (x ，y )为
D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)则z ＝OM →·O A →
的最大值为( )． A ．3 B ．4 C ．3 2 D ．4 2
【解析】画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·O A →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4． 【答案】B 类题通法
求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．
变式训练
1．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处
取得最大值，则a 的取值范围是( )． A ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1
2 B ．⎝⎛⎭⎫－1
2，0 C ．⎝⎛⎭
⎫0，12 D ．⎝⎛⎭
⎫1
2，＋∞
【解析】画出x ．y 满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a ＜－12，∴a ＞1
2．
【答案】D
考点3 求非线性目标函数的最值
例3：变量x ．y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.
(1)设z ＝y
x ，求z 的最小值；
(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．
【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.
作出(x ，y )的可行域如图所示．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，
解得A ⎝⎛⎭⎫1，22
5． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)． 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． 【答案】（1）∵z ＝y x ＝y －0x －0．∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．
观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5
．
(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，
d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29． 类题通法
求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值． 变式训练
1． 如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，
2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的
最小值为( )．
A ．32
B ．4
5
－1 C ．22－1 D ．2－1
【解析】
如图，当P 取点⎝⎛⎭⎫0，12，Q 取点(0，－1)时，|PQ |有最小值为32． 【答案】 A
考点4 线性规划的实际应用
例5 某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力．煤和电耗如下表：
产品品种 劳动力(个)
煤(吨) 电(千瓦)
A 产品 3 9 4
B 产品
10
4
5
已知生产每吨该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？
【解析】 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元，依题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋10y ≤300，
9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.
目标函数为z ＝7x ＋12y ． 作出可行域，如图阴影所示．
当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值． ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润． 类题通解
线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题． 变式训练
1．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )． A ．4 650元
B ．4 700元
C ．4 900元
D ．5 000元
【解析】设派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，获得的利润为z 元，z ＝450x ＋350y ，由题
意，x ．y 满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤12，
2x ＋y ≤19，
10x ＋6y ≥72，
0≤x ≤8，0≤y ≤7，
作出相应的平面区域，z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋
7y )，在由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝12，
2x ＋y ＝19确定的交点(7，5)处取得最大值4 900元．
【答案】C
1．如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为 ( )． A ．2x －y －3＜0 B ．2x －y －3＞0 C ．2x －y －3≤0 D ．2x －y －3≥0
【解析】将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0． 【答案】 B
2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( )．
A ．(0，0)
B ．(－1，1)
C ．(－1，3)
D ．(2，－3) 【解析】 逐一代入得点(－1,3)不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内． 【答案】 C
3．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7) B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 【解析】：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，
即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24． 【答案】B
4．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．
A ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0 B ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0
C ．⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 【解析】 两条直线方程为：x ＋y －1＝0，x －2y ＋2＝0． 将原点(0，0)代入x ＋y －1得－1＜0，代入x －2y ＋2得2＞0， 即点(0，0)在x －2y ＋2≥0的内部，在x ＋y －1≤0的外部，
故所求二元一次不等式组为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，
x －2y ＋2≥0.
【答案】 A
5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．
【答案】 ⎩⎪⎨⎪
⎧
50x ＋40y ≤2 000x ∈N ＋
y ∈N ＋
6．设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )． A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2
D ．2，－1
【解析】 特殊值验证：当y ＝1，x ＝0时，x ＋2y ＝2，排除A ，C ；当y ＝－1，x ＝0时，x ＋2y ＝－2，排除D ，故选B ． 【答案】 B
7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ≥0，
2x ＋y ≤2，
y ≥0，
x ＋y ≤a ，
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥4
3
B ．0<a ≤1
C ．1≤a ≤43
D ．0<a ≤1或a ≥4
3
【解析】：先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．
此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为⎝⎛⎭⎫
23，23，故当
x
＋y ＝a 过点B 时a ＝43，所以a ≥4
3时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰为A 点时，
a ＝1＋0＝1，故当0<a ≤1时可行域也为三角形．故0<a ≤1或a ≥4
3．
【答案】D
8．已知实数x ．y 满足：⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，
则z ＝|x ＋2y －4|的最大值( )
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21 【解析】z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|
12＋22，可以看做是⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
对应的平面区域内的
点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍，结合图形可知|x ＋2y －4|的最大值是z ＝5·|7＋2×9－4|
5
＝21，故选D ．
【答案】D
9．给出平面区域(包括边界)如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )
A ．1
4
B ．35
C ． 4
D ．53
【解析】由题意分析知，目标函数z ＝ax ＋y (a >0)所在直
线与直线AC 重合时，满足题意，则由－a ＝k AC ＝225－21－5，得a ＝3
5．故选B ．
【答案】B
10．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0，x ≥1目标函数z ＝kx ＋y 的最大值为12，最小值为3，
那么实数k 的值为( ) A ．2
B ．－2
C ．15
D ．不存在
【解析】如图为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤03x ＋5y －25≤0x ≥1
所对应的平面区域，由直线方程
联立方程组易得点A ⎝⎛⎭⎫1，22
5，B (1,1)，C (5,2)，由于3x ＋5y －25＝0在y 轴上的截距为5，故目标函数z ＝kx ＋y 的斜率－k <－35，即k >3
5．
将k ＝2代入，过点B 的截距z ＝2×1＋1＝3．
过点C 的截距z ＝2×5＋2＝12．符合题意．故k ＝2．故应选
A ．
【答案】A
11．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则
y
x －a
的最大值是( )
A ．2
3
B ．25
C ．1
6
D ．14
【解析】目标函数z ＝x ＋ay 可化为y ＝－1a x ＋1
a
z ，
由题意a <0且当直线y ＝－1a x ＋1
a z 与l AC 重合时符合题意．
此时k AC ＝1＝－1
a
，∴a ＝－1．
y x －a 的几何意义是区域内动点与(－1,0)点连线的斜率．显然y x －a ＝24－(－1)＝25
最大．故
选B ． 【答案】B
12．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
0≤x ≤2，0≤y ≤2，
x －y ≥1，
则(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是________．
【解析】可行域如图：(x －1)2＋(y －1)2表示点(1,1)到可行域内点的距离的平方，根据图象可得(x －1)2＋(y －1)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤
12，2．
【答案】⎣⎡⎦⎤12，2
13．设m 为实数，若⎩⎨⎧
(x ，y )⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬
⎪⎫x －2y ＋5≥0，3－x ≥0，mx ＋y ≥0，⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围
是________．
【解析】由题意知，可行域应在圆内，如图．
如果－m >0，则可行域取到－∞，不能在圆内；故－m ≤0，即m ≥0．
当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝4
3．∴
0≤m ≤4
3．
【答案】0≤m ≤4
3
14．某实验室需购某处化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格是120元．在满足需要的条件下，最少需花费________．
【解析】设需要35千克的x 袋，24千克的y 袋，
则总的花费为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 35x ＋24y ≥106，x >0时，且x ∈Z ，
y >0时，且y ∈Z .求z ＝140x ＋120y 的最小值．
由图解法求出z min ＝500，此时x ＝1，y ＝3．
另外，本题也可以列举出z 的所有可能取值，再求其中的最小值．由于x ＝0,1,2,3,4时相应的y 值和花费如下：当x ＝0，y ＝5时，z ＝600；当x ＝1，y ＝3时，z ＝500；当x ＝2，y ＝2时，z ＝520；当x ＝3，y ＝1时，z ＝540；当x ＝4，y ＝0时，z ＝560．易见最少花费是500元．
【答案】500元
15．当不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，
kx －y ＋2－k ≥0(k <0)
所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于________．
【解析】不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kx －y ＋2－k ＝0(k <0)是不确定的，但这条直线可化为y －2＝k (x －1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题．如图所
示，设围成区域的面积为S ，则S ＝12·|OA |·|OB |＝12
·|2－k |·⎪⎪⎪⎪1－2k ，因为k <0，所以－k >0，有S ＝12⎝⎛⎭⎫4－k －4k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋(－k )＋⎝⎛⎭⎫－4k ≥12(4＋24)＝4，当且仅当－k ＝－4k
，即k ＝－2时，平面区域最小．故填－2．
【答案】－2
16．某人有楼房一幢，室内面积共计180 m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18 m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15 m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？
【解析】设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，且z ＝200x ＋150y .
x ≥0，y ≥0，y ∈Z .
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .
可行域为如图所示的阴影(含边界)
作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0
把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，交点为B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B ⎝⎛⎭⎫207，607． 由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B ⎝⎛⎭⎫207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z ＝200x ＋150y 取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)．此时z 取最大值1800元．
于是，隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大收益．
17．设实数x ．y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥|2x －3|. (1)求作点(x ，y )所在的平面区域；
(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．
【解析】(1)已知的不等式组等价于
⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥2x －3，
2x －3≥0，
或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x ＋y ≤4，y ＋2≥－(2x －3)，
2x －3＜0.
解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1．
(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝b 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． ∵a >－1，∴当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大．
∵C 点的坐标为(－3,7)，∴f (x ，y )的最大值为7＋3a ．
如果－1<a ≤2，那么直线l 过顶点A (2，－1)时，f (x ，y )最小，最小值为－1－2a ． 如果a >2，那么直线l 过顶点B (3,1)时，f (x ，y )最小，最小值为1－3a ．
18．已知x ，y 满足条件：⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0.
M (2,1)，P (x ，y )．求：
(1)y ＋7x ＋4
的取值范围； (2)OM OP 的最大值；
(3)|OP |cos ∠MOP 的最小值． 【解析】如图所示，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，
4x ＋y ＋10≥0
所表示的平
面区域：
其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)． (1)y ＋7x ＋4
可以理解为区域内的点与点D (－4，－7)连线的斜率．由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线CD 重合时，倾斜角最
大且为锐角．k DB ＝13，k CD ＝9，所以y ＋7x ＋4
的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，9． (2)由于OM OP ＝(2,1)·(x ，y )＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为z max ＝2×4＋1＝9． (3)OP cos ∠MOP ＝cos OM OP MOP OM ∠5
OM OP ＝2x ＋y 5， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过B 点时，z 取到最小值，这时z 的最小值为z max ＝2×(－1)－6＝－8，
所以OP cos ∠MOP 的最小值等于－85
＝－855．。