专题填空题的常用解法

【高考目标】
填空题主要是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简．
在解答填空题时应注意：
1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范；
2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件；
【典型例题】 一、直接法
直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．
例1．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是________________．}11|{-≠<x x x 且． 例2．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0，
π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为__1______. 解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，
m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1.
课堂练习1：在等差数列}{n a 中，13511,3851-=-=a a a ，则数列}{n a 的前n 项和S n 的 最小值为________．S n 的最小值为3
29
6-
=S ． 课堂练习2：(2015·陕西，15)设曲线y ＝e x
在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x
(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为__答案 (1，1) ______． 解析 ∵(e x
)′|x ＝0＝e 0
＝1，设P (x 0，y 0)，有
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′x ＝x 0
＝－1x 20＝－1， 又∵x 0＞0，∴x 0＝1，故x P (1，1)．
二、特例法
例3．函数)(x f y =在（0，2）上是一增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则
)2
7
(),25(),1(f f f 的大小关系为________________________．（用“<”号连接）
【解析】取2)2()(--=x x f ，则)2
5
()1()27(f f f <<．
课堂练习3：椭圆14
92
2=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时， 点P 横坐标的取值范围是________________．
【解析】设P (x ,y )，则当
9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为52
2
=+y x ，由此可得点P 的横坐标5
3±
=x ，又当点P 在x 轴上时，120F PF ∠=；点P 在y 轴上时，21PF F
∠为
钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭
．
【总结】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等．
三、图解法（数形结合法）
根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往
例4．已知直线m x y +=与函数21x y -=的图像有两个 不同的交点，则实数m 的取值范围是________________
． 【解析】∵函数21x y -=的图像如图所示，
∴由图可知：21<
≤m ．
课堂练习4：设函数c bx ax x x f +++=22
131)(2
3，若当)1,0(∈x 时，)(x f 可取得极大
值；当)2,1(∈x 时，)(x f 可取得极小值，则1
2
--a b 的取值范围是________________．
【解析】b ax x x f 2)(2/++=，由条件知，0)(/=x f 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，
∴⎪⎩
⎪⎨⎧>><0
)2(0)0(0)1(//
/f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++><++0200
12b a b b a 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中作出上述区域，得点P （a ，b ）在图中的阴影区
域内，而
1
2
--a b 的几何意义是过两点P （a ，b ）与A （1，2）的直线的斜率，易知)1,41
(12∈=--PA k a b ．
【高考真题】
1．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，
3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围
是________． (1，2]
2. 已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析 由题意得g (－1)＝f (－1)＋2. 又f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]＝－2， 所以f (－1)＋2＝－3＋2＝－1，故g (－1)＝－1. 答案 －1
3．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，
|x 2－4|－2，x ＞1，
则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为
________．
1 1-x
解析 令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2
＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝
－2x ＋1x ＝1－2x
2
x ＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y
＝1的图象如图所示．
由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.答案 4
4．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号)．
①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 解析 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2＋a ，
当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；
当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.答案 ①③④⑤ 5．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = . 2
3
-
解：依题x +2(x +1)=0，解得x=23
- 6．已知θ是第四象限角，且sin(θ+
π4)=35，则tan(θ-π4)= . 43
- 解：依题θ+π4是第一象限角，cos(θ+π4)=45，tan(θ-π4)=- tan(π
4
-θ)
=- tan[π2-(θ+π4)]=- sin[π2-(θ+π4)]/cos[π2-(θ+π4)]=- cos(θ+π4)/ sin(θ+π4)=43
-
【高考预测】
1．已知函数52)(2
3
+-+=x ax x x f 在)1,3
2
(-
上单调递减，在),1(+∞上单调递增，且)(x f 的导数记为()f x '，则下列结论中，正确的是①②③④⑤．
①3
2-是方程0)(/
=x f 的根；
②1是方程0)(/
=x f 的根；
③有极小值)1(f ； ④有极大值)3
2(-f ；
⑤5.0-=a ．
2．设m 、n 是异面直线，则：
①一定存在平面α，使α⊂m 且α//n ； ②一定存在平面β，使β⊂m 且β⊥n ；
③一定存在平面γ，使m 、n 到γ的距离相等；
④一定存在无数对平面α和β，使βαβα⊥⊂⊂且n m ,． 上述四个命题中，正确命题的序号是①③④．
3．i 是虚单位，
=++-i
i
43105i 21+（用R b a bi a ∈+,，的形式表示）．
4．设1>>b a ，则b b a ab a b log ,log ,log 的大小关系是a b b b a ab log log log <<．
5．设j i m a 3)1(-+=，j m i b )1(-+=，其中j i ,为互相垂直的单位向量，又
)()(b a b a -⊥+，则实数m =2-．
6．如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t ，都有)2()2(t f t f -=+，那么
)4(),2(),1(f f f 的大小关系是)4()1()2(f f f <<．
7．椭圆1342
2=+y x 的长轴的两端点为M 、N ，点P 在椭圆上，则PM 与PN 的斜率之积为4
3-．
8．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝
⎛
⎭⎪⎫22，7π4，
则点A 到直线l 的距离为________． 答案
52
2。