2021-2022学年上海市静安区市西初级中学九年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年上海市静安区市西初级中学九年级（上）
期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=6，那么下列各式中，正确的是()
A. sinA=2
3B. cosA=2
3
C. tanA=2
3
D. cotA=2
3
2.下列命题中错误的是()
A. 四条边都对应成比例的两个菱形一定相似
B. 四条边都对应成比例的两个矩形一定相似
C. 四条边都对应成比例的两个等腰梯形一定相似
D. 三条边都对应成比例的两个三角形一定相似
3.校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点(AP>
PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为()cm．
A. √5−1
B. 2√5−2
C. 5√5−5
D. 10√5−10
4.如果向量a⃗与单位向量e⃗的方向相反，且长度为3，那么用向量e⃗表示向量a⃗为()
A. a⃗=3e⃗
B. a⃗=−3e⃗
C. e⃗=3a⃗
D. e⃗=−3a⃗
5.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的延长线上，下列不能判定DE//BC的条件是()
A. EA：AC=DA：AB
B. DE：BC=DA：AB
C. EA：EC=DA：DB
D. AC：EC=AB：DB
6.将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如
图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一
定相似的三角形是()
A. △ABC与△ADE
B. △ABD与△AEC
C. △ABE与△ACD
D. △AEC与△ADC
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
7.已知x
y =2
3
，那么
x+y
y
的值等于______．
8.计算：(1
2a⃗−b⃗ )−(7
2
a⃗−2b⃗ )=______．
9.如果两个相似三角形的周长的比等于1：3，那么它们的面积的比等于______．
10.在平面直角坐标系中，O为原点，点P在第一象限内，PO=5，射线OP与x轴正半
轴的夹角为α，如果sinα=3
5
，那么点P的坐标为______．
11.如图，已知l1//l2//l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、
M、B，直线CD分别交l1、l2、l3于C、N、D，AM=4，
MB=6，CD=9，那么ND=______．
12.如图，已知零件的厚度均匀且外径为25mm，现用一个交叉卡钳
(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)去测量零件的内孔直径AB，
如果OC：AC=1：3，测量得CD=10mm，那么零件的厚度为
______mm．
13.在△ABC中，AB=8，AC=5，点D为边AB的中点，点E在边AC上，如果△ABC∽△
ADE，那么AE=______．
14.如图，在△ABC中，AD是BC上的高，AD=BC=12，
如果矩形PQMN内接于△ABC中，点P、N分别在边AB、
AC上，点Q、M在BC上，那么矩形PQMN的周长为______．
15.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的
顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为120°，A，B，
C都在格点上，则tan∠ABC的值是______．
16.在△ABC中，点G是重心，∠BGC=90°，BC=8，那么AG的长为______ ．
17.如图，在矩形ABCD中，点E、F在AD边上，BF和CE交
AD，矩形的面积是S，那么图中阴
于点G，如果EF=1
2
影部分的面积可以用S表示为______．
18.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，D是边
AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使得点A
落在点A′处，当直线A′E⊥AB时，A′B=______．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）
19.计算：tan260°+cot60°+2cos30°
．
2sin30∘
20.如图，在△ABC中，点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，点E在边AB上，
∠CAD=∠BDE．
(1)求证：△ABC∽△EAD；
(2)如果AD=x，AE=2x−9，CD=3，BE=2，求AD的长．
21. 已知：如图，
Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sinB =12，AC =3，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ：
DB =1：2，DE ⊥BC ． (1)求∠DCE 的正切值；
(2)如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用a ⃗ 、b ⃗ 的线性组合表示AC
⃗⃗⃗⃗⃗ ； (3)求作CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−12x +m(m >0)与x 轴、y 轴分别交于
点A 、B.过点A 的直线y =kx +4(k <0)与y 轴交于点C ，∠OCA =∠OAB ．
(1)求直线AB 的表达式；
(2)点D 是x 轴上一动点，当△ABD 与△ABC 相似时，求点D 坐标．
23.已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，
AC2=AD⋅AB，AG与CD相交于点F．
(1)求证：∠ACD=∠B；
(2)如果AD
AC =DF
CG
，求证：CG2=DF⋅BG．
24.在学习锐角的三角比时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角比具有怎样
的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：tan60°=______，tan30°=______．
发现结论：tanA______2tan1
2
∠A(填“=”或“≠”)；
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求tan1
2
∠BAC的值；
研究思路：小明想构造包含1
2
∠BAC的直角三角形；延长CA至D，使得DA=AB，连
接BD，所以得到∠D=1
2∠BAC，即转化为求∠D的正切值，那么，tan1
2
∠BAC=______．
(3)在△ABC中，∠A为锐角，tanA=1
3
，∠B=2∠A，AB=3√10.求S△ABC的值．
25.已知∠MAN是锐角，sinA=3
5
，边AN上有一点B，AB=9，∠PBQ从边BP与AN叠合的位置开始绕点B顺时针旋转，始终保持∠PBQ=∠A，边BP交AM于C，边BQ交AM于D.边BP上有一点E，BE=6，过点E作EF//AN交AM于G，交BQ于F，设BF=x．
(1)如图，当点E在∠MAN外部时，求证：EF
BC =FB
AC
；
(2)如图，当点E在∠MAN外部时，设y=DB
AC
，求y关于x的函数解析式并写出定义域；
(3)当△ABD为直角三角形时，求BF的值．
答案和解析1.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，BC=6，AC=4，
∴AB=2√13，
A.sinA=BC
AB =3√13
13
，故此选项错误；
B.cosA=AC
AB =2√13
13
，故此选项错误；
C.tanA=BC
AC =3
2
，故此选项错误；
D.cotA=AC
BC =2
3
，故此选项正确．
故选：D．
本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、四条边都对应成比例的两个菱形的对应角不一定相等，故不一定相似，错误，符合题意；
B、四条边都对应成比例的两个矩形一定相似，正确，不符合题意；
C、四条边都对应成比例的两个等腰梯形一定相似，正确，不符合题意；
D、三条边都对应成比例的两个三角形一定相似，正确，不符合题意．
故选：A．
根据相似多边形的定义进行判定即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解相似多边形的定义，难度不大．
3.【答案】C
【解析】解：∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，AB=10cm，
∴AP=√5−1
2AB=√5−1
2
×10=5√5−5(cm)，
故选：C．
直接利用黄金分割的定义计算出AP的长即可．
此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
4.【答案】B
【解析】解：∵向量e⃗为单位向量，向量a⃗与向量e⃗方向相反，
∴a⃗=−3e⃗．
故选：B．
根据平面向量的定义即可解决问题．
本题考查平面向量的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
5.【答案】B
【解析】解：A.∵EA：AC=AD：AB，∴DE//BC，选项A能判
定DE//BC；
B.∵DE：BC=DA：AB，∴DE//BC，选项B不能判定DE//BC；
C.∵EA：EC=DA：DB，∴DE//BC，选项C能判定DE//BC；
D.∵AC：EC=AB：DB，∴DE//BC，选项D能判定DE//BC．
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
6.【答案】C
【解析】解：△ABE∽△DCA
理由：∵△ABC与△AFG都为等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠B=∠C=45°，
∵∠AEB=∠C+∠CAE=45°+∠CAE=∠CAD
∴△ABE∽△DCA ，
故选：C ．
△ABE∽△DCA ，根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是发现∠AEB =∠CAD ，∠ADC =∠BAE ．
7.【答案】53
【解析】解：∵x y =23，
∴x+y y =x y +1=23+1=53
． 故答案为：53．
把x+y y 化成x y +1，再进行计算即可得出答案．
此题考查了比例的性质，把
x+y y 化成x y +1是解题的关键． 8.【答案】−3a ⃗ +b ⃗
【解析】解：原式=12a ⃗ −b ⃗ −72
a ⃗ +2
b ⃗ =(12−72
)a ⃗ +(2−1)b ⃗ =−3a ⃗ +b ⃗ ．
故答案是：−3a ⃗ +b ⃗ ．
先去括号，然后合并同类项．
本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．
9.【答案】1：9
【解析】解：∵两个相似三角形的周长的比等于1：3，
∴它们的相似比为1：3，
∴它们的面积的比等于1：9．
故答案为：1：9．
由两个相似三角形的周长的比等于1：4，即可求得它们的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积的比．
此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的对应高线、角平分线、中线的比等于相似比．
10.【答案】(4,3)
【解析】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H，
在Rt△OPH中，sinα=PH
OP =3
5
，
而OP=5，
∴PH=3，OH=√OP2−PH2=4，
∴点P(4,3)．
故答案为：(4,3)．
过点P作PH⊥x轴于H.根据正弦函数的定义求解即可．
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11.【答案】5.4
【解析】解：∵l1//l2//l3，
∴AM
AB =CN
CD
，
∴4
4+6=CN
9
，
解得CN=3.6，
∴ND=CD−CN=9−3.6=5.4
故答案为：5.4．
利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的
关键．
12.【答案】2.5
【解析】解：∵两条尺长AC和BD相等，OC=OD，
∴OA=OB，
∵OC：AC=1：3，
∴OC：OA=1：2，
∴OD：OB=OC：OA=1：2，
∵∠COD=∠AOB，
∴△AOB∽△COD，
∴CD：AB=OC：OA=1：2，
∵CD=10mm，
∴AB=20mm，
∴2x+20=25，
∴x=2.5．
故答案是：2.5．
要求零件的厚度，由题可知只需求出AB即可．因为CD和AB平行，可得△AOB∽△COD，可以根据相似三角形对应边成比例即可解答．
此题考查相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出零件的内孔直径AB即可求得x的值．
13.【答案】5
2
【解析】解：当△ABC∽△ADE时，AB
AD =AC
AE
，
∵点D为边AB的中点，∴AD=1
2
AB=4，
∴8
4=5
AE
，即AE=5
2
．
故答案为：5
2
．
当△ABC∽△ADE时，AB
AD =AC
AE
，代入相关数值解答．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．14.【答案】24
【解析】解：设AD与PN交与点E，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN//BC，
∵AD是BC上的高，
AD⊥BC，DE=MN，
∴AD⊥PN，
∵PN//BC，
∴△APN∽△ABC，
∴AE
AD =PN
BC
，
∴AE：PN=AD：BC，
∵AD=BC，
∴AE=PN，
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM，PQ=MN，
∴PN+MN=AE+DE=AD=BC=12，
∴矩形PQMN的周长为2(PN+MN)=24．
故答案为：24．
设AD与PN交与点E，根据矩形的性质得PN//BC，由平行线的性质得到AE⊥PN，根据
相似三角形的性质得到AE
AD =PN
BC
，求得AE：PN=AD：BC，由于AD=BC，于是得到AE=
PN，根据四边形PQMN是矩形，得到PN=QM，PQ=MN，等量代换即可得到PN+ MN=AE+DE=AD=BC，即可求解．
本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌
握相似三角形的判定和性质定理．
15.【答案】√3
6
【解析】解：如图，连接EA，EC，
设菱形的边长为a，由题意得∠CEF=60°，∠BEF=30°，CE=a，AE=√3a，EB=2√3a，∴∠AEC=90°，
∵∠ACE=∠AGF=60°，
∴∠EAB=180°，
∴E、A、B共线，
在Rt△CEB中，tan∠ABC=EC
EB =a
2√3a
=√3
6
．
故答案为：√3
6
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、A、B共线，再根据tan∠ABC=EC
EB
，求出EC、EB即可解决问题．
本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】8
【解析】解：如图所示：
∵点G是△ABC重心，
∴点D是BC的中点，AG：DG=2：1，
∵∠BGC=90°，BC=8，
∴DG=1
2
BC=4，
∴AG=8，
答：AG的长为8．
故答案为：8．
根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.进而可得AG的长．
本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义和性质．
17.【答案】7
12
S
【解析】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵EF=1
2
AD，
∴EF=1
2
BC，
∵AD//BC，NG⊥AD，
∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC，
∴GN：GM=EF：BC=1：2，
又∵MN=AB，
∴GN=1
3AB，GM=2
3
AB，
∴S△BCG=1
2BC×2
3
AB=1
3
BC⋅AB=1
3
S，
∴S△EFG=1
12BC⋅AB=1
12
S，
∴S
阴影=S−1
3
S−1
12
S=7
12
S.
故答案是：7
12
S.
过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM=EF：
BC=1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解．
本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系．
18.【答案】3√13或2√13
【解析】解：分两种情况：
①延长A′E交AB于F，如图：
∵A′E⊥AB，
∴∠A′FD=90°，
∵∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=√AC2+BC2=13，
∴sinA=BC
AB =5
13
，cosA=AC
AB
=12
13
，
∵D是边AB的中点，
∴AD=BD=13
2
，
∵将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，
∴A′D=AD=13
2
，∠DA′F=∠A，
在Rt△A′DF中，DF=A′D⋅sin∠DA′F=13
2×sinA=13
2
×5
13
=5
2
，
A′F=A′D⋅cos∠DA′F=13
2×cosA=13
2
×12
13
=6，
∴BF=BD+DF=13
2+5
2
=9，
在Rt△A′BF中，
A′B=√BF2+A′F2=√92+62=3√13；
②A′E与AB交于F，如图：
由题意知：∠A′FD=∠A′FB=90°，
∵将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，∴A′D=AD=13
2
，∠DA′F=∠A，
在Rt△A′DF中，DF=A′D⋅sin∠DA′F=13
2×sinA=13
2
×5
13
=5
2
，
A′F=A′D⋅cos∠DA′F=13
2×cosA=13
2
×12
13
=6，
∴BF=BD−DF=13
2−5
2
=4，
在Rt△A′BF中，
A′B=√BF2+A′F2=√42+62=2√13；
综上所述，A′B的长度为3√13或2√13，
故答案为：3√13或2√13．
分两种情况：①延长A′E交AB于F，由∠C=90°，AC=12，BC=5，得AB=
√AC2+BC2=13，sinA=BC
AB =5
13
，cosA=AC
AB
=12
13
，根据将△ADE沿DE翻折，使得点
A落在点A′处，有A′D=AD=13
2
，∠DA′F=∠A，在Rt△A′DF中，可得DF=A′D⋅
sin∠DA′F=13
2×sinA=5
2
，A′F=A′D⋅cos∠DA′F=13
2
×cosA=6，即知BF=BD+
DF=13
2+5
2
=9，再用勾股定理即得A′B=3√13；②A′E与AB交于F，同①方法可求出
A′B=2√13．
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、三角函数及解直角三角形的有关知识，解题的关键是明确翻折前后的对应角和边相等，在计算中利用等角的三角函数值相等解决问题．
19.【答案】解：原式=(√3)2+√3
3
+2×√3
2 2×1
2
=3+√3
3
+√3
=3+4√3
3
．
【解析】先利用特殊角的三角函数值得到原式=(√3)2+√3
3
+2×√3
2
2×1
2
，然后进行二次根式的
混合运算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵点D是边AB的垂直平分线与边BC的交点，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAB，
∵∠AED=∠B+∠BDE，∠CAD=∠BDE，
∴∠AED=∠DAB+CAD=∠BAC，
∴△ABC∽△EAD；
(2)解：∵AD=x，CD=3，AD=BD，
∴BC=BD+CD=x+3，
∵AE=2x−9，BE=2，
∴AB=AE+BE=2x−9+2=2x−7，
∵△ABC∽△EAD，
∴AD
BC =AE
BA
，
∴x
x+3=2x−9
2x−7
，解得：x=27
4
，
∴AD=27
4
．
【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，则∠B=∠DAB，根据三角形外角的性质得∠AED=∠B+∠BDE，由∠CAD=∠BDE即可得∠AED=∠BAC，即可得出结论；
(2)由AD=x，CD=3，AD=BD，可得BC=BD+CD=x+3，由AE=2x−9，BE=2，可得AB=AE+BE=2x−9+2=2x−7，根据相似三角形的性质即可得AD的长．
本题考查了相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．
21.【答案】解：(1)Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=1
2
，AC=3，
∴AC
BC =1
2
，
∴BC=6，AB=√AC2+BC2=√32+62=3√5，
∵DE ⊥BC ，
∴∠DEB =∠ACB =90°， ∴DE//AC ， ∴
BD BA
=
DE AC
=
BE BC
=2
3
， ∴DE =2，BE =4，
∴EC =BC −BE =6−4=2， ∴tan∠DCE =DE EC
=1；
(2)∵AD ：DB =1：2， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ ，
∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3
a ⃗ −
b −
；
(3)如图，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的分向量分别为CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
【解析】(1)解直角三角形求出BC ，AB ，再利用平行线分线段成比例定理求出DE =2，EC =2，可得结论；
(2)根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求解即可； (3)利用平行四边形法则求解即可．
本题考查作图−复杂作图，解直角三角形，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则解决问题．
22.【答案】解：(1)∵直线y =−1
2x +m(m >0)与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，
当x =0时，y =m ， ∴B(0,m)， 即OB =m ，
当y =0时，x =2m ，
∴A(2m,0)， 即OA =2m ，
∵直线y =kx +4(k <0)与y 轴交于点C ， 当x =0时，y =4， ∴C(0,4)， 即OC =4， ∵∠OCA =∠OAB ， ∴tan∠OCA =tan∠OAB ， ∴
OA OC =OB AO
， 即
2m 4
=
m 2m
，
解得m =1，
∴直线AB 的表达式为y =−1
2x +1； (2)由(1)知，OA =2，OB =1，OC =4，
∴AB =√OA 2+OB 2=√22+12=√5，BC =OC −OB =4−1=3， ∵AB ≠BC ， ∴∠OCA ≠∠BAC ， ∴∠OAB ≠∠BAC ，
∴若△ABD 与△ABC 相似，分∠DBA =∠BAC 和∠BDA =∠BAC 两种情况， 设D(x,0)，
①当∠DBA =∠BAC 时，有BD
AB =AB
AC ，
∵AC =√OA 2+OC 2=√42+22=2√5， ∴
√1+x 2√5
=√
5
2√5， 解得x =√6
2或x =−√6
2(舍去)，
即D(√6
2
,0)；
②当∠BDA=∠BAC时，有BD
AB =AD
AC
，
∴√1+x2
√5=
2√5
，
解得x=−4
3
或x=0(舍去)，
即D(−4
3
,0)，
综上，D点的坐标为(√6
2,0)或(−4
3
,0)．
【解析】(1)根据直线的解析式分别写出C点、B点、A点的坐标，再根据∠OCA=∠OAB，
得出OA
OC =OB
AO
，代入求出m的值即可；
(2)由AB≠BC，得出若△ABD与△ABC相似，则分两种情况分别根据线段比例关系求解即可．
本题主要考查一次函数的性质，相似三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AC2=AD⋅AB，
∴AC
AB =AD
AC
，
且∠CAD=∠BAC，∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B；(2)∵△ADC∽△ACB，∴∠ADC=∠ACB，
又∵AD
AC =DF
CG
，
∴△ADF∽△ACG，∴∠DAF=∠CAF，
即∠BAG=∠CAG，
∴AG是∠BAC的平分线，
∴AC
AB =CG
BG
，
∴DF
CG =CG
BG
，
∴CG2=DF⋅BG．
【解析】(1)根据AC2=AD⋅AB，∠CAD=∠BAC，即可证明△ADC∽△ACB，从而证明结论；
(2)证明△ADF∽△ACG，得∠DAF=∠CAF，再运用角平分线定理即可证明．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，角平分线定理等知识，证明△ADF∽△ACG是解题的关键．
24.【答案】√3√3
3
≠√5−2
【解析】解：(1)tan60°=√3，tan30°=√3
3
，
发现结论：tanA≠2tan1
2
∠BAC，
故答案为：√3，√3
3
，≠；
(2)如图1，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
∴AB=√AC2+BC2=√5
延长CA至D，使得DA=AB，
∴AD=AB=√5，
∴∠D=∠ABD，
∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+√5，
∴tan1
2∠BAC=tanD=BC
CD
=
√5+2
=√5−2；
(3)如图2，
作Rt△AMN，使∠M=90°，tanA=1
3
，
∵tanA=MN
AM =1
3
，
∴不妨设MN=1，AM=3，
作AN的垂直平分线交AM于E，交AN于D，连接EN，∴AE=NE，
∴∠ANE=∠A，
∴∠MEN=∠A+∠ANE=2∠A，
设EM=x，
则AE=EN=3−x，
在Rt△MEN中，
(3−x)2−x2=12，
∴x=4
3
，
∴tanMEN=3
4
，
即tanB=3
4
，
如图3，
作CH⊥AB于H，
∵tanB=CH
BH =3
4
，
∴设CH=3a，BH=4a，
∵tanA=CH
AH =1
3
，
∴AH=9a，
由AH+BH=AB得，9a+4a=3√10，
∴a=3√10
13
，
∴CH=3a=9√10
13
，
∴S△ABC=1
2
AB⋅CH
=1
2×3√10×9√10
13
=135
13
．
(1)直接利用特殊角的三角函数值得结论
(2)根据题意，利用勾股定理求AB，得结论．
(3)先类比(2)构造2∠A，求出tanB=tan2A，再解△ABC．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质等知识，解决问题的关键是读懂题意，构造二倍角．
25.【答案】(1)证明：∵EF//AB，
∴∠BEF=∠ABC，
∵∠PBQ=∠A，
∴△BEF∽△ABC，
∴EF
BC =FB
AC
；
(2)解：如图1，
作DH=DA交AB的延长线于H，
∴∠H=∠A=∠PBD，
∵∠ABC+∠DBH=180°−∠PBQ，∠BDH+∠BDH=180°−∠H，
∴∠ABC=∠BDH，
∴△BDH∽△CBA，
∴BD 
AC =BH
AB
，
∴BD=9y，
∴AD=9y，
由(1)得，
△BEF∽△ABC，
∴BF
AC =BE
AB
，
∴x
AC =6
9
，
∴AC=3
2
x，
∵BD
AC
=y，
∴BD=3
2
xy，
又∠BDC=∠ADB，∴△BDC∽△ADB，
∴BD
AD =CD
BD
，
∴3
2
xy
9y
=9y−
3
2
x
3
2
xy
，
∴y=6x
36−x2
(0<x<6)；
(3)如图2，
当∠ADB=90°时，
BD=AB⋅sinA=9×3
5=27
5
，
AD=AB⋅cosA=9×4
5=36
5
，
由(2)知，
BD2=CD⋅AD，
∴CD=BD2
AD =(
27
5
)2
36
5
=81
20
，
∴3
2x=81
20
，
∴BF=27
10
，
如图3，
当∠ABD=90°时，
∵∠DBC+∠ABC=90°，∴∠A+∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°，
∵sinA=3
5
，
cosA=4
5
，
∴AC=AB⋅cosA=9×4
5=36
5
，
∴3
2x=36
5
，
∴x=24
5
，
∴BF=24
5
，
综上所述：BF=27
10或24
5
．
【解析】(1)可证明△BEF∽△ABC，从而得证；
(2)作DH=DA交AB的延长线于H，根据“一线三等角”可得△DBH∽△CAB，得出AD= DH=9y，根据(1)得，AC=3
2
x，再根据△BCD∽△ABD，进而得出y与x的关系式；
(3)分为∠ABD=90°和∠ADB=90°，解Rt△ABD，得出AD，BD，进而根据△BCD∽△ABD，从而得出结果．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质和分类，解决问题的关键是根据图形特点构造“一线三等角”．。