空气动力学基础

我把Introductiontoflight的第四章Basicaerodynamics略读了一遍，提炼了其中的重点要点，将其总结在一起分享给同学们，希望对大家空气动力学的学习有所帮助。

这个文档内容涉及的气流都是无黏的（书134—228页），没有包含黏性研究的部分。

因为领域导论书对黏性没怎么研究，基本都是只给结论，所以就不
1、注意公式的限定条件，避免错误地加以应用。

2、大物书上的理想气体方程是Pv=RT，其中的R是普适气
体常量（universalgasconstant），领域导论书上的P=ρRT是经过变换的等价形式，其中的R是个别气体常量
(specificgasconstant)，等于普适气体常量R普适/M，大家变一下马上就懂了。

2、谈谈我的一个理解：本书中的研究好像不太强调质量和体积，可能是因为空气动力学研究没必要也不方便强调。

在一、基本方程——7、能量方程的推导中，v=1/ρ，这里的1应理
1，不
，同
Pv=R1，并利用普适气体常量和个别气体常量的关系，即可
3
和和c p，
（
（
（molarheatcapacityatconstantpressure）。

对比起来有（下式中R个指个别气体常量，R普指普适气体常量，i指分子自由度，γ指热容比）：
比热摩尔热容
c v=R个，c p=R个c v=R普，c p=R普
c p-c v=R个c p-c v=R普
γ==γ==
4、小写v代表体积，大写V代表速度，注意区分，其他字母
1、
则
即
2、
忽略重力和黏性，朝向x正方向的力为
Pdydz
压强的变化率为
则朝向x负方向的力为
(P+dx)dydz
则合力
F=Pdydz-(P+dx)dydz=-(dxdydz) 又
a===V 由
3、
++
即P+ρ在一条流线上是常量，其中
用表示，对于不可压缩流，等于总压，我们在方程的应用中会再提及。

4、关于热力学第一定律
系统的内能增量=外界传热+外界做功，即
de=δq+δw
其中
δw=-Pdv(压缩，所以v减小，dv是负值，所以有负号) 则
δq=de+Pdv
定义焓
h=e+Pv
5、
，即系统增加单位温度所吸收的热量
等体过程的比热写作
可得
de=δq=c v dT
从e=0和T=0积分得
e=c v T
我们在大物中学的是e=R普T，m还是要当做单位质量1，推出
e=R个T=c v T。

因此，它们是等价的。

对于等压过程
dP=0
则
从
6、
代入
δq=de+Pdv和δq=dh-vdP
则
-Pdv=de=c v dT，vdP=dh=c p dT
两式相除得
=-γ
其中定义了热容比
=
，可得γ
=-
得
)
把体积换成密度得
=()γ
同时借助状态方程
ρ=P/(RT)
在有ρ的那个式子中消去ρ
或借助我们熟悉的形式（大物书上的）
Pv=RT
（）
)（）
把大物书上的式子中的体积换为密度，就跟这个完全一样了7、
代入欧拉方程
dP=-ρVdV
得
dh+vρVdV=0
v=1/ρ（这里的v应理解为单位质量的体积）则
dh+VdV=0
做积分得
h1+V21=h2+V22，即h+V2=常量
得
++T+V
=+
得
h1+V21+Q12=h2+V22
也可写为
c p T1+V21+Q12=c p T2+V22
8、一个重要结论
对于等熵流，总温T0，总压P0，总密度ρ0是定值总温（totaltemperature），总压（totalpressure），总密度（totaldensity）定义：
Totaltemperature/pressure/densityatagivenpointinaflowi sthetemperature/pressure/densitythatwouldexistiftheflo
1、
速度a和a+da
应用连续方程有
ρA1a=（ρ+dρ）A2（a+da）
A1=A2，则
ρa=（ρ+dρ）（a+da）
展开，再忽略无穷小量dρda,可得
a=-ρ
代入欧拉方程
=
=c
a2=γ
对于理想气体，可以再代入状态方程P=ρRT 最终得出
a=
可以看出，理想气体中的声速仅与温度有关
2、低速亚声速风洞
设Settlingchamber（reservoir）和Testsection的气流
=V+
，可得
A2/A1对于给定风洞是定值，要想调节Testsection的速度大
小，可以调节P1-P2。

以前人们用U型管分别连接Settlingchamber（reservoir）和Testsection来测P1-P2，现在我们工艺先进，通过压力传
感器实现
3、空速测定
A、设备：
总压管（Pitottube），空速管（Pitot-statictube）
B、对于低速亚声速流(M<0.3)
在上图中空速管上的A点
压强为静压P，速度为V1
在B点
压强为总压P0，速度为0
应用伯努利方程得
P0=P+ρV12
可得
=
=P+
，即设法测的飞机周围的ρ），则获得真实空速（trueairspeed）
V true=
但是测定飞机周围的ρ比较难，所以低速飞机计算时都是用
的标准海平面密度ρs，获得当量空速（equivalentairspeed）
V e=
其实
当量空速有更深层次的意义：
Consideranairplaneflyingatsometrueairspeedatsomealti
就C、
根据
γ=c p/c v
可得
c p=
气流在空速管或总压管前的探针前的停滞点（stagnationpoint）处从最开始温度T1和速度V1的状态等熵静止,速度变为0，因此温度为总温（totaltemperature）T0，压强为总压（totalpressure）P0，在此过程应用能量方程得
+
=1+
=
=1+
又声速
a12=γRT1
则
=1+=1+M12(只要求是绝热过程) 结合等熵过程方程
=()γ=（）γ/(γ-1)
=（1+1+M
由上式可得
=[()
因此，通过总压和静压的比值可以直接求出马赫数
V12=[()(γ-1)/γ-1]
也可写为
V12=[(+1)(γ-1)/γ-1]
因为实践中一般获得P0-P1,所以上式用得较多
而且，由于T难以测量，即a难以获得，静压P1也难测，所以高速亚声速飞机一般用标准海平面的声速和压强a s和P s代入上式。

airspeedindicator会感应P0-P1的值。

从而获得校正空速
（calibratedairspeed）
=[(+1)
D、
总温不变
由于激波的产生（产生的大致原理在P206），穿越激波的气流不是等熵流。

空速测定的理论非常复杂，书上只给了最后结果，称为RayleighPitottubeformula:
=[]γ/(γ-1)
其中，P02为激波后的总压，P1为自由流静压,由飞机表面的静压孔（staticpressureorifice）测量，由此推出马赫数。

若
想推出空速，还需要其他信息。

4、
++=0
得
-++=0
由于气流是等熵流,所以
==
代入上式，可得
=(-1)
即
=(M2-1)
==
咋一看无限大了，不过显然是有限大的，因此：
需使=0的值为有限
反过来可以看出：
当dA/A=0时，M=1，即streamtube有最小面积时，M=1，称
此处为throat
Therefore,toexpandagastosupersonicspeeds，startingwithastagnantgasinareservoir，theprecedingdiscussionthataductofsufficientlyconverg ing-divergingshapemustbeused。

Forrocketengine，
；
bell-likeshapeforthesupersonicsection。

流过超声速风洞或火箭发动机的气流可近似为等熵流，因此
=1+=1+M12
=（1+M12）γ/(γ-1)
=M
V0，ρ0因此，以上三式可作为始端与任一点的关系式，也可写为
[1+(
[1+(
[1+(γ
另外，马赫数M与截面面积A和throat面积A t的比值的关系(书上没有推导过程)为
（）2=[(1+M2)](γ+1)/(γ-1)
可推出下图的曲线。