2021年最新体育单招数学超详细试题及答案

2015 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业
单招统一招生考试
数
学
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 6 分；在每小题给出地四个选项中，只 有一项为符合题目要求地，请将所选答案地字母在答题卡上涂黑
7
2
A { x | 0 x , x N} ，则 1、若集合 地元素共有
（ ）
A A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 无穷多个
D. 2
2
2、圆 x y
2y 7 0 地半径为
（
）
6
C. 2 2
A. 9
B. 8
D. 3、下列函数中地减函数为 （
）
x
x
e
e 2
3
2
y
x
y 2x x sin x
A. y | x |
y
B.
C.
D. 2
f (x) 2x x 4、函数 地值域为
（
）
(
,1) (1,
) [0, 2]
[0, 1] A. B. C. D . y 3 sin 4 x 3 cos4x 地最小正周期与最小值分别为 5、函数 （
）
3
2 3
3
2 3
与
与
D . A.
与
与
B.
C.
2
2
ABC BC 4 ， AC 4 3 ，则 B
为钝角三角形， A 30 6.已知 ， （
）
A. 135
B. 120
C. 60
D. 30
l ， m ，平面 7.设直线 ， ，有下列 4 个命题：
①若 l ， m ，则 l // m ②若 l // ， m // ，则 l // m ③若 l
， l
//
m//
m //
//
，则 ④若 ， ，则 其中，真命题为 （
）
A . ①③
8.从 5 名新队员中选出 165 种 ②③
①④
D. ②④
B. C. 2 人， 6 名老队员中选出 B. 120 种
1 人，组成训练小组，则不同地组成方案共有（ ）
C. 75 种
D. 60 种
2 2
x a
y b
3 ，则此双曲线地离心率为
地一条渐近线地斜率为 （
）
1 9、双曲线
2
2
2 3 3
A.
B.
C. 2
D. 4
3
x
2
x 2 x 0 时， f ( x)
ln( x
1 ) ，则当 x 0 时， f ( x) f ( x) 为奇函数，当 10、已知 （ ）
2
2
2
2
x ln( x 1 x ) x ln( x 1 x ) A ． B. 2
2
2
2
x
ln( x
1 x )
x
ln( x
1 x )
C.
D.
二、填空题 : 本大题共 6 小题，每小题
6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上；
1 x
2 x 3
地解集为
；
0 11、不等式
3 ，则该椭圆地标准方程为
5
( 3,0) ，
(3,0) ，离心率为 ；
12、若椭圆地焦点为 tan 2
13、已知 tan(
) 3 ， tan(
) 5 ，则 ；
2 3
a ，
b 满足， 2 ， a b 14、若向量 | a | 1 ， | b | ，则 cos a, b ；
4 3
15、 (2x
1) 地展开式中 x 地系数为
；
(2a
2
log 1) log (3a) 0 ，则 a 地取值范围为
；
16、若 0 a 1 ，且 a a 三、解答题 : 本大题共 3 小题，共 54 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
3 4
17、某校组织跳远达标测验， 已知甲同学每次达标地概率为 .他测验时跳了 4 次，设各次为否达标相互独
立 .
（Ⅰ）求甲恰有 3 次达标地概率； （Ⅱ）求甲至少有 1 次不达标地概率； （用分数作答） 2
x
4y ，直线 l ： 18、已知抛物线 C ： x y m 0 ；
与
l m
1 ；
（ 1）证明： C 有两个交点地充分必要条件为 m 1
，C 与 l y 轴于点 GAB （ 2）设 有两个交点 A ，B ，线段 地垂直平分线交 G ，求 面积地取值范
AB 围；
1
CD 2
P ABCD 中，底面 ABCD 为梯形， AB // CD ，且 AB
19、如图，四棱锥 ， ADC 90 .
PA 平面 ABCD PD M ， 为 地中点；
P
（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； （ 2）设 PA
AD 2 AB ，求 PC 与平面 ABCD 所成角地正弦值
M
B
C
A
D
绝密★ 启用前
2015 年全国普通高等学校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
数学试题参考答案与评分参考
评分说明：
1．本解答指出了每题要考查地主要知识与能力，并给出了一种或几种解法供参考．如果考生 地解法与本解答不同，可根据试题地主要考查内容比照评分标准制订相应地评分细则，
2．对计算题，当考生地解答在某一步出现错误时，如果后继部分地解答未改变该题地内容与 难度，可视影响地程度决定后继部分地给分，但不得超过该部分正确解答应得分效地一半： 如果后继部分地解答有较严重地错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数．表示考生正确做到这一步应得地累加分数． 4．只给整数分数，选择题与填空题不给中间分．
选择题：本题考查基本知识与基本运算．每小题
6 分，满分 60 分．
( 1 ) B ( 2 ) C ( 3 ) B （ 4） D （ 5） D( 6 ) B ( 7 ) A ( 8 ) D ( 9 ) C （ 10） A 1、考点：自然数概念，集合元素个数求法，集合地表示法－－描述法与列举法
7 , x 2
解：∵集合 A { x | 0 x N}={ 1,2,3} ，∴ A 地元素共有 3 个；选 B
2、考点：圆半径求法 x
2
y
2
x
2 （ y+1）2
2 y
7 0 变形为 8 ，所以半径为 解：将圆方程 2 2 ，选 C. a)
2
b)
2
r 2
地圆心为（ a ， b ），半径为 说明：圆方程
( x ( y r
3、考点：函数地单调性 x x x x 0
解： A.
y | x|
当 x 0, y x 为增函数，当 x 0, y x 为减函数，不符合题意；
3
y x 为减函数符合题意；所以选
B.
B
3
x 地定义域为 说明：用函数单调性地定义判断：∵ 为任意两个实数，且 x x ，
y
x R ，∴设 x 1 , x 2 1 2 3
3
3
3 3
则△ x
x 2 x 1 0 ，△ y ( x 2 ) ( x 1 )
x
1
x
2
0 ，所以 y x 在定义域内为减函数；
4、考点：根式函数地定义域与值域地求法，一元二次不等式地解法，二次函数最大值求法； 2
x
解：由平方根地定义知
(2 x ）
x 0 x 2 ，当 x 0 ， x 2 时， 2 x 0 ，即 0 ，解得 y 0 ，当 2
( x 1) 0 x 2 时 y
1 地最大值为 1，
2
2
所以函数 f ( x)
2 x x
( x 1)
1 地值域为 [ 0,1] 选 D.
5、考点：三角函数最小正周期与最小值，三角函数加法公式
解：用辅助角公式：
a a
2
b a
2
b a
2
2
2
2
a sin x
b cos x a
b (
sin x cos x) a
b sin( x
) （ tan
）
b
2
b
2
3 33
因为y 3sin 4x 3cos 4x 2 3( sin 4x cos4 x)
223
1
= 2 3( sin 4 x
2
3
2
22
4 cos 4x) = 2 3 sin(4 x ) ，T
32
2 3
所以函数y 3sin 4 x 3cos4 x 地最小正周期为、最小值为；故选 D
2
6、考点：正弦定理与钝角三角形地概念
解：∵已知ABC 为钝角三角形，BC 4 ，AC 4 3 ，
A 30 ，
4 sin 30 433
2
∴由正弦定理得，sin B ，
0sin B
000
∴B 120 B 60 B 60 ABC
（不符合题意，当时变为直角三角形，故舍去）选 B l，m，平面
7.设直线，，有下列 4 个命题：
①若l ，m l // m l // ，m // ，则l // m
，则②若
③若l ，l // m// m // //
，则④若，，则
其中，真命题为（）
A. ①③②③①④ D. ②④
B. C.
考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面地位置关系；
l m，则l // m 正确，垂直于同一平面地两直线平行；
解：①若，
l、m 可能平行、相交、异面，故结论错误，
②若l // ，m // ，则l // m 错误，
l，l //
③若，则正确，垂直于同一直线地两平面平行；
④若m// ，m// //
，则错误，平行于同一直线地两平面可能平行、相交，故结论错误，
因此①③正确，故选 A
8.从5 名新队员中选出 2 人，6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，则不同地组成方案共有（）
A.165 种
考点：组合数，乘法原理
B. 120 种
C. 75 种
D. 60 种
解：因为从 5 名新队员中选出 2 人，6 名老队员中选出 1 人，组成训练小组，只有同时选出任务才算完成，
54
2 1
故用乘法原理，C5C6 660 （种），故选 D
2
x2 y2 3 ，则此双曲线地离心率为1地一条渐近线地斜率
为（）
9.双曲线
22
a b
23
B. 3
A. C. 2 D. 4
3
考点：双曲线渐近线方程地斜率，双曲线地离心率
2
2
x y b x a
b a
1 地一条渐近线方程为
3 ，即
解：双曲线
y 3 ，双曲线地离心率为
，其斜率为
a
2 b
2
2
2
c a
a
b
a
b 2 e
1 ( ) a
= 1 3 2 ，选 C 2
x
2
x ) ，则当 x 0 时， x 0 时， 10.已知 f ( x) 为奇函数，当 f (x) ln( x
1 f ( x) （ ）
x 2
1 x 2
) x 2
x 2 ln( x ln( x 1 ) A ． B. x
2 x 2
x
2
x 2
)
ln( x
1 )
ln( x
1 C.
D.
考点：奇函数性质，对数函数地运算
x
2
x
2
解：∵ f ( x) 为奇函数，当 x 0 时， f ( x ) ln( x
1
) 且当 x 0 时 x 0
2
2
2
[ x
2
x )]
[( x)
ln( x
1 ( x) )] = ∴ f (x)
f ( x) = ln( x
1 2
2
ln( (
x 1 x )( x
2
1 x
x x))
1 2
x
x
2
x
2
ln(
) 1 1 x
x
2
x
2
1
= x
2
x 2
) ，选 ln( 1 x) ln( x 1 A
二．填空题：本题考查基本知识与基本运算．每小题
6 分，满分 36 分．
1 2 x 1
2
地解集为 0 { x | 3 x } ；
11、不等式
x 3 考点：分式不等式
1 2x 0
0 1 x 2x 3 0
0 1
}
2
解：原不等式等价于
或 解得 { x | 3 x x 3 x 2 25 y 2
16
3 5
，则该椭圆地标准方程为
( 3,0) ， (3,0) ，离心率为
1 ；
12、若椭圆地焦点为 考点：椭圆地标准方程，椭圆地离心率
3 5
解：∵椭圆地焦点为 ( 3,0) ， (3,0) ，离心率为
x 2
y 2
3 5
c a
c 3， e
∴设椭圆地标准方程为 1 (a b 0) ，由题知 ，
2
2 a b
∴ a
5 ， b
2
2
a
2
c
25 9 16 ，
x 2
25 y 2
16
∴该椭圆地标准方程为 1 ；
4 7
tan 2
13、已知 tan( ) 3 ， tan( ) 5 ，则 ；
考点：正切函数加法公式 解：∵已知 tan(
) 3 ， tan( ) 5 tan( ) tan( ) tan( ) )
3 5
4 7
tan 2 tan[(
) (
)]
∴ 1 tan(
1 3 5
2 ，则 3
1 3 a ， b 满足， | a | 1 ， | b |
2 ， a b
cos a, b
14、若向量 ；
考点：向量夹角公式
2 3
解：∵向量 a ， b 满足， 2 ，
a b | a | 1 ， | b | ，
2 3 2
a b | a | | b | 1 3
∴ cos
a, b
1 4
3
15、 (2x 1) 地展开式中 32 x 地系数为 ；
考点：二项式展开式及通项公式 r 4 r r
r
r 4 r 4 r
解：由通项公式得 T r C 4
(2x) ( 1)
( 1) C 4
2
x
1 4
(2 x 1) 地展开式中 3
x 1 4 1 ∴当 r
1 时，满足题意，故 地系数为 ( 1)C 2
32
4
1 1
2
log a (2a 1) log a (3a) 0 ，则 a 地取值范围为 0 a 1
，且 ；
( , ) 3 2
16、若 考点：对数函数地性质 解：∵ 0 a 1
∴ f ( x )
log a x 在定义域上为减函
数
2
∵ log a (2a
1) log a (3a) 0 log a 1
1
3 1
2 ( 1 , 1
) 3 2
2
2a
∴ a 地取值范围为 1 3a 1 ，解得 x
，即 2a
2
3a 1 1
3a (1)
2a
2
2a 2
（不等式 解（ 1） 1 3a 1 等价于
3a 1 0 ， (2 a 1)(a 1) 0 解
(2)
1
2 1
2）得 a
，所以 3 1 1
( , ) 3 2
得 ） a 或 a 1 ，解（ a 地取值范围为 三．解答题：
17.考点： n 重贝努力实验
3 3 3
3 4 27 64 解：（Ⅰ）甲恰有 3 次达标地概率为 C 4
( ) (1
4 3 4
1 ( )
)
9 分 175 256
（Ⅱ）甲至少有 1 次不达标地概率为 18 分
4
18.考点：直线与曲线有交点地判别法，根与系数地关系，中点坐标地求法，两点间距离公式，点到直线地 距离公式，求直线方程，三角形面积地计算及取值范围地确定； 2
x
4 y
m 0
解：（Ⅰ） C 与 l 地交点（ x ， y ）满足
x y x
2
由第二个方程得 y m x ，代入第一个方程得
4 x 4m 0
① 4 分
= 4
2
△>0
方程①地判别式△ 4( 4m) 16 16m 16(1 m)
m
1 ，故命题得证；
C 与 l 有两交点
8 分
（Ⅱ）设 C 与 l 地交点 A( x 1 , y 1) B( x 2 , y 2 ) ，则 x 1, x 2 满足方程① x 1 x 2
4 ， x 1 x 2
4m
，所以 2
2
2
2
2
(x 1 x 2 )
( x 1 x 2 )
4x 1 x 2 16(m 1)， ( y 1 y 2 )
[( x 1 m) ( x 2 m)] = ( x 1 x 2 )
2
2
2
∴ x 2 ) = 4 2(m 1) ，
AB
( x 1 x 2 )
( y 1
y 2 )
2( x 1 分
12 y 1 y 2
( x 1 x 2 ) 2m 4 2m
x 1
x 2 y 1 y 2
Q 2,m 2 ，即 Q(
, ) AB 中点 2 2
AB 垂直地直线方程为 x y m 4 0 ， 过 Q 与 它与 y 轴地交点 G(0, m 4) 到直线 l 地距离
0 m 4 m
d
2 2 ，
2
1
2
所以 GAB 地面积 S ΔGAB d AB 8 m 1
1 m 1 ，所以 0
8 2 ，故 (0,8 2) 因为 S S GAB 地取值范围为 ；
18 分
GAB
1
CD 2
P ABCD ABCD AB // CD AB ADC 90 19.如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ，且 ， .
PA 平面 ABCD 为 PD 地中点；
， M P
（ 1）证明： AM // 平面 PBC ； M
（ 2）设 PA
AD 2 AB ，求 PC ABCD 所成角地正弦值
与平面 19.考点：线面平行，线面所成地角
B
C
1 MN / / CD ，
2
A
解：（Ⅰ）取 PC 中点 N ，连接 BN 、 MN ；因为 1
CD 由已知 AB ∥ AB MN ABNM ，所以 ∥ ，故四边形 为平行四边形；
2
D
AM ∥ BN ， BN 平面 PBC ， AM 平面 PBC ，所以 AM ∥ PBC ；
10 分
（Ⅱ）设 PA AD
a ，则 CD =2 AB = a ，连接 AC AC 为 PC 在平面 ABCD PCA 为
；则 上地射影，
PC 与平面 ABCD 所成地角；
2
AD 2
CD
2
a 2
a
∵ P
AC
2a N
2
2
2
2
PC
所以
PA
AC a
2a
3a
M
C
PA PC
a 3a
3 3
B
sin PCA
18 分
A
D
19 题图。