八年级数学下学期第一次月考测试卷含解析

一、选择题
1．在ABC 中，AB 边上的中线3,6,8CD AB BC AC ==+=，则ABC 的面积为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2．如图，在等边△ABC 中，AB ＝15，BD ＝6，BE ＝3，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 右侧按如图方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是（ ）
A ．8
B ．10
C ．43
D ．12 3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。

若正方形A 、B 、C 、D 的边长是3、5、2、3，则最大正方形
E 的面积是
A ．13
B ．225+
C ．47
D ．13
4．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（ ）
A ．14
B ．17
C ．15
D ．13
5．如图,A 、B 两点在直线l 的两侧,点A 到直线l 的距离AC=4,点B 到直线l 的距离BD=2,且CD=6,P 为直线CD 上的动点, 则PA PB -的最大值是（ ）
A ．62
B ．22
C ．210
D ．6 6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，6 B ．3，5，4 C ．5，12，13 D ．3，2，13
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A ．5.3尺
B ．6.8尺
C ．4.7尺
D ．3.2尺
8．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===
B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c === 9．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）
A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C ．a=2，b=3，c=4
D ．(b+c)(b-c)=a² 10．如图，在△ABC ，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交CB 于点D ，过点D 作D
E ⊥AB ，垂足恰好是边AB 的中点E ，若AD ＝3cm ，则BE 的长为（ ）
A ．332cm
B ．4cm
C ．32cm
D ．6cm
二、填空题
11．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．
12．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_____．
13．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，以BC 为斜边作等腰直角BCD ∆，连接DA ，若22AB =，42AC =，则DA 的长为______．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．
15．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________.
16．已知，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=7，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，DE=DF ，若BF=4，则EF=_______
17．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC=CD=10，AC=17，AD=9，则AB=_____.
18．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．
19．如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得△ABC ，则AC 边上的高的长度是_____________．
20．在ABC 中，12AB AC ==，30A ∠=︒，点E 是AB 中点，点D 在AC 上，
32
DE=，将ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F，直线EF与AC交于点△的面积=__________．
G，那么DGF
三、解答题
21．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED＝20°，则∠DEC＝度；
（2）若∠AED＝a，试探索∠AED与∠AEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
（3）如图2，过点A作AF⊥BE于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：
EH2+CH2＝2AE2．
22．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°
（1）如图1，D，E是等腰Rt△ABC斜边BC上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF
①求证：△AED≌△AFD；
②当BE＝3，CE＝7时，求DE的长；
（2）如图2，点D是等腰Rt△ABC斜边BC所在直线上的一动点，连接AD，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE，当BD＝3，BC＝9时，求DE的长．
23．如图，△ABC中AC=BC，点D，E在AB边上，连接CD，CE．
(1)如图1，如果∠ACB=90°，把线段CD逆时针旋转90°，得到线段CF，连接BF，
①求证：△ACD≌△BCF；
②若∠DCE=45°，求证：DE2=AD2+BE2；
(2)如图2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三条线段的数量关系，说明理由．
24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
25．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；
（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；
（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．
①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”．
26．如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形，AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ，且点A 、D 、E 在同一直线上，连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°，CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.
(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).
27．阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内有两点()111, P x y 、()222, P x y ，其两点间的距离()()22121212PP x x y y =-+-，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂
直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为12x x -或1|y -2|y .
（1）已知()2, 4A 、()3, 8B --，试求A 、B 两点间的距离______.
已知M 、N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为4，点N 的纵坐标为-1，试求M 、N 两点的距离为______；
（2）已知一个三角形各顶点坐标为()1, 6D 、()3, 3E -、()4, 2F ，你能判定此三角形的形状吗?说明理由．
（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中，在x 轴上找一点P ，使PD PF +的长度最短，求出点P 的坐标及PD PF +的最短长度．
28．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；
②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．
30．已知ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上一动点，连结AD
()1如图1，若2BD =，4DC =，求AD 的长； ()2如图2，以AD 为边作60ADE ADF ∠=∠=，分别交AB ，AC 于点E ，F ． ①小明通过观察、实验，提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有AE AF =，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD 是EDF ∠的角平分线，构造ADF 的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明.(AE AF =一种方法即可)
②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF 的面积与AD 长存在很好的关系.若用S 表示四边形AEDF 的面积，x 表示AD 的长，请你直接写出S 与x 之间的关系式．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
本题考查三角形的中线定义，根据条件先确定ABC 为直角三角形，再根据勾股定理求得228AC BC = ，最后根据12
ABC AC BC ∆=
⋅求解即可. 【详解】 解：如图，在ABC 中，AB 边上的中线，
∵CD=3，AB= 6，
∴CD=3，AB= 6，
∴CD= AD= DB ，
12∠∠∴=，34∠=∠ ，
∵1234180∠+∠+∠+∠=︒，
∴1390∠+∠=︒，
∴ABC 是直角三角形，
∴22236AC BC AB +==，
又∵8AC BC +=，
∴22264AC AC BC BC +⋅+=，
∴22264()643628AC BC AC BC ⋅=-+=-=，
又∵12
ABC AC BC ∆=⋅， ∴128722ABC S ∆=
⨯=， 故选B.
【点睛】本题考查三角形中位线的应用，熟练运用三角形的中线定义以及综合分析、解答问题的能力，关键要懂得：在一个三角形中，如果获知一条边上的中线等于这一边的一半，那么就可考虑它是一个直角三角形，通过等腰三角形的性质和内角和定理来证明一个三是直角三角形.
2．D
解析：D
【分析】
首先利用等边三角形的性质和含30°直角三角形的运用，判定△DPE≌△FDH，
△DF2Q≌△ADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F运动的路径长.
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，过点F作FH⊥BC于H，如图所示：
则BE′=1
2
BD=3，
∴点E′与点E重合，
∴∠BDE=30°，DE3BE3，∵△DPF为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH，
在△DPE和△FDH中，
90
PED DHF
EDP DFH
DP FD
︒⎧∠=∠=
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△DPE≌△FDH（AAS），∴FH=DE3
∴点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为
当点P 在E 点时，作等边三角形DEF 1，∠BDF 1=30°+60°=90°，则DF 1⊥BC ， 当点P 在A 点时，作等边三角形DAF 2，作F 2Q ⊥BC 于Q ，则四边形DF 1F 2Q 是矩形， ∵∠BDE =30°，∠ADF 2=60°，
∴∠ADE +∠F 2DQ =180°﹣30°﹣60°=90°，
∵∠ADE +∠DAE =90°，
∴∠F 2DQ =∠DAE ，
在△DF 2Q 和△ADE 中，222
F QD DEA 90F DQ DAE DF AD ︒
⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△DF 2Q ≌△ADE （AAS ），
∴DQ =AE =AB ﹣BE =15﹣3=12，
∴F 1F 2=DQ =12，
∴当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长为12，
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线. 3．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理即可得到正方形A 的面积加上B 的面积加上C 的面积和D 的面积是E 的面积．即可求解．
【详解】
四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即222233=92549=47＋5＋2＋＋＋＋；故答案为C ．
【点睛】
理解正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是E 的面积是解决本题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD ，AE=BE ，得出
∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出
BD=AD=2DE=
DE=3，证出△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=
12BC=12，
求出EF=BE+BF=
72，在Rt △CEF 中，由勾股定理即可得出结果． 【详解】
解：连接BD ，作CF ⊥AB 于F ，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，
∴BD=AD ，AE=BE ，
∵∠DAB=30°，
∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，
∵BC 2+BD 2=12+（23）2=13=CD 2，
∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，
∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=12BC=12，CF=3BF=3， ∴EF=BE+BF=72
， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE=22731322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 故选D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
5．C
解析：C
【解析】
试题解析：作点B 关于直线l 的对称点B ',连接AB '并延长,与直线l 的交点即为使得PA PB -取最大值时对应的点.P
此时.PA PB PA PB AB -=-'='
过点B '作B E AC '⊥于点,E 如图,
四边形B DCE '为矩形，
6, 2.B E CD EC B D BD ∴=====''
2.AE ∴= 22210.AB AE B E ''=+=
PA PB -的最大值为：210.
故答案为：210.
6．A
解析：A
【解析】
A. 12+22≠(6)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+22=(13)2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
7．D
解析：D
【分析】
根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【详解】
解：设折断处离地面的高度OA 是x 尺，根据题意可得：
x 2+62=（10-x ）2，
解得：x=3.2，
答：折断处离地面的高度OA 是3.2尺．
故选D ．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52=(2，故能构成直角三角形；
C 、因为()()()222
345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形． 9．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【详解】
A 、∠A+∠
B ＝∠
C ，可得∠C ＝90°，是直角三角形，错误；
B 、∠A ：∠B ：∠
C ＝1：3：2，可得∠B ＝90°，是直角三角形，错误；
C 、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，即a 2+c 2＝b 2，故是直角三角形，错误； 故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
10．A
解析：A
【分析】
先根据角平分线的性质可证CD=DE ，从而根据“HL”证明Rt △ACD ≌Rt △AED ，由DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt △BDE 中，根据直角三角形的性质即可求出BE 的长.
【详解】
∵AD 平分∠BAC 且∠C=90°，DE ⊥AB ，
∴CD=DE ，
由AD ＝AD ，
所以，Rt △ACD ≌Rt △AED ，
所以，AC=AE.
∵E 为AB 中点，∴AC=AE=
12AB ， 所以，∠B=30° .
∵DE 为AB 中线且DE ⊥AB ，
∴AD=BD=3cm ，
∴DE=12BD=32
,
∴= 2cm. 故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.
二、填空题
11．【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =
，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .
【详解】
在Rt △ACD 中，CD=AD=
∴6=，
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12
BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴222
1
6()2AB AB +=,
解得AB=
故答案为：
【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理
的三边的数量关系是解题的关键.
12．．（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【分析】
题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【详解】
解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP＝22
-＝3，则P的坐标是（3，4）．
54
OP OC
-＝22
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM＝22
-＝3，
PD DM
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.
13．6或2.
【分析】
由于已知没有图形，当Rt△ABC固定后，根据“以BC为斜边作等腰直角△BCD”可知分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1，把△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DCE，证明A、C、E三点共线，在等腰Rt△ADE中，利用勾股定理可求AD长；
②当D点在BC下方时，如图2，把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，证明过程类似于①求解．
【详解】
解：分两种情况讨论：
①当D点在BC上方时，如图1所示，
把△ABD绕点D逆时针旋转90°，得到△DCE，
则∠ABD=∠ECD，CE=AB=22，AD=DE，且∠ADE=90°
在四边形ACDB中，∠BAC+∠BDC=90°+90°=180°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-180°=180°，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴A、C、E三点共线．
∴AE=AC+CE=42+22=62
在等腰Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，
即2AD2=（62）2，解得AD=6
②当D点在BC下方时，如图2所示，
把△BAD绕点D顺时针旋转90°得到△CED，
则CE=AB=22，∠BAD=∠CED，AD=AE且∠ADE=90°，
所以∠EAD=∠AED=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，即∠CED=135°，
∴∠CED+∠AED=180°，即A、E、C三点共线．
∴AE=AC-CE=42-22=22
在等腰Rt△ADE中，2AD2=AE2=8，解得AD=2．
故答案为：6或2.
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解．
14．75或6或94 【分析】 当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．
【详解】
在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，
∴BC ＝6（cm ）；
①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52
＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；
③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，
所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，
解得：t ＝94
， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝
94． 故答案为：3.75或6或94
．
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.
15．1425+或825+【分析】
分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长．
【详解】
解：分两种情况考虑：
如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253+， ∴△ABC 的周长为：652531425+++=+；
如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，
在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=
22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=
2222543AC AD -=-=，
∴BC=253-， ∴△ABC 的周长为：65253825++-=+；
综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+；
故答案为：1425+或825+.
【点睛】
此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 16．322或11或5或
1095
【分析】
分别就E ，F 在AC,BC 上和延长线上，分别画出图形，过D 作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G ，H ，通过构造全等三角形和运用勾股定理作答即可.
【详解】
解：①过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H ∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D是AB的中点，
∴DG=1
2 BC
同理：DH=1
2 AC
又∵BC=AC
∴DG=DH
在Rt△DGE和Rt△DHF中
DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）
∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3
∴EF=22
3332
+=
②过D作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足为G，H
∴DG∥BC,∠CDG=∠CDH=45°
又∵D是AB的中点，
∴DG=1
2 BC
同理：DH=1
2 AC
又∵BC=AC
∴DG=DH
在Rt△DGE和Rt△DHF中DG=DH,DE=DF
∴Rt△DGE≌Rt△DHF（HL）∴GE=HF
又∵DG=DH,DC=DC
∴△GDC≌△FHC
∴CG=HC
∴CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11
∴EF=22
11
11112
+=
③如图，以点D为圆心，以DF长为半径画圆交AC边分别为E、E'，过点D作DH⊥AC于点H，可知DF DE DE'
==，可证△EHD≌△E HD
'，CE D CFD
'≌，△DHC为等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°
∴∠EDF=2（∠1+∠2）=90°
∴△EDF为等腰直角三角形
可证AED CFD
△△
≌
∴AE=CF=3,CE=BF=4
∴2222
435
EF CE CF
=+=+=
④有第③知，EF=5，且△EDF为等腰直角三角形，
∴ED=DF=
52
,可证△E CF E DE
''
∆
∽,
222
3
y x
+=
5252
x
=
+
综上可得：
2
5
x=
∴222
2E F DE DF DE '''''=+=
1095
E F ''= 【点睛】
本题考查了全等三角形和勾股定理方面的知识，做出辅助线、运用数形结合思想是解答本题的关键.
17．21
【分析】
在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，先证明△ADC ≌△AEC ，得出AE=AD=9，CE=CD=BC ＝10的长度，再设EF=BF=x ，在Rt △CFB 和Rt △CFA 中，由勾股定理求出x ，再根据AB=AE+EF+FB 求得AB 的长度．
【详解】
如图所示，在AB 上截取AE=AD ，连接CE ，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，
∵AC 平分∠BAD ，
∴∠DAC=∠EAC ．
在△AEC 和△ADC 中，
AE AD DAC EAC
AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝
∴△ADC ≌△AEC （SAS ），
∴AE=AD=9，CE=CD=BC =10，
又∵CF ⊥AB ，
∴EF=BF ，
设EF=BF=x ．
∵在Rt △CFB 中，∠CFB=90°，
∴CF 2=CB 2-BF 2=102-x 2，
∵在Rt △CFA 中，∠CFA=90°，
∴CF 2=AC 2-AF 2=172-（9+x ）2，即102-x 2=172-（9+x ）2，
∴x=6，
∴AB=AE+EF+FB=9+6+6=21，
∴AB 的长为21．
故答案是：21.
【点睛】
考查全等三角形的判定和性质、勾股定理和一元二次方程等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，再运用用方程的思想解决问题．
18．7
【解析】
【分析】
通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：
∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，
∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，
∴BE＝EN＝AN＝2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN＝2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE＝2MN，
∴CN＝2DE＝4MN，
∴CM＝3
4 CN．
在直角△CDM中，CD＝1
2
BC＝3，DM＝
1
2
AD
33，
∴CM223
7 2
CD MD
+=
∴CN＝43
727 32
=．
∵BM+MN＝CN，
∴BM+MN的最小值为7．
故答案是：7
【点睛】
考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
19．355 【详解】 四边形DEFA 是正方形，面积是4； △ABF，△ACD 的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE 的面积是：12×1×1=12
． 则△ABC 的面积是：4﹣1﹣1﹣12=32． 在直角△ADC 中根据勾股定理得到：AC=222+1=5．
设AC 边上的高线长是x ．则
12AC•x=5x=32， 解得：x=355
．
355
. 20．39或639
【分析】
通过计算E 到AC 的距离即EH 的长度为3，所以根据DE 的长度有两种情况：①当点D 在H 点上方时，②当点D 在H 点下方时，两种情况都是过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出AH,DH 的长度，进而可求AD 的长度，然后利用角度之间的关系证明AG GE =，再利用等腰三角形的性质求出GQ 的长度，最后利用2DGF AED AEG S
S S =-即可求解．
【详解】
①当点D 在H 点上方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒ ．
30,6A AE ∠=︒=，
132EH AE ∴=
= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=． 32DE =，
2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，
DH EH ∴=，333AD AH DH =-=，
45EDH ∴∠=︒，
15AED EDH A ∴∠=∠-∠=︒ ．
由折叠的性质可知，15DEF AED ∠=∠=︒，
230AEG AED ∴∠=∠=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ． 又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒ ，
12GQ AG ∴=． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=， 3GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
112(333)36363922
DGF S ∴=⨯⨯-⨯-⨯⨯=-； ②当点D 在H 点下方时，
过点E 作EH AC ⊥交AC 于点E ，过点G 作GQ AB ⊥交AB 于点Q ，
12AB = ，点E 是AB 中点，
162
AE AB ∴== ． ∵EH AC ⊥，
90AHE ∴∠=︒．
30,6A AE ∠=︒= ，
132EH AE ∴=
= ， 22226333AH AE EH ∴=-=-=．
32DE =，
2222(32)33DH DE EH ∴=-=-= ，
DH EH ∴=，3AD AH DH =+=，
45DEH ∴∠=︒ ，
90105AED A DEH ∴∠=︒-∠+∠=︒ ．
由折叠的性质可知，105DEF AED ∠=∠=︒，
218030AEG AED ∴∠=∠-︒=︒ ，
AEG A ∴∠=∠，
AG GE ∴= ．
又GQ AE ⊥ ，
132
AQ AE ∴== ． 30A ∠=︒，
12
GQ AG ∴= ． 222GQ AQ AG += ， 即2
223(2)GQ GQ +=，
GQ ∴= ．
2DGF AED AEG S S S =- ，
11
23)36922
DGF S ∴=⨯⨯⨯-⨯=，
综上所述，DGF △的面积为9或9．
故答案为：9或9．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键．
三、解答题
21．（1）45度；（2）∠AEC ﹣∠AED ＝45°，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝140°，可得∠CAE ＝50°，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝65°，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE ＝180°﹣2α，可得∠CAE ＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可得∠AEC ＝∠ACE ＝45°+α，可得结论；
（3）如图，过点C 作CG ⊥AH 于G ，由等腰直角三角形的性质可得EH EF ，CH ＝
CG ，由“AAS ”可证△AFB ≌△CGA ，可得AF ＝CG ，由勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）∵AB ＝AC ，AE ＝AB ，
∴AB ＝AC ＝AE ，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠AED＝20°，
∴∠ABE＝∠AED＝20°，
∴∠BAE＝140°，且∠BAC＝90°
∴∠CAE＝50°，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
故答案为：45；
（2）猜想：∠AEC﹣∠AED＝45°，
理由如下：∵∠AED＝∠ABE＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2α，
∴∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝90°﹣2α，
∵∠CAE+∠ACE+∠AEC＝180°，且∠ACE＝∠AEC，∴∠AEC＝45°+α，
∴∠AEC﹣∠AED＝45°；
（3）如图，过点C作CG⊥AH于G，
∵∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴∠FEH＝45°，
∵AH⊥BE，
∴∠FHE＝∠FEH＝45°，
∴EF＝FH，且∠EFH＝90°，
∴EH2EF，
∵∠FHE＝45°，CG⊥FH，
∴∠GCH＝∠FHE＝45°，
∴GC＝GH，
∴CH2CG，
∵∠BAC＝∠CGA＝90°，
∴∠BAF+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠BAF＝∠ACG，且AB＝AC，∠AFB＝∠AGC，∴△AFB≌△CGA（AAS）
∴AF＝CG，
∴CH2AF，
∵在Rt △AEF 中，AE 2＝AF 2+EF 2，
AF ）2+EF ）2＝2AE 2，
∴EH 2+CH 2＝2AE 2．
【点睛】
本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定的动点问题，三个问题由易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答是关键.
22．（1）①见解析；②DE ＝
297；（2）DE 的值为 【分析】
（1）①先证明∠DAE ＝∠DAF ，结合DA ＝DA ，AE ＝AF ，即可证明；②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．在Rt △DCF 中，由DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，可得x 2＝（7﹣x ）2+32，解方程即可；
（2）分两种情形：①当点E 在线段BC 上时，如图2中，连接BE ．由△EAD ≌△ADC ，推出∠ABE ＝∠C ＝∠ABC ＝45°，EB ＝CD ＝5，推出∠EBD ＝90°，推出DE 2＝BE 2+BD 2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D 在CB 的延长线上时，如图3中，同法可得DE 2＝153．
【详解】
（1）①如图1中，
∵将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°后，得到△AFC ，
∴△BAE ≌△CAF ，
∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ，
∵∠BAC ＝90°，∠EAD ＝45°，
∴∠CAD +∠BAE ＝∠CAD +∠CAF ＝45°，
∴∠DAE ＝∠DAF ，
∵DA ＝DA ，AE ＝AF ，
∴△AED ≌△AFD （SAS ）；
②如图1中，设DE ＝x ，则CD ＝7﹣x ．
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠ABE ＝∠ACF ＝45°，
∴∠DCF ＝90°，
∵△AED ≌△AFD （SAS ），
∴DE ＝DF ＝x ，
∵在Rt △DCF 中， DF 2＝CD 2+CF 2，CF ＝BE ＝3，
∴x 2＝（7﹣x ）2+32，
∴x ＝297
， ∴DE ＝297
；
（2）∵BD＝3，BC＝9，
∴分两种情况如下：
①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，
∴∠EBD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，
∴DE＝35；
②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．
同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，
∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，
∴DE＝317，
综上所述，DE的值为35或317．
【点睛】
本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．
23．（1）①详见解析；②详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，证明详见解析
【分析】
（1）①根据旋转的性质可得CF=CD，∠DCF=90°，再根据已知条件即可证明
△ACD≌△BCF；
②连接EF，根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°，再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明；
（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出AD，DE，BE之间的关系．
【详解】
解：（1）①证明：由旋转可得CF=CD，∠DCF=90°
∵∠ACD=90°
∴∠ACD=∠BCF
又∵AC=BC
∴△ACD≌△BCF
②证明：连接EF，
由①知△ACD≌△BCF
∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD
∴∠EBF=90°
∴EF2=BE2+BF2，
∴EF2=BE2+AD2
又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°
∴∠FCE=∠DCE=45°
又∵CD=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE
∴EF=DE
∴DE2= AD2+BE2
⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD
理由：如图2，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△CBF，过点F作FG⊥AB，交AB 的延长线于点G，连接EF，
∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD， BF=AD
∵AC=BC，∠ACB=60°
∴∠CAB=∠CBA =60°
∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°
∴BG=1
2
BF，FG=
3
2
BF
∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°
∵CD=CF，CE=CE
∴△ECF≌△ECD
∴EF=ED
在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2
又∵EG=EB+BG
∴EG=EB+12BF ， ∴EF 2=（EB+12BF ）2+（32
BF ）2 ∴DE 2= （EB+
12AD ）2+（32AD ）2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系．
24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ． 在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +
-=（， 解得：t =252
． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2．
∵BC=BQ，BE⊥CQ，
∴CQ=2CE=14.4，
∴BC+CQ=26.4，
∴t=26.4÷2=13.2(s)．
综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25．（1）假；（2）∠A＝45°；（3）①不能，理由见解析，②见解析
【分析】
（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得a2+b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；
（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）①分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；
②先求出CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=1
2
（c-a），AG=
1
2
（a+c），两个
直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论．【详解】
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝64°时，
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
Ⅱ、分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
Ⅲ、分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A
图3
作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB，
∴DG＝BG＝1
2
（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+1
2
（c﹣a）＝
1
2
（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[1
2
（c+a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[1
2
（c﹣a）]2，
∴b2﹣[1
2
（a+c）]2＝a2﹣[
1
2
（c﹣a）]2，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义．
26．（1）见解析；（2）26；（3）
3
a+
【分析】
（1）由∠ACB=∠DCE可得出∠ACD=∠BCE，再利用SAS判定△ACD≌△BCE，即可得到AD=BE；
（2）由等腰直角三角形的性质可得CM=1
2
DE，同（1）可证△ACD≌△BCE，得到
AD=BE，然后可求AE的长，再判断∠AEB=90°，即可用勾股定理求出AB的长；
（3）由等腰三角形的性质易得∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=30°，根据30度所对的直角边
是斜边的一半可求出，然后利用三角形外角性质推出∠BEN=60°，在Rt△BEN 中即可求出BE，由于BE=AD，所以利用AE=AD+DE即可得出答案.
【详解】
证明：（1）∵∠ACB=∠DCE
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，。