四川省棠湖中学2018届高三数学下学期第二次月考试题 理

2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1.复数2(2)z i =-的虚部为( ）
A ．-4
B ．4i
C ．4i -
D ．3
2。

已知集合22(,)145x y A x y ⎧⎫⎪⎪
=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，2{(,)|}B x y y x ==，则A B 的子集个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
3.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为( ）
A ．2
B ．1
C 。

-2
D ．-1
4。

为弘扬我国优秀的传统文化,市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布(78,16)N 。

试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为( ）
A ．0.13%
B ．1.3%
C ．3%
D ．3.3% 参考数据：若2(,)X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.
5。

一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形， 侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ） A ．
33 B ．3 C.233
D ．2
6.我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“有个金球里面空,球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”意思是：有一个空心金球，它的直径12寸,球壁厚0.3寸，1立方寸金重1斤，试问金球重是多少斤?（注3π≈）（ ）
A ．125.77
B ．864
C ．123。

23
D ．369。

69 7。

在ABC ∆中，,""B A >是B A sin sin >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
8.执行下面的程序框图,如果输入1a =，1b =，则输出的S =（ ) A ．7 B ．20 C 。

22 D ．54 9．若3)4
tan(=-π
α，则=-αα2cos 32sin =（ ）
A ．
57 B ．57- C ．4- D ．5
8
- 10.椭圆C ：22
143
x y +=的左、右顶点分别为1A 、2A ，点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）
A ．33,84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ B ．3,14⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
11.在ABC ∆中，若23()2||CA AB CB AB AB ⋅+⋅=,则1
tan tan A B
+
的最小值为（ ） A ．5 B ．25 C ．6 D ．
62
12.已知A 、B 是函数2,()
()(2),()
x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >)图象上的两个动点，点(,0)P a ，若
PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．21e -
B ．e e -
C ．2
e
e - D ．1e -
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a ，b 满足a b ⊥，｜|2a =，|2|23a b +=，则||b = ．
14．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()45f =，若()215f x +<，则x 的取值范围是 ．
15.在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点,点R 在直线MN 上，且
OR xOP yOQ =+(,)x y R ∈的最小值为 ． 16．设函数()2
32(0)2
f x x ax a =
->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为 。

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；17~21每题12分，选做题10分，共70分） 17．（本小题满分12分）
已知函数3()cos 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2sin (3)x π++. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ,若c =3
()2
f C =
,且sin 2sin B A =,求a ，b 的值。

18。

（本小题满分12分）
1993年，国际数学教育委员会（ICMI ）专门召开过“性别与数学教育”国际研讨会，会议讨论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20)，给所有同学几何和代数各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答。

选择情况如下表：（单位:人）
（Ⅰ）能否据此判断有97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（Ⅱ)经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,女生乙每次解答一道几何题
所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；
(III)现从选择几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生中被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .
附表及公式
2()P k k ≥ 0.15
0.10 0。

05 0.025 0。

010 0。

005 0.001
k
2。

072 2。

706 3。

841 5。

024 6。

635 7.879 10。

828
()
()()()()
2
2n ad bc k a b c d a c b d -=++++
19。

(本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形,且60ABC ∠=,E 是DP 中点。

（Ⅰ）证明：//PB 平面ACE ；
（Ⅱ）若AP PB =，2AB PC PB ==，求平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值。

20。

（本小题满分12分)
已知长度为32AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =,设动点P 的轨迹为曲线C . （Ⅰ)求曲线C 的方程；
（Ⅱ）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT
与NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
21．函数()()()2
1ln 122
f x x ax a x a =-+
+--∈R .
(Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若0a >，求证：()3
2f x a
≥-。

请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。

如果多做,则按所做的第一题计分.
22。

[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t
y t
=-⎧⎨
=-+⎩（t 为参数），在以直角坐标系的原点O 为极点,x
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
2sin cos θ
ρθ
=。

（Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（Ⅱ)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AOB ∆的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a ． （Ⅰ）求a 的值；
(Ⅱ）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：222
3p q r ++≥．
2018年春四川省棠湖中学高三年级第二学月考试
数学(理科）答案
一．选择题
题号 7 8 9 10 11 12 选项 C
B
B
D
B
D
二．填空题
13。

2 14。

),23()25,(+∞--∞ 15。

4
2
16.221e
17．解:(Ⅰ）223ππ()3sin cos sin (3π)3sin cos sin 22f x x x x x x x
⎛⎫⎛⎫
=-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
311π1sin 2cos 2sin 222262x x x ⎛
⎫=
-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以最小正周期πT =；由
π
2π6x k k -
=∈Z ，，
得对称轴中心为ππ1.
2122k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭Z ，，
（Ⅱ)由
3()2f C =
得π13πsin 2sin 216226C C ⎛⎫⎛⎫-+=-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，∴，
ππ11ππππ
0π22666623C C C C <<-
<-<-==∵，∴，∴，∴,
sin 2sin B A =∵,由正弦定理得2b a =，①
由余弦定理
22222π
2cos 32cos
3c a b ab C a b ab =+-=+-，∴，②
由①②解得1 2.
a b ==，
18．(本小题满分12分）解：(1）由表中数据得2
K 的观测值
22
50(221288)50
5.556 5.024*********
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯
所以根据统计有97。

5％和空间能力与性别有关. …………3分 （2)设甲，乙解答一道几何题的事件分别为,x y 分钟，则基本事件满足的区域为
5768
x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩,如图所示
设事件A 为“乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为x y >
∴由几何概型，得()1
1112228
P A ⨯⨯=
=⨯,即乙比甲先解答完的概率为18 …………7分
（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2
828C =种，其中甲、乙两
人没有一个人被抽取到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C ⋅=;两人都被抽到有2
21
C =种。

X ∴可能取值为0,1,2，()15028P X ==，()1231287P X ===，()1
228
P X == X 的分布列为
X 0
1 2
P
1528 37 1
28
所以()15311012287282
E x =⨯+⨯+⨯=． …………12分 19．(Ⅰ）证明：如图3，连接BD ，BD
AC F =，连接EF ，
∵四棱锥P ABCD -的底面为菱形， ∴F 为BD 中点，又∵E 是DP 中点， ∴在BDP △中，EF 是中位线，//EF PB ∴，
又∵EF ⊂平面ACE ，而PB ⊄平面ACE ,//PB ∴平面ACE ．
(Ⅱ)解：如图，取AB 的中点Q ，连接PQ ，CQ ，
∵ABCD 为菱形,且60ABC ∠=︒,∴ABC △为正三角形，CQ AB ⊥∴．
设2AB PC ==，2AP PB ==∴3CQ ∴PAB △为等腰直角三角形,即90APB ∠=︒， PQ AB
⊥,
AB ⊥∴平面PQC ，且1PQ =,
222PQ CQ CP +=∴，PQ CQ ⊥∴,
如图，建立空间直角坐标系，以Q 为原点，BA 所在的直线为x 轴，QC 所在的直线为y 轴，QP 所在的直线为z 轴，
则(000)Q ，，，(100)A ，，
，(00)C ，(001)P ，，，(100)B -，，
，(20)D ，112E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 102AE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭，
，(10)AC =-,(101)PB =--，，
,(01)PC =-, 设1111()n x y z =，，为平面AEC 的一个法向量,
则1
100n AE n AC ⎧=⎪⎨=⎪
⎩，，
即11111
02
0y z x +=⎨⎪-+=⎩，，
可取1(31n =，，
． 设2222()n x y z =，，为平面PBC 的一个法向量，
则2200n PC n PB ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，，即222200z x z -=--=⎪⎩，， 可取2(31n =-，，
． 于是121212||5
|cos |7
|||
|
n n n n n n 〈〉=
=，． 所以平面EAC 与平面PBC 所成二面角的正弦值为．
20.解：（1)设(,)P x y ，(,0)A m ,(0,)B n ，
由于2BP PA =，所以(,)2(,)x y n m x y -=--(22,2)m x y =--，
即222x m x y n y =-
⎧⎨-=-⎩，所以323m x n y
⎧=⎪⎨⎪=⎩，
又AB =2
2
18m n +=，从而2
299184
x y +=.
即曲线C 的方程为：22
182
x y +=。

(2）由题意设直线l 的方程为:4x my =+,11(,)M x y ，22(,)N x y ，
由224
18
2x my x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得：22(4)880m y my +++=，
所以1
221222284
846432(4)0m y y m y y m m m ⎧+=-⎪+⎪
⎪
=⎨+⎪
⎪∆=-+>⎪⎩。

故1212()8x x m y y +=++2
32
4
m =
+， 2
1212124()x x m y y m y y =++2
2
648164
m m -+=+, 假设存在定点(,0)T t ，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则
MT NT k k ⋅12
12()()
y y x t x t =
--
12
2
1212()y y x x t x x t =
-++ 222
8
(8)4(4)t m t =
-+-.
当2
80t -=，且40t -≠时，MT NT k k ⋅
为常数，解得t =±
显然当t =
；当t =-
，
所以存在两个定点1T
，2(T -，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，
当定点为1T
;
当定点为2(T -
. 21．解：（Ⅰ）x
x ax x x a ax a ax x x f )
1)(1(1)1()1(1)(2+-=
--+=-++-='． ① 当a ≤0时，0)(<'x f ，则)(x f 在)0(∞+，
上单调递减；
② 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x 1>
，由0)(<'x f 解得a
x 10<<． 即)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1
(∞+，
a
上单调递增； 综上，a ≤0时，)(x f 的单调递减区间是)0(∞+，
；0>a 时，)(x f 的单调递减区间是)1
0(a
，，)(x f 的单调递增区间是)1
(∞+，a
． (Ⅱ) 由（Ⅰ）知)(x f 在)10(a ，上单调递减；)(x f 在)1
(∞+，
a
上单调递增, 则121
ln )1()(min --
==a
a a f x f ． 要证)(x f ≥a 23-，即证121ln --a a ≥a 23-，即a ln +11
-a ≥0，
即证a ln ≥a
11-
构造函数11
ln )(-+
=a
a a μ，则22111)(a a a a a -=-='μ，
由0)(>'a μ解得1>a ，由0)(<'a μ解得10<<a ,
即)(a μ在)10(，
上单调递减;)(a μ在)1(∞+，上单调递增； ∴ 011
1
1ln )1()(min =-+==μμa ，
即11
ln -+
a
a ≥0成立． 从而)(x f ≥a
23
-
成立． 22．【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程为
22sin cos θ
ρθ=
，得22
cos 2sin ρθρθ=，
所以曲线C 的直角坐标方程是2
2x y =．
由直线l 的参数方程为
21x t y t =-⎧⎨
=-+⎩，，
（t 为参数)，得直线l 的普通方程10x y +-=．
（Ⅱ）由直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩，，（t 为参数)
，得21x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩，，（t 为参数）,
代入22x y =
，得2120t -+=,
四川省棠湖中学2018届高三数学下学期第二次月考试题 理
- 11 - 设A B ，两点对应的参数分别为12t t ，，
则121212t t t t +==，
所以12||||AB t t =-=，
因为原点到直线10x y +-=
的距离d =，
所以11||22AOB S AB d ==⨯=△．
23.解：（1）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时，等号成立， 所以()f x 的最小值等于3，即3a =．
（2)由（1）知3p q r ++=，又因为p ，q ,r 是正数，
∴22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=,
即2223p q r ++≥．。