中考数学一轮复习平行四边形复习题附解析

中考数学一轮复习平行四边形复习题附解析
一、解答题
1．如图，在Rt ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60cm ，∠A ＝60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/s 的速度向点A 匀速运动．同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是ts （0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．
（1）求证：AE ＝DF ；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．
2．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．
（1）请帮助小明证明这一结论；
（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．
3．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的
中点，点M是射线PF上的一个动点，当OMB
△为直角三角形时，求OM的长．
4．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他
条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=13
2
，DB=5，则△ABC的面积
为．（直接写出答案）
5．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
6．在矩形ABCD中，连结AC，点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着B A
的路径运动，运动时间为t（秒）．以BE为边在矩形ABCD的内部作正方形BEHG．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
7．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②求PE 的长．
8．如图1，点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，EF EC ⊥，且EF EC =，连接AF ，过点F 作FN 垂直于BA 的延长线于点N ．
（1）求EAF ∠的度数；
（2）如图2，连接FC 交BD 于M ，交AD 于P ，试证明：
2BD BG DG AF DM =+=+．
9．已知：如图，在ABC 中，直线PQ 垂直平分AC ，与边AB 交于点E ，连接CE ，过点C 作//CF BA 交PQ 于点F ，连接AF ．
(1)求证：四边形AECF 是菱形；
(2)若8
AC ，AE=5，则求菱形AECF的面积．
10．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）证明见解析；（2）能，10；（3）15
2
，理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B ＝90°，∠A ＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF ，
又∵由题意知CD=4t ，AE=2t ，
∴CD=2AE
∴AE=DF ．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF ⊥BC ，∠B ＝90°
∴AE ∥DF
∴四边形AEFD 是平行四边形．
当AD=DF 时，平行四边形AEFD 是菱形
∵AC ＝60cm ，DF=12
CD ，CD=4t ， ∴AD=60-4t ，DF=2t ，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t 为152
时，△DEF 为直角三角形，理由如下； 由题意知：四边形AEFD 是平行四边形，DF ⊥BC ，AE ∥DF ，
∴当DE ∥BC 时，DF ⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED 中，
∵∠DEA=90°，∠A ＝60°，AE=2t
∴AD=4t ，
又∵AC ＝60cm ，CD=4t ，
∴AD+CD=AC ，8t=60，
∴t=152
． 即t=
152
时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF 为直角三角形． 【点睛】 本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
2．（1）证明见解析；
（2
【分析】
（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；
（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．
解：（1）∵AC ⊥BD ，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，
222222AD BC AO DO BO CO +=+++，
222222AB CD AO BO CO DO +=+++，
∴2222AD BC AB CD +=+；
（2）连接CG 、BE ，如图2，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，
在△GAB 和△CAE 中，
AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△GAB ≌△CAE （SAS ），
∴∠ABG=∠AEC ，
又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，
由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，2，2，
∴222273GE CG BE CB =+-=，
∴73
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．
3．（1）（32，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=
32或212
（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；
（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论； （3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．
【详解】
解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D
由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°
∴OA=1，AB=2OA=2
由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30
∴∠BOD=30°
∴BD=1322OB =
∴2232OB BD -=
∴点B 332） 332）； （2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上
∴点A 的坐标为（0,1），点B 30）
∵△ABC 为等边三角形
∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2
∴∠OBC=90°
∴点C 32）
设点D 的坐标为（a ，b ）
如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O
∴点O 既是AC 的中点，也是BD 的中点 ∴033
120
2
2a b ⎧++=⎪⎨++⎪=⎪⎩ 解得：03a b =⎧⎨=⎩
∴此时点D 的坐标为（0，3）；
当四边形ABDC 为菱形时，连接AD ，与BC 交于点O
∴点O 既是AD 的中点，也是BC 的中点 ∴0332120
2
2a b ⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩
解得：31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴此时点D 的坐标为（231）；
当四边形ADBC 为菱形时，连接CD ，与AB 交于点O
∴点O既是AB的中点，也是CD的中点
∴033
22 102
22
a
b
⎧++
=
⎪⎪
⎨
++
⎪=
⎪⎩
解得：
1
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴此时点D的坐标为（0，-1）；
综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°
∴OP=
1
2
OB=
3
2
∴BP=22
3
2
OB OP
-=
当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM
∵F为OB的中点
∴PF=
1
2
OB，MF=
1
2
OB，OF=BF
∴PF=MF
∴四边形OPBM为平行四边形
∴OM=BP=
3
2
；
当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，
∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°
∵点F为OB的中点
∴FP=FB
∴∠FPB=∠FBP=30°
∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM
∴BM=BP=3 2
在Rt△OBM中，2221 2
OB BM
+=；
综上：OM=3
2
或
21
2
．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．
4．（1）BC⊥CF，CF+CD=BC；（2）CF⊥BC，CF﹣CD=BC，证明详见解析；（3）49
4
．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；
（3）先证明△BAD≌△CAF，进而得出△FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，
∴∠ACB =∠ABC =45°，
∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，
∴∠BAD =∠CAF ，
∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，
∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，
∵BD +CD =BC ，
∴CF +CD =BC ；
故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．
（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．
理由：如图2中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，
∴∠ACB =∠ABC =45°，
∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°+∠DAC ，∠CAF =90°+∠DAC ，
∴∠BAD =∠CAF ，
∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，
∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，
∴BC +CD =CF ，
∴CF ﹣CD =BC ；
（3）如图3中，
∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，
∴∠ACB =∠ABC =45°，
∴AB =AC ，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD =AF ，∠DAF =90°，
∵∠BAD =90°﹣∠BAF ，∠CAF =90°﹣∠BAF ，
∴∠BAD =∠CAF ，
∵在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴∠ACF =∠ABD ，BD =CF =5，
∵∠ABC =45°，
∴∠ABD =135°，
∴∠ACF =∠ABD =135°，
∴∠FCD =135°﹣45°=90°，
∴△FCD 是直角三角形．
∵OD =OF ，
∴DF =2OC =13，
∴Rt △CDF 中，CD 2222135DF CF -=-12，
∴BC =DC ﹣BD =12﹣5=7，
∴AB =AC
， ∴S △
ABC 1492224
=⨯=． 【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出△BAD ≌△CAF 是解本题的关键．
5．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．
【分析】
（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．
【详解】
（1）证明：∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE ．
∵AF ∥BC ，
∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．
在△AFE 和△DBE 中，
FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．
∴AF=BD ．
∵AF=DC ，
∴BD=DC ．
即：D 是BC 的中点．
（2）解：四边形ADCF 是矩形；
证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵AB=AC ，BD=DC ，
∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF 是矩形．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．
6．（1）见解析；（2）1条；（3）7211t =或185
t = 【分析】 (1)证△AEH ≌△CGH （SAS ），即可得出AH=CH ；
(2)连接BD 交AC 于O ，作直线OE 即可；
(3)分两种情况：①连接AH 交BC 于M ，证出BM=CM=12
BC=6，由题意得BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GM=6-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可； ②连接AH 交CD 于M ，交BC 的延长线于K ，证出DM=CM=
12CD ，证△KCM ≌△ADM 得CK=DA=12，则BK=BC+CK=24，且BE=BG=EH=GH=t ，则AE=9-t ，GK=24-t ，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．
【详解】
解：(1)
四边形BEHG 是正方形， BE BG ∴=，90BEH BGH ∠=∠=︒，90AEH CGH ∠=∠=︒， 又AB BC =，
AE CG ∴=，
又EH HG =，
()AEH CGH SAS ∴∆≅∆，
AH CH ∴=．
(2)解：连接BD 交AC 于O ，如图1所示：
作直线OE ，则直线OE 矩形ABCD 面积平分，
即经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有1条，
故答案为：1；
(3) 解：分两种情况：
①如图2所示：连接AH 交BC 于M ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴△ABC 的面积=△ADC 的面积，
∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，∴△ABM的面积=△ACM的面积，
∴BM=CM=1
2
CD=6，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GM=6-t，
∵△ABM的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHM的面积，
∴
1
2
×6×9=
1
2
t(9-t)+t²+
1
2
t(6-t)，
解得：
18
5
t=；
②如图3所示：连接AH交CD于M，交BC的延长线于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MCK=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC=12，CD=AB=9，△ABC的面积=△ADC的面积，∵直线AH将矩形ABCD的面积分成1：3两部分，
∴△ADM的面积=△ACM的面积，
∴DM=CM=
1
2
CD=
9
2
，
在△KCM和△ADM中，
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
D MCK
DM CM
AMD KMC
，
∴△KCM≌△ADM(ASA)，
∴CK=DA=12，
∴BK=BC+CK=24，
由题意得：BE=BG=EH=GH=t，则AE=9-t，GK=24-t，
∵△ABK的面积=△AEH的面积+正方形BEHG的面积+△GHK的面积，
∴1
2
×24×9=
1
2
t(9-t)+t²+
1
2
t(24-t)，
解得：
72
11
t=，
综上所述，
72
11
t=或
18
5
t=，
故答案为：
72
11
t=或
18
5
t=．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
7．（1）见解析；（2）①见解析；②PE =
【分析】
（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；
（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；
②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23
x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠D=∠ECQ=90°，
∵E 是CD 的中点，
∴DE=CE ，
又∵∠DEP=∠CEQ ，
∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；
（2）①∵PB=PQ ，
∴∠PBQ=∠Q ，
∵AD ∥BC ，
∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，
∵△PDE ≌△QCE ，
∴PE=QE ，
∵PF=BF ，
∴EF 是PBQ ∆的中位线，
∴EF ∥BQ ，
∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，
∴∠APF=∠PAF ，
∴∠PAF=∠EPD ，
∴PE ∥AF ，
∵EF ∥BQ ∥AD ，
∴四边形AFEP 是平行四边形；
②设AP x =，则1PD x =-，
∴1CQ x =-，
∴2BQ x =-，
∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =
-， ∵EF
AP =， ∴()122
x x -=， ∴23
x =， 在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即2222
1(1)()32PE -+＝，
∴6
PE =
． 【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识点．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
8．（1）∠EAF=135°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质，找到证明三角形全等的条件，只要证明△EBC ≌△FNE （AAS ）即可解决问题；
（2）过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ．首先证明四边形ABGF 为平行四边形，再证明△FGM ≌△DMC （AAS ）即可解决问题；
【详解】
（1）解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴90B N CEF ∠=∠=∠=︒，
∴90NEF CEB ∠+∠=，90CEB BCE ∠+∠=，
∴NEF ECB ∠=∠，
∵EC EF =，
∴EBC ∆≌FNE ∆
∴FN BE =，EN BC =，
∵BC AB =
∴EN AB =
∴EN AE AB AE -=-
∴AN BE =，
∴FN AN =，
∵FN AB ⊥，
∴45NAF ∠=，
∴135EAF =∠
（2）证明：过点F 作//FG AB 交BD 于点G .
由（1）可知135EAF =∠，
∵45ABD ∠=︒
∴135180EAF ABD ∠=︒+∠=︒，
∴//AF BG ，
∵//FG AB ，
∴四边形ABGF 为平行四边形，
∴AF BG =，FG AB =，
∵AB CD =，
∴FG CD =，
∵//AB CD ，
∴//FG CD ，
∴FGM CDM ∠=∠，
∵FMG CMD ∠=∠
∴FGM ∆≌CDM ∆
∴GM DM =，
∴2DG DM =，
∴2BD BG DG AF DM =+=+.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（1）答案见解析；（2）24
【分析】
(1) 首先利用ASA 证明△CDF ≌△ADE ，进而得到AE=CF ，于是得四边形AECF 是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；
(2)首先利用勾股定理求出DE 的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.
【详解】
（1）∵CF// AB ，
∴∠DCF= ∠DAE ，
∵PQ 垂直平分AC ，
在△CDF 和△ADE 中，
DCF DAE CD AD
CDF ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
, ∴△CDF ≌△ADE ，
∴CF=AE,
∵CF ∥AE ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
∵PQ 垂直平分AC ，
∴AE=CE ，
∴四边形AECF 是菱形；
（2）∵四边形AECF 是菱形，
∴△ADE 是直角三角形，
∵AD=
142AC ，AE=5 ， ∴
3==，
∴EF= 2DE=6， ∴菱形AECF 的面积为
11862422AC EF ⋅=⨯⨯=. 【点睛】
此题考查菱形的判定及性质定理，三角形全等的判定定理，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理，正确掌握菱形的判定及性质定理是解题的关键.
10．（1）证明见解析；（2）DE BE =或EF BD ⊥，理由见解析；（3）
152 【分析】
（1）根据矩形的性质和点O 是对角线BD 的中点，通过证明OFD OEB △≌△得DF BE =，从而完成四边形DEBF 是平行四边形的证明；
（2）根据菱形的判定定理分析，即可得到答案；
（3）设BE=DE=x ，结合AB=8，AD=6，通过直角三角形勾股定理计算得BE ，再通过BDE 面积建立等式并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）∵矩形ABCD
∴//AB CD
∴FDB EBD ∠=∠，DFE BEF ∠=∠
∵点O 是对角线BD 的中点
∴OD OB =
∴()OFD OEB AAS △≌△
∵//DF BE
∴四边形DEBF 是平行四边形
（2）∵四边形DEBF 是平行四边形
∴DF BE =,DE FB =
若DE=BE
∴=DF BE DE FB ==
∴四边形DEBF 是菱形
又∵四边形DEBF 是平行四边形，
若EF BD ⊥
∴四边形DEBF 是菱形
∴增加DE=BE 或EF BD ⊥，即可判定四边形DEBF 是菱形；
（3）设BE=DE=x
∵AB=8
∴AE=8-x
∵直角三角形ADE
2226(8)x x +-= 解得：254
x = 25BE 4
= ∵直角三角形ABD ∴22228610BD AB AD
∵111222BDE S BD EF BE AD =
⨯=⨯△ ∴111251062224
EF ⨯⨯=⨯⨯ ∴152
EF =
． 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理、一元一次方程方程、三角形面积等知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行四边形、全等三角形、菱形、直角三角形勾股定理的性质，从而完成求解．。