数学建模的思想方法

表现特性
确定和随机
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
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描述、优化、预报、决策 … …
白箱 灰箱 黑箱
4 数学建模示例
4.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
放稳 ~ 四只脚着地
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g( ) 2018/8/11
正方形ABCD 绕O点旋转
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 f() , g()是连续函数
对任意, f(), g() 至少一个为0
数学 问题
已知： f() , g()是连续函数 ;
建立数学模型的全过程简称数学建模或建模包括表述求解解释检验等数学模型mathematicalmodel数学建模mathematicalmodeling2014316数学建模的全过程现实世界数学世界表述求解解释验证归纳演绎现实对象的信息数学模型数学模型的解答现实对象的解答实践理论实践222014316模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学建模的一般步骤2014316了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的问题数学建模的一般步骤2014316针对问题特点和建模目的作出合理的简化的假设在合理与简化之间作出折衷用数学的语言符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具数学建模的一般步骤2014316模型求解各种数学方法软件和计算机技术如结果的误差分析统计分析模型对数据的稳定性分析灵敏性分析模型分析模型检验与实际现象数据比较检验模型的合理性适用性模型应用数学建模的一般步骤201431633数学建模的背景是各类实际问题来源工程科技的数学建模的背景是各类实际问题来源工程科技的各个领域
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1、数学建模的意义

培养学生良好的数学学习情感与对数学的正确认 识。许多学生学了多年的数学，但不知数学到底
用在什么地方以及怎么用数学，通过数学模型课
程中的案例教学可以解答大多数学生关于数学应 在数学建模过程中，他们不仅感受到了数学在实 际领域的具体应用，而且深切体会到所学数学不
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•机理分析
•测试分析 将对象看作“黑箱”,通过对测量数据的 统计分析，找出与数据拟合最好的模型 •二者结合
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用机理分析建立模型结构, 用测试分析确定模型参数
涉及到很多数学方法，特别是一些基本方法，是必须掌握的
数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口、交通、经济、生态 … … 初等数学、微分方程、规划、统计 … …

1、数学建模的意义

现在各个院校开设的数学模型课程正好可以很 快适应大学数学教学的这种改革，使用问题解 决方式教学，这是一种极好的教学方式，特别 是有利于培养学主的原创性和独立性，责任心， 分析和反思，提出数学问题和刨造性地思考有 关数学的问题，用非常规语言进行数学交流的 能力，以及合作能力．总之，这会激起学生的 数学热情。
由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件“四脚连线呈正方形”不是本质的
数学建模思想方法
数学建模的意义 什么是数学建模
数学建模的一般方法
数学建模引例
MCM和CUMCM介绍
竞赛反响
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竞赛内容及形式
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
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控制人口过快增长
常用的计算公式
k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) ห้องสมุดไป่ตู้0 dt
x(t t ) x(t ) rx(t ) t
数学建模活动使我们有意识地自觉地将数
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学运用到科学研究和日常生活的其他领域。
1、数学建模的意义

在具体的建模过程中，文献资料介绍的建模方法 并不完善，有的模型需要改进，且建模过程中出 综合性强。
现的许多现象需要解释，这就要求我们知识面广、 从而使我们不仅对数学课兴趣更浓,而且对其它
明确建模目的 掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
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数学建模的一般步骤
模 型 假 设 模 型 构 成 2018/8/11
针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折衷 用数学的语言、符号描述问题
发挥想像力
使用类比法
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
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模型构成
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
• 椅子位置
利用正方形(椅脚连线)的对称性
B´ B A´
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数 四个距离 (四只脚) 两个距离
C
C´
O

D´
A
x
正方形 对称性
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
用的疑惑，这是数学建模过程中的智力素质教育，
是多了，而是大大地不够，从而极大激发了学生
1、数学建模的意义

在数学建模教学的特点之一是培养兴趣，鼓励同学 之间互相提问，互相讨论，让思维在质疑中激发出
智慧的火花。

对别人提出的问题，让别人充分发表意见，对正确
的设想就支持，不正确的也不全盘否定，要进行论
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考察四脚呈长方形的椅子？
4.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货.
河
小船(至多2人)
但是乘船渡河的方案由商人决定. 3名商人 商人们怎样才能安全过河? 3名随从 问题分析 多步决策过程 决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河.
证，以培养我们严谨的逻辑思维，科学的工作方法
和独立解决问题的能力。

同学们集思广益，互相启发，互相促进，一些新观
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1、数学建模的意义
在数学建模中遇到同一个问题，可以从不
同角度，用不同的方法解决，即使是同一 问题在同一学科也会有迥然不同的解决方 法，从多种途径寻求解决问题的精神，在 数学建模中体现得格外充分.
验证 表述
(归纳)
数学模型
求解
(演绎)
现实对象的解答
现实世界
解释
数学模型的解答
数学世界
实践
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理论
实践
2、什么是数学建模
数学建模的一般步骤
模型准备 模型检验 模型应用 模型假设 模型分析 模型构成 模型求解
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数学建模的一般步骤
模 型 准 备
了解实际背景 搜集有关信息
模型 求解 模型 分析 模型 检验
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各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、模型对 数据的稳定性分析、灵敏性分析 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
模型应用
3、数学建模的一般方法

数学建模的背景是各类实际问题，来源工程、科技的 各个领域。 数学建模分两类： 机理分析和测试分析 根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律
xm xm/2 x0
xm/2
xm x
0
x (t )
xm xm rt 1 ( 1)e x0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
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阻滞增长模型(Logistic模型)
参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm
x(t ) x0 e
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rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 • 可用于短期人口增长预测 • 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
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模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数 yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk)~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, S ~ 允许状态集合
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2} uk~第k次渡船上的商人数 vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)~决策
19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降)
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阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r~固有增长率(x很小时)
对任意， f() • g()=0 ;
且 g(0)=0， f(0) > 0.
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证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0. 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
xm~人口容量（自然资源、环境能容纳的最大数量）
r ( xm ) 0
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r s xm
x r ( x) r (1 ) xm
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx rx dx/dt dt
人 口 增 长 速 度 0
dx x r ( x) x rx(1 ) dt xm x
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1、数学建模的意义

在近几年的教学中我们发现，一部分学生缺乏远
大的理想，学习没有目标。这些学生都很聪明，
但他们往往不肯努力钻研课程内容，不愿广泛阅
读课外书籍，甚至根本就没有体验过通过自我钻
研而带来的乐趣。
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1、数学建模的意义
数学建模的教学可以激励学生树立远大的理想， 引导学生树立正确的科学 观和学习观。 现在大学里的数学系列课程大致有三类。第一 类是数学系开设的数学课程，第二类是其它院 系开设的数学课程，第三类是各系专业课程中 的数学方法。 不少学生们把数学系开设的课程在2年后忘记 了，而那些第三类数学方法及其各种综合能力 却终生受用的，这正是素质教育想得到的结果 因此，现在的数学教育必须进行重大的改变， 而数学建模作为已经具备条件并可以作为大学 2018/8/11 数学教育改革的先行课程。
• 穷举法 ~ 编程上机
S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3;
x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
y 3 d 8
• 图解法
状态s=(x,y) ~ 16个格点
s1
d1
d7 允许状态 ~ 10个 点 d9 2 允许决策 ~ 移动1或2格; d6 d 10 k奇,左下移; k偶,右上移.
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设，
运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学建模（Mathematical Modeling) 建立数学模型的全过程简称数学建模或建模
2018/8/11
（包括表述、求解、解释、检验等）
2、什么是数学建模
数学建模的全过程
现实对象的信息
相关学科的兴趣也得以激发（如外语、计算机 等），通过不断地建模训练，使我们学生的创造
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个性得到了培养和发挥。
2、什么是数学建模
数学建模：数学与实际问题的桥梁
实际问题 数学
数学建模: 应用数学知识解决实际问题的第一
步
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2、什么是数学建模
数学模型(Mathematical Model)
uk, vk=0,1,2;
k=1,2,
D={(u , v) u+v=1, 2} ~允许决策集合 sk+1=sk +(-1)k dk ~状态转移律
多步决策 问题
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求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
模型求解
d2 d4
2 3
d1, ，d11给出安全渡河方案 d11
1
d3
x
d5
评注和思考
规格化方法,易于推广
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0
sn+1
1
考虑4名商人各带一随从的情况
4.3 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律