2014年湖南省衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷

2014年湖南省衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）
01．2-的倒数是【 B 】
A ．12
B ．12
- C ．2 D ．2- 02．下列图案中不是轴对称图形的是【 A 】
A ．
B ．
C ．
D ． 03．环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题。

我国新修订的《环境空气质量标准》中增加了 2.5PM 监测指标，“ 2.5PM ”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物。

2.5微米即0.0000025米。

用科学记数法表示0.0000025为
【 C 】
A ．52.510-⨯
B ．52.510⨯
C ．62.510-⨯
D ．6
2.510⨯ 04．若一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为【 C 】
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
05．小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会儿报后，继续散步了一段时间，然后回家。

如图描述了小明在散步过程中离家的距离S （米）与散步所用的时间t （分）之间的函数关系。

根据图象，下列信息错误的是【 A 】
A ．小明看报用时8分钟
B ．公共阅报栏距小明家200米
C ．小明离家最远的距离为400米
D ．小明从出发到回家共用时16分钟
06．下列运算结果正确的是【 D 】
A ．235x x x +=
B ．326x x x =
C ．55x x x ÷=
D ．()23539x
x x = 07．不等式组10840
x x -⎧⎨-⎩＞≤的解集在数轴上表示为【 A 】
A
． B
．
C
． D ．
08．下列因式分解中正确的个数为【 C 】
①()3222x xy x x x y ++=+； ②()2
2442x x x ++=+； ③()()22x y x y x y -+=+-。

A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
09．右图所示的图形是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，则下面四个
平面图形中不是这个立体图形的三视图的是【 B 】
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为【 D 】
A ．26米
B ．28米
C ．30米
D ．46米
11．圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为【 C 】
A ．6
B ．9
C ．18
D ．36
12．下列命题是真命题的是【 D 】
A ．四条边都相等的四边形是矩形
B ．菱形的对角线相等
C ．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D ．对角线相等的梯形是等腰梯形
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分。

）
13
．函数y =
x 的取值范围是 2x ≥。

14
2 。

15．如图，在矩形ABCD 中，120BOC =∠，5AB =，则BD 的长为 10 。

16．甲、乙两同学参加学校运动会铅球项目选拔赛，各投掷六次，记录成绩，计算平均数和方差的结果为：10.5x =甲，10.5x =乙，20.61S =甲，20.50S =乙，则成绩较稳定的
是 乙 。

（填“甲”或“乙”）
17．如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，25ACD =∠，则BAD ∠的度数为 65 。

18．若点()11P m -，和点()22P n -，都在反比例函数()0k y k x
=>的图象上，则 < n （填“>”、“<” 或“=”号）
19．分式方程12x x x x
-=+的解为x 2 。

20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点0M 的坐标为()10，，将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点1M ，使得100M M OM ⊥，得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45，再将其延长至点2M ，使得211M M OM ⊥，得到线段2OM ；如此下去，得到线段3OM 、4OM 、5OM 、…。

根据以上规律，请直接写
出线段2014OM 的长度为2014 。

三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤。

）
21．（本小题满分6分）
先化简，再求值：()()()22a b a b b a b b +-++-，其中1a =、2b =-。

解：原式222222a b ab b b a ab =-++-=+；当1a =、2b =-时，原式()2112121=+⨯-=-=-。

22．（本小题满分6分）
为了了解我市的空气质量情况，某环保兴趣小组从环境监测网随机抽取了我市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）。

我市若干天空气质量情况条形统计图 我市若干天空气质量情况扇形统计图
请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
⑴请补全条形统计图；
⑵求扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数；
⑶请估计我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数。

解：⑴∵扇形统计图中空气质量情况为“优”占的比例为20%
条形统计图中空气质量情况为“优”的有12天
∴被抽取的总天数为1220%60÷=（天）
∴条形统计图中空气质量情况为“轻微污染”的有：
6012363225-----=（天），如图所示：
⑵扇形统计图中表示“优”的扇形的圆心角度数为20%36072⨯=。

⑶我市这一年（365天）达到“优”和“良”的总天数123636529260
+=
⨯=（天） 23．（本小题满分6分）
如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD CD =，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F 。

求证：BED ∆≌CFD ∆。

证：∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ==∠∠
∵AB AC =，∴B C =∠∠
∵在BED ∆和CFD ∆中，BED CFD B C BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠∠∠，∴BED ∆≌CFD ∆。

24．（本小题满分6分）
已知某校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。

解：设这两年的年平均增长率为x ，由题意得()2500017200x +=，即()211.44x +=，
解得：1 1.210.220%x =-==，2 1.21 2.2x =--=-（不合题意，舍去），∴120%x =为所求。

答：这两年的年平均增长率为20%。

25．（本小题满分8分）
某班组织活动，班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品。

已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买一件。

⑴若设购买笔记本x 本，中性笔y 支，写出y 与x 之间的关系式；
⑵有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
⑶从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数量相等的概率。

解：⑴∵由题意知215x y +=，∴y 与x 之间的关系式为215x y +=；
⑵∵在215x y +=中，2x 为偶数，15为奇数，∴y 必为奇数，
∵每种奖品至少买一件，∴1x ≥，1y ≥，
∴奇数y 只能取1
35791113、、、、、、这七个数 ∴共有七种购买方案，如右图所示；
⑶∵买到的中性笔与笔记本数量相等的购买方案只有1种（上表所示的方案三），共有7种购买方案 ∴买到的中性笔与笔记本数量相等的概率为
17。

26．（本小题满分8分）
将一副三角尺如图①摆放（在Rt ABC ∆中，90ACB =∠，60B =∠；在Rt DEF ∆中，90EDF =∠，45E =∠。

），点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C 。

图① 图②
⑴求ADE ∠的度数；
⑵如图②，将DEF ∆绕点D 顺时针方向旋转角()060αα<<，此时的等腰直角三角尺记为''DE F ∆，'DE 交AC 于点M ，'DF 交BC 于点N ，试判断
PM CN 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PM CN
的值；反之，请说明理由。

解：⑴由题意知：CD 是Rt ABC ∆中斜边AB 上的中线，∴AD BD CD ==
∵在BCD ∆中，BD CD =且60B =∠，∴有等边BCD ∆，∴60BCD BDC ==∠∠
∴180180609030ADE BDC EDF =--=--=∠∠∠； ⑵
PM CN 的值不会随着α的变化而变化，理由如下： ∵APD ∆的外角3030M P D A A D E =+=+=∠∠∠，∴60MPD BCD ==∠∠
∵在MPD ∆和NCD ∆中，60MPD BCD ==∠∠，PDM CDN α==∠∠
∴MPD ∆∽NCD ∆，∴PM PD CN CD =，又∵由⑴知AD CD =，∴PM PD PD CN CD AD ==
∵在APD ∆中，30A ADE ==∠∠，∴在等腰APD ∆中，
3PD AD ==
∴3
PM PD PD CN CD AD ===。

27．（本小题满分10分）
如图，直线AB 与x 轴相交于点()40A -，，与y 轴相交于点()03B ，，点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动。

同时，将直线34
y x =以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA 于点C ，交OB 于点D ，设运动时间为()05t t <<秒。

⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP 总是平行四边形；
⑵当t 取何值时，四边形ACDP 为菱形？请指出此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理由。

解：⑴∵直线AB 与x 轴相交于点()40A -，，与y 轴相交于点()03B ，
∴直线AB 的解析式为
143x y +=-，即334AB y x =+ ∵将直线34
y x =以每秒0.6个单位长度的速度向上平移()05t t <<秒得到直线CD
∴0.6OD t =，∴()00.6D t ，，∴直线CD 的解析式为30.64
CD y x t =+ ∵在直线CD 中，点C 在x 轴上，∴令0y =，则0.8x t =-，∴()0.80C t -，，
0.8OC t = ∴在Rt OCD ∆
中，
CD t ===
∵点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动()05t t <<秒 ∴AP t =，∴AP CD t ==，又∵34
AP AB CD k k k ===，∴AP CD ∥， ∵AP CD ∥，AP CD t ==，∴在运动过程中，四边形ACDP 总是平行四边形； ⑵欲使四边形ACDP 为菱形，只需在ACDP 中满足条件AC CD =，即40.8t t -=，解得209
t = ∴当209t =
时，四边形ACDP 为菱形； 此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 相切，理由如下：
∵209t =，∴40.63OD t ==，∴45333
BD OB OD =-=-= ∵()40A -，，()03B ，，∴4OA =，3OB =，∴在
Rt OAB ∆中，5AB =
过点D 作DE AB ⊥于点E ，则90DEB =∠
∵在AOB ∆和DEB ∆中，90AOB DEB ==∠∠且OBA EBD =∠∠，∴AOB ∆∽DEB ∆ ∴OA ED AB DB =，即455
3
ED =，∴43D E O D ==，∴点D 到直线AB 的距离等于D ⊙的半径
∴以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 相切。

另解：（在证明D ⊙与直线AB 相切时，也可利用等积法．．．
求得点D 到直线AB 的距离。

） 设点D 到直线AB 的距离为d ，则1522ABD S AB d d ∆=
=，连结AD ， ∵AOB ABD AOD S S S ∆∆∆=+且
143622AOB S OA OB ∆⨯===、44183223
AOD S OA OD ∆⨯===
∴58623d =+，解得43
d =，∴点D 到直线AB 的距离与D ⊙的半径相等，即d r = ∴以点D 为圆心、OD 长为半径的D ⊙与直线AB 相切。

再解：（巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”）
连结AD ，则AD 是菱形ACDP 的对角线，∴AD 平分OAB ∠
∵DO AO ⊥，∴DO 是点D 到直线AO 的距离，
∴点D 到直线AB 的距离＝点D 到直线AO 的距离()DO
∴以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 相切。

28．（本小题满分10分）
图① 图②
已知某二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，
与y 轴相交于点()()030C m m ->，，顶点为点D 。

⑴求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；
⑵如图①，当2m =时，点P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设APC ∆的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；
⑶如图②，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形
与OBC ∆相似？
解：⑴∵该二次函数的图象与x 轴分别相交于点()30A -，和点()10B ，，
∴设该二次函数的解析式为()()31y a x x =+-
∵该二次函数的图象与y 轴相交于点()03C m -，，
∴()313a m -=-，故a m =
∴该二次函数的解析式为()()2
3123y m x x mx mx m =+-=+- ⑵当2m =时，点C 的坐标为()06-，，该二次函数的解析式为2
246y x x =+- ∵点A 的坐标为()30-，，点C 的坐标为()06-，
∴直线AC 的解析式为136
x y +=--，即26AC y x =-- 过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F
∵点P 为第三象限内抛物线上的一个动点且点P 的横坐标为x ()30x -<<
∴点P 的坐标为()
2246x x x +-，，点E 的坐标为()0x ，，点F 的坐标为()26x x --， ∴()()()()()11333322222P F P F F P S OA PF PE EF y y y y y y ==⨯⨯-=-=---=-⎡⎤⎣⎦ ()()()()()2222222333262462624626222393273933332424x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=
---+-=----+=--⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+=-+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴当32x =-
时，S 有最大值274
； 另解： ()()221133324626246262222
P F S OA PF y y x x x x x x ==⨯⨯-=+----=+-++ 22233926333224x x x x x ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝
⎭ ∵30x -<<，∴333222x -<+<，∴23924x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，∴2
39024x ⎛⎫+-< ⎪⎝
⎭， ∴2223939327333242424S x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（其余略） 再解：
()()222OAC PAE OAC OAPC OCPE OC PE OE AE PE OA OC S S S S S S ∆∆∆+⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦
四边形梯形 ()()()()()()()()()2221122
1113632223332723246623932224P P P AE PE OE OC OE PE OA OC AE PE OE PE OE OC OA OC AE OE PE OC OA OE OA PE OC AE y x y x x x x x x x =
++-=++-⎡⎤=+--=-=--⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎛⎫=--+=--+--=--=-++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
其余略
⑶∵()()()()()22
231231414y m x x m x x m x m x m ⎡⎤=+-=+-=+-=+-⎣⎦
，∴点D 的坐标为()14m --，
∴
()()()()()()222222
2230033399A C A C AC x x y y m m m =-+-=--+--=-+=+⎡⎤⎣⎦
()()()()()()22222222310424416A D A D AD x x y y m m m =-+-=---+--=-+=+
⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦
()
()()()22222201341C D C D CD x x y y m m m =-+-=--+---=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ∵OBC ∆是直角三角形，∴欲使以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似，必有Rt ACD ∆
①若在A C D ∆中，90ACD =∠，则22A C C D A D +=，即()()22
2991416m m m +++=+ 化简整理得：21m =，∵0m >，∴1m =（舍去负值）
此时，3AC CD ====，331CO OB ==，∴3AC CO CD OB == ∵90ACD COB ==∠∠且
3AC CO CD OB ==，∴ACD ∆与OBC ∆相似，符合题意； ②若在A C D ∆中，90ADC =∠，则22A D C D A C +=，即()()22
2416199m m m +++=+ 化简整理得：212m =，∵0m >，∴m =
此时
，AD CD =====
，21CO OB ==，∴A D C O C D O B
≠ 虽然90ACD COB ==∠∠，但是AD CO CD OB
≠，∴A C D ∆与OBC ∆不相似，应舍去； ∴综上所述，只有当1m =时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与OBC ∆相似。