1-利用Matlab求解高等数学(二)

5、用matlab求级数的和及函数的幂级数 1、级数求和 调用matlab符号工具箱中的symsum函数，可求级数的和。调用格式如下： r=symsum(s) r=symsum(s,v) r=symsum(s,a,b) r=symsum(s,v,a,b) 说明：（1）symsum(s)求关于默认变量k 的级数 ∑ f (k ) 从第0项到k-1项和， k =0 其中s是通向f(k)的符号表达式。 +∞ （2）symsum(s)求关于变量v的级数 ∑ f (v) 从第0项到v-1项和， k =0 其中s是通向f(v)的符号表达式。 +∞ （3）symsum(s,a,b)求级数 f ( k )从第a项到第b项和。
2、用matlab求定积分 利用matlab符号工具箱中的求积函数int， 可求函数的定积分，int函数的调用格式如下： int（S,a,b） int（S,v,a,b） 说明： （1）int（S,a,b）求表达式S在区间[a,b]上的 b 定积分，即求 ∫a s( x)dx （2）int（S,v,a,b）求表达式S关于变量v在 区间[a,b]上的定积分，即求 ∫ s(v)dv
用Matlab求解高等数学中的问题（二） Matlab求解高等数学中的问题（二）
南昌理工学院 公共教学部
1、求解不定积分 2、求解定积分 3、求解多元微积分 4、求解微分方程 5、求Байду номын сангаас级数问题
1、用matlab求不定积分 利用matlab符号工具箱中的求积函数int， 可求函数的不定积分，int函数的调用格式如下： int(S) int(S,v) 说明： （1）int(S)求表达式S的不定积分 (默认的积分变量为x)，即求 ∫ s( x)dx （2）int(S,v)求表达式S关于积分变量v 的不定积分，即求 ∫ s(v)dv
例2、求函数z=ln(x+y)+arctanxy的二阶导数 >>syms x y z >>z=’log(x+y)+arctan(x*y)’; >>dzdx=diff(z,’x’) dzdx= 1/(x+y)+y/(1+x^2*y^2) >>dzdxdy=diff(dzdx,’y’)
∂2z ∂2z ∂2z , , ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2
dzdxdy= -1/(x+y)^2+1/(1+x^2*y^2)-2*y^2(1+x^2*y^2)^2*x^2 >>dzdx2=diff(z,’x’,2) dzdx2= -1/(x+y)^2-2*7^3(1+x^2*y^2)^2*x >>dzdx2=diff(z,’y’,2) dzdy2= -1/(x+y)^2-2*x^3/(1+x^2*y^2)^2*y
例2、求幂级数
xk ∑ k! k =0
+∞
的和函数 >>syms k x >>symsum(x^k/sym(‘k!’),k,0,inf) ans= exp(x) 说明：sym是将字符串转换成符号表达式命令。
2、函数展开成幂级数 调用matlab符号工具箱中的taylor函数， 可求得函数的任意阶幂级数展开式。 调用格式： TAYLOR(f) TAYLOR(f,n) TAYLOR(f,n,a) 说明： （1）TAYLOR(f)求函数f的5阶Maclaurin级数 （2）TAYLOR(f,n)求（n-1）阶Maclaurin级数 （3）TAYLOR(f,n,a)求函数f在a点的（n-1）阶Taylor级数
3、用matlab求多元函数的微积分 （1）求偏导数 函数格式：diff(z,’x’,n) 用它可求函数z关于x的n阶偏导数 ∂z ∂z 例1、设z=exp(1+xlny),求 ∂x , ∂y >>syms x y z >>z=’exp(1+x*log(y))’; >>dzdx=diff(z,’x’) dzdx= log(y)*exp(1+x*log(y)) >>dzdy=diff(z,’y’) dzdy= x/y*exp(1+x*log(y))
例1、求
1 + sin x x ∫ 1 + cos x e dx
>>syms f x >>f=’(1+sin(x))*exp(x)/(1 >>int(f,’x’)
+cos(x))’; ans= exp(x)*tan(1/2*x) + 例2、求 ∫ 4t at 7t b 25 dx − +
2
>>syms f a b t >>f=’(a*t+b)/(4*t^2-7*t+25)’ >>int(f,’t’)
b a
例1、计算 ∫
π
2 0
1 − sin 2 x dx
>>int(‘sqrt(1in(2*x))’,’x’,’0’,’(pi/2)’) >>eval(ans) 例2、计算广义积分
1 2π
∫
−∞
+∞
e dx
x2 2
>>int(‘exp((-x^2)/2)/sqrt(2*pi)’,’x’,’-inf’,’inf’)
例1、求微分方程
5 y '' − 6 y ' + 5 y = e x
的同解。
>>dsolve(‘5*D2y-6*Dy+5*y=exp(x)’,’x’) ans= 1/5*exp(x)+C1*exp(3/5*x)*sin(4/5*)+ C2*exp(3/5*x)*cos(4/5*x) 例2、求微分方程dx/dt=y,dy/dt=-x的解 >>[x,y]=dsolve(‘Dx=y,Dy=-x’) x=cos(t)*C1+sin(t)*C2 y=-sin(t)*C1+cos(t)*C2
+∞
∑
k =0
（4）symsum(s,v,a,b)求关于变量v的级数v 从第a项到第b项的和。
例1、已知级数
k 2 求： ∑
k =0
+∞
（1）求他的前k项和； （2）求第0项到第10项的和。 >>syms k >>r=symsum(k^2) r= 1/3*k^3-1/2*k^2+1/6*k >>r=symsum(k^2,0,10) r= 385
∂z ∂z , ∂x ∂y
2、求二重积分 例4、计算二重积分
2 2 y y y2 ∫∫ x 2 dσ = ∫1 dy ∫1y x 2 dx d
>>int(int(‘y^2/x^2’,’x’,1/y,y),’y’,1,2) ans= 9/4
4、用matlab求解微分方程 利用matlab符号工具箱中的函数dsolve, 可求微分方程的解，其调用格式如下： r=dsolve(‘eql,eq2,…’,’cond1,cond2’,…,’v’) r=dsolve(‘eql’,’eq2’,…,’cond1’,’cond2’,…,’v’) 说明：求微分方程或微分方程组eq1,eq2,… 满足初始条件cond1,cond2,…关于自变量v的解。 默认的自变量为t。
例3、设
x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz ，求
>>syms x y z >>f=’x^3+y^3+z^3-3*x*y*z’; >>fx=diff(f,’x’) fx= 3*x^2-3*y*z >>fy=diff(f,’y’) fy= 3*y^2-3*x*z >>fz=diff(f,’z’) fz= 3xz^2-3*x*y >>dzdx=-fx/fz dzdx= (-3*x^2+3*y*z)/(3*z^2-3*x*y) >>simplify(dzdx) ans= (x^2-y*z)/(-z^2+x*y)
例3、求函数 f ( x) = e − x 的5阶Maclaurin级数 >>taylor(exp(-x)) ans= x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^41/120*x^5 例4、求函数y=log(x+1)的6阶Maclaurin级数 >>taylor(log(x_1),7) ans= x-1/2*x^2+1/3*x^31/4*x^4+1/5*x^5-1/6*x^6 例5、求函数f(x)=sinx在x=pi/2处的4阶Taylor级数 >>taylor(sin(x),5,pi/2) ans= 1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4