山东省师大附中2019届高三第四次模拟测试(1月)数学理试题

山东师大附中2019级高三第四次模拟考试 数学（理工类） 2019年1月
命题人： 孙 宁 王俊亮
1. 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.
2. 本试卷涉计的内容: 集合与逻辑、基本初等函数（Ⅰ）（Ⅱ）、导数及其应用、三角函数、
数列、不等式、向量、立体几何
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知α为第二象限角，3
sin 5
α=，则sin 2α=（ ）
A ．2425-
B ．1225-
C ．1225
D ．2425
2．设全集()
()2,{|2
1},{|ln 1}x x U R A x B x y x -==<==-，
则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤< C ．{|01}x x <≤ D ．{|1}x x ≤
3.已知各项均为正数的等比数列{n a }中,1237895,10,a a a a a a ==则456a a a =( )
A.
4. 已知0.8
1.2512,,2log 22a b c -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A.c b a <<
B. c a b <<
C. b c a << D . b a c <<
5.已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的 半径为1，则该几何体的体积为( ) A ．3242π- B ．243π- C ．24π- D ．242
π-
6.正六棱柱的底面边长为4,高为6,则它的外接球的表面积为
A. 20π
B. 25π
C. 100π
D. 200π
U
7.已知x y 、满足5030x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则24z x y =+的最小值为( )
A. 5
B. -5 C . 6 D. -6
8.为了得到函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点( ) A ．向左平移
3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变 B ．向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
D ．向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
9.已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4
π
和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，
则ϕ=( )
A . 4π
B . 3π
C . 2
π
D . 34π
10.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A.
245 B. 28
5
C. 5
D. 6 11.函数ln x x
x x
e e y e e ---=+的图象大致为( )
A. B. C. D.
12.设,m n 是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．
的是（ ） A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B ．当α⊂m 时，“m ⊥β”是“βα⊥”的充分不必要条件
C ．当α⊂m 时，“//n α”是“n m //”的必要不充分条件
D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件
山东师大附中2019级高三第四次模拟考试 数学（理工类） 2019年1月
第II 卷（共90分）
二填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．设函数()()()()()12132,,1||12||13||
x x x
f x f x f f x f x f f x x x x =
====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+++ 当2n ≥时,()()1n n f x f f x -==
⎡⎤⎣⎦
14．设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+， 则()2013.5f =_______________.
15．已知ABC ∆中4,2AC AB ==错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

，若G 为ABC
∆的重心，则AG BC ⋅=错误！未找到引用源。

．
16.已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()2'1ln f x xf x =+，则()f x 在点()(1,1)M f 处的切线方程为
三解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分12分）
设ABC ∆的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且sin cos b A B =. （1）求角B 的大小；
（2）若3,sin 2sin b C A ==，求,a c 的值.
18.（本题满分12分）
F
B
C
P
已知函数ππ1()cos(
)cos()sin cos 334
f x x x x x =+--+ （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 单调递增区间
19.(本题满分12分)
已知球的直径为10cm ，求它的内接圆锥体积的最大值,并求
出此时圆锥的底面半径和高.
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且112a b ==，454b =，
12323a a a b b ++=+．
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式
（2）数列{}n c 满足n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
21.（本题满分12分）
四棱锥P ABCD -底面是平行四边形，面PAB ⊥面ABCD ,
1
2
PA PB AB AD ===
,060BAD ∠=,,E F 分别为,AD PC 的中点. （1）求证：//EF PAB 面 （2）求证：EF PBD ⊥面 （3）求二面角D PA B --的余弦值
22.（本题满分14分）
已知函数()()2
1ln 1,2
f x a x a x x a R =-++
∈ （1）当01a <<时，求函数()f x 的单调区间；
（2）已知()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的范围.
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一选择题（每题5分，共60分）
13． ()1||n x f x n x =+ 14．
3
2
15． 4
16. 10x y ++=
三解答题
17.【解析】（1）
sin cos b A B =，由正弦定理得sin sin cos B A A B =--3分
即得tan B =
3
B π
∴=.---------------------------------------------------6分
（2）
sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =，-------------------------8分
由余弦定理222
2cos b a c ac B =+-，2
2
9422cos
3
a a a a π
=+-⋅，---------10分
解得a =2c a ∴==分稿源：konglei 18【解析】：（Ⅰ）
ππ11
()cos()cos()sin
23324f x x x x =+--+--------1分
1111
(cos )(cos )sin 2222224x x x x x =-+-+
----------2分 221311cos sin sin 24424x x x =
--+1cos 233cos 211sin 28824
x x x +-=--+----4分 1(cos 2sin 2)2x x =
-224x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭------------------6分
函数)(x f 的最小正周期为 T π=，-------------------7分
函数)(x f 分 （II ）由 222,4
k x k k z π
πππ-≤+≤∈------------------10分
得 5,8
8
k x k k z π
πππ-≤≤-
∈------------------------11分
函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88
k k k z ππ
ππ-
-∈------------12分 19【解析】设圆锥的底面半径为 r ，高为h ,则()2
2222
5510h r r h h -+=∴=-----2分
()()22231=1010333V r h h h h h h ππ
π=-=-锥--------------------5分
()()()()2'203203,'03
3
V h h h h h V h π
π
=-=
-=令，
20
3
h =
，------------7分 ()()20200,,'0;,10,'033h V h h V h ⎛⎫⎛⎫
∈>∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()202020010333V h h V h ⎛⎫⎛⎫↑↓= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在，，在，；当时，最大
---9分
max 400081
V π
=
，----------------------11分
此时 20,3h r =
=--------------------------12分 20．【解析】：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q
由341b b q =，得354
272
q =
=，从而3q = 因此11132--⋅=⋅=n n n q b b ………………………………………3分 又123223361824a a a a b b ++==+=+=，28a ∴=
从而216d a a =-=，故466)1(1-=⋅-+=n n a a n ……………………………6分
（Ⅱ）13)23(4-⋅-⋅==n n n n n b a c
令122103)23(3)53(373431--⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T
n n n n n T 3)23(3)53(37343131321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ……………9分
两式相减得
1
3)
13(3313)23(333333331211
321--⨯+=⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+=---n n
n n n T
n
n 3)23(⋅--n 1n 9(31)
13n 2)32
--=+
--⋅（ 73(67)44
n n n T -∴=+
，又n n n S 4T 7(6n 7)3==+-⋅ ………………………12分
20【解析】（1）1
,//,PB FG FG BC FG BC =
取的中点，连由题设-----1分 1
//,//2
AE BC AE BC FG AE =
∴ AEFG 是平行四边形,所以 //EF AG ,//AE PAB EF PAB EF ⊂⊄∴面面面------------------------4分 （2）
PAB AG PB ∆⊥是等边三角形，----------------①
02220220
2,60,2cos6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ∆=∠==+-⨯⨯=-∴∠=中，由余弦定理
所以 BD AB ⊥-------6分 ,PAB ABCD BD AB DB PAB ⊥⊥∴⊥面面面
DB AG ⊥-----------------------②--------------------------------------------------7分
由 ①②可知，,AG PB AG BD AG PBD ⊥⊥∴⊥面
//,EF AG EF PBD ∴⊥又面-----------------------------------------------9分
(3)取PA 的中点N ,,BN DN 连
PAB BN PA ∆∴⊥是等边三角形
~Rt PBD Rt ABD PD AD ∆∆∴=
AN PB ∴⊥
ANB θ∠=是二面角D PA B --
的平面角 ----------------------------11分 由 （2）知 ,BD PAB BD BN ⊥⊥面
2DBN BD BN ∆==在Rt 中，
tan 2,cos BD BN θθ=
==
即二面角D PA B --
分 解法二 （1）
02220220
2,60,2cos6090ABD AD AB BAD BD AB AD AB AD AD AB ABD ∆=∠==+-⨯⨯=-∴∠=中，由余弦定理
所以 BD AB ⊥ ,PAB ABCD BD AB DB
⊥⊥∴⊥面面面建系{,,}BA BD z 令 2AB =
()()(2,0,0,0,,A D P ,(C -()(11222
EF AP DC =
+=-=因为平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =
20//EF n EF PAB ⋅=∴面
(2)()(0,23,0,BD BP ==
0,0EF BD EF BP ⋅=⋅= ,EF BD EF BP EF PBD ⊥⊥∴⊥面
(3) 设平面PAD 的法向量为()1111,,n x y z = (1,3AP =-,()
AD =-
110
20
n AP x n AD x ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=-+=⎪⎩ 令x =(
)
13,1,1n =
平面PAB 的法向量 ()20,1,0n =
12cos ,n n <>=
，即二面角D PA B --22【解析】：()()()()()x a x x x a x a x a x x a x f --=++-=+-+='1112-----2分
（Ⅰ）当10<<a 时，()()x f x f 、'的变化情况如下表：
所以函数()x f 的单调递增区间是()()+∞,1,,0a ，单调递减区间是()1,a ………………6分 （Ⅱ）由于()a f --
=2
1
1，显然0>a 时，()01<f ，此时()0≥x f 对定义域内的任意x 不是恒成立的， ----------------------------------9分
当0≤a 时，易得函数()x f 在区间()∞+，
0的极小值、也是最小值即是()a f --=2
1
1，此时只要()01≥f 即可，解得21-≤a ，∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝
⎛
∞21--，.-----------14分。