2023届亳州市重点中学高一上数学期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；④若cos 0θ<，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]
y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11
x x e f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()g x 的值域为（） A.()1,1-
B.{}1,1-
C.{}1,0-
D.{}1,0,1-
4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：
①α∥β⇒l m ⊥ ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确命题的序号是
A.①③
B.②③④
C.①②③
D.②④
5．若α是第二象限角，(),2P x 是其终边上的一点，且1cos 3α=-，则x =（） A.2-
B.1-
C.22-
D.22-或22
6．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11C A BD -的体积为（）
A.13
B.1
4
C.1
2 D.2
3
7．利用二分法求方程3log 5x x =-的近似解，可以取得一个区间
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（
）
A.4
B.22
C.7
D.2
9．已知幂函数()f x 过点22,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭则( )
A.()12f x x -=，且在()0,+∞上单调递减
B.()1
2f x x -
=，且在()0,+∞单调递增 C.()12f x x =且在()0,+∞上单调递减
D.()12
f x x =，且在()0,+∞上单调递增
10．已知函数()2ln 4x f x x =+-，则函数()f x 的零点所在区间为（） A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
11．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>在 []0,π上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A.1117,66⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C.58,33⎛⎫
⎪⎝⎭ D.58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭
12． “12x -<”是“03x <<”成立的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数2cos 21,,33y x x πππ⎛
⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，则当x =_______时，函数取得最小值为_________. 14．已知,,a b c 为直角三角形的三边长，c 为斜边长，若点(,)M m n 在直线:20l ax by c ++=上，则22m n +的最小值为__________
15．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且3log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩
，则[(8)]g f -=___________ 16．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭在区间(),2ππ上没有最值，则ω的取值范围是______. 三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．已知点A 、B 、C 的坐标分别为()3,0A 、()0,3B 、()cos ,sin C αα，3,22ππα⎛⎫∈
⎪⎝⎭
. （1）若AC BC =，求角α的值；
（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin21tan ααα
++的值. 18．已知函数()()2sin ,06f x x x R πωω⎛
⎫=+∈> ⎪⎝⎭
的最小正周期为π. （1）求ω的值和()f x 的单调递增区间；
（2）令函数()12g x f x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间02π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的值域. 19
．已知函数22()cos sin 2f x x x x =-+
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）求函数()f x 图象的对称中心的坐标和对称轴方程
20．已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()4sin cos 10sin 322sin cos 5tan sin 2παπααπααππαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭
. （1）求tan α的值；
（2）求cos sin 2sin cos αααα
-+的值. 21．已知函数f (x )＝2a sin 23x π⎛
⎫
- ⎪⎝⎭＋b 的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，函数最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值 22．已知函数sin()tan()()cos 2x x f x x πππ+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
. （1）化简()f x ；
（2）若()2f α=，求下列表达式的值：①2sin cos sin 3cos αααα
-+；②2sin sin cos ααα+.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、B
【解析】∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y 轴的非负半轴，
∵由tanα＜0，
∴角α的终边位于二四象限，
∴角α的终边位于第二象限
故选择B
2、A
【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.
【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；
对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确； 对于③，若sin sin αβ=，则α与β的终边相同，或关于y 轴对称，③错误；
对于④，若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角，或终边在x 负半轴上，④错误；
综上，其中正确命题是②，只有1个.
故选：A
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.
3、C
【解析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解
【详解】解：因为11x e +>， 所以2021x
e <<+， 所以12()1(1,1)11x x x
e f x e e -==-∈-++， 则()[()]g x f x =的值域{}0,1-
故选：C
4、A
【解析】利用线面、面面平行的性质和判断以及线面、面面垂直的性质和判断可得结果.
【详解】②若αβ⊥，则l 与m 不一定平行，还可能为相交和异面；④若l m ⊥，则α与β不一定平行，还可能是相交.
故选A.
【点睛】本题是一道关于线线、线面、面面关系的题目，解答本题的关键是熟练掌握直线与平面和平面与平面的平行、
垂直的性质定理和判断定理.
5、C
1
3
=-，结合α是第二象限角求解即可.
【详解】由题设，
1
cos
3
α==-，整理得21
2
x=，又α是第二象限角，
所以
2
x=-.
故选：C
6、A
【解析】用正方体的体积减去四个三棱锥的体积
【详解】由
11111111
111
111
326
B A B
C
D A DC C BDC A A BD
V V V V
----
====⨯⨯⨯⨯=，
111111111
11
414
63
C A B
D ABCD A B C D B A BC
V V V
---
=-=-⨯=
故选：A
7、D
【解析】根据零点存在定理判断
【详解】设3
()log5
f x x x
=-+，则函数单调递增
由于3
(3)log35310
f=-+=-<，
33
(4)log454log410
f=-+=->，∴()
f x在(3,4)上有零点
故选：D.
【点睛】本题考查方程解与函数零点问题．掌握零点存在定理是解题关键
8、B
【解析】根据三视图得到几何体的直观图，然后结合图中的数据计算出各棱的长度，进而可得最长棱
【详解】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11
P DCC D
-，底面
11
DCC D是边长为2的正方形，侧面
11
PC D
∆
是边长为2的正三角形，且侧面11
PC D⊥底面
11
DCC D
根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得1122PC PD ==， 所以该四棱锥的最长棱为22
故选B
【点睛】在由三视图还原空间几何体时，要结合三个视图综合考虑，根据三视图表示的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线、不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．熟悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．考查空间想象能力和计算能力
9、A 【解析】由幂函数()a
f x x =过点22,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，求出12a =-，从而()12f x x -=，在()0,+∞上单调递减
【详解】幂函数()a f x x =过点22,2⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
， ()2222a f ∴==
， 解得12
a =-， ()1
2f x x
-∴=，在()0,+∞上单调递减
故选A ． 【点睛】本题考查幂函数解析式的求法，并判断其单调性，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10、B
【解析】先分析函数的单调性，进而结合零点存在定理，可得函数()f x 在区间(1,2)上有一个零点
【详解】解：函数()2ln 4x f x x =+-在(0,)+∞上为增函数，
又f （1）240=-<，f （2）20ln =>，
∴函数()f x 在区间(1,2)上有一个零点，
故选：B
11、B
【解析】先化简()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，再令t =π6x ω+，求出t 范围，根据2sin y t =在t ∈[,]66
ππωπ+上有两个零点，作图分析，求得ω的取值范围. 【详解】()π3sin cos 2sin 6f x x x x ωωω⎛⎫=
+=+ ⎪⎝⎭，由[0,]x π∈，又0>ω， 则可令t =π[,]666
x ππωωπ+∈+， 又函数2sin y t =在t ∈[,]66π
π
ωπ+上有两个零点，作图分析：
则236πωπππ≤+
<，解得ω∈1117,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 故选：B. 【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.
12、B
【解析】解出不等式，进而根据不等式所对应集合间的关系即可得到答案.
【详解】由1213x x -<⇒-<<，而{}|03x x <<是{}|13x x -<<的真子集，所以“12x -<”是“03x <<”成立的必要不充分条件.
故选：B.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 ①.23π##23
π ②.3- 【解析】根据,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
求出23x π-的范围，根据余弦函数的图像性质即可求其最小值.
【详解】∵,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， ∴当23x π
π-=，即23x π=
时，cos 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最小值为1-， ∴当23x π=时，2cos 21,,33y x x πππ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
最小值为2(1)13⨯--=-. 故答案为：
23π；－3. 14、4
【解析】∵a ，b ，c 为直角三角形中的三边长，c 为斜边长，∴c=22a b +，
又∵点M （m ，n ）在直线l ：ax+by+2c=0上，
∴m 2+n 2表示直线l 上的点到原点距离的平方，
∴m 2+n 2的最小值为原点到直线l 距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d=
222c a b +=2， ∴m 2+n 2的最小值为d 2=4，
故答案为4.
15、1-
【解析】先由已知条件求出()g x 的函数关系式，也就是当0x <时的函数关系式，再求得(8)2f -=-，然后求[(8)](2)g f g -=-的值即可
【详解】解：当0x <时，0x ->，
∴3()log (1)f x x -=-+，
∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴3()log (1)f x x -=-+，
∴3()log (1)(0)f x x x =--+<，即3()log (1)(0)g x x x =--+<
由题意得3(8)(8)log 92f f -=-=-=-，
∴3[(8)](2)log [(2)1]1g f g -=-=---+=-
故答案为：1-
【点睛】此题考查了分段函数求值，考查了奇函数的性质，属于基础题.
16、1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
【解析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由()f x 在区间(),2ππ上没有最值可知(),23k ππππωω+∉，进而可知3k πππωω+≤或23k πππωω
+≥，解不等式并取k 的值，即可确定ω的取值范围. 【详解】函数()()sin ,06f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝⎭
， 由正弦函数的图像与性质可知，当取得最值时满足,62x k k Z ππωπ+
=+∈， 解得,3k x k Z ππωω
=+∈， 由题意可知，()f x 在区间(),2ππ上没有最值， 则
(),23k ππππωω
+∉，k Z ∈， 所以3k πππωω+≤或23k πππωω+≥， 因为0>ω，解得13k ω≥
+或1162
k ω≤+， 当0k =时，代入可得13ω≥或16
ω≤， 当1k =时，代入可得43
ω≥或23ω≤， 当2k =时，代入可得73ω≥或76ω≤，此时无解. 综上可得106ω<≤或1233ω≤≤，即ω的取值范围为1120,,633⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦
. 故答案为：1120,,633⎛⎤⎡⎤
⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦
⎣⎦. 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，由三角函数的最值情况求参数，注意解不等式时的特殊值取法，属于难题.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17、（1）54π；（2）59
- 【解析】（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tan α的值，根据α的范围求得α；（2）根据向量的基本运算根据 1AC BC ⋅=-，求得sin α和cos α的关系式，然后用同角和与差的关系可得到
52sin cos 9αα=-，再由化简可得22sin sin 2 2sin cos 1tan ααααα
+=+，进而可确定答案 【详解】（1）∵AC BC =，
化简得tan 1α=， ∵3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，∴54πα= （2）∵ 1AC BC ⋅=-，
∴()()cos 3,sin cos ,sin 31αααα-⋅-=-，
∴2sin cos 3αα+=，∴52sin cos 9
αα=-， ∴()22sin cos sin cos 2sin sin 25 2sin cos 1tan sin cos 9
ααααααααααα++==-++＝ 【点睛】本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题
18、（1）2ω=，函数()f x 单调递增区间：[3k ππ-，],6k k Z π
π+∈；（2）[2]. 【解析】（1）利用函数的周期求解ω，得到函数的解析式，然后求解函数的单调增区间； （2）由题得()2sin(2)3g x x π=+，再利用三角函数的图象和性质求解.
【详解】解：（1）函数()2sin()(0)6
f x x πωω=+<的最小正周期π．可得2||ππω=，0>ω，所以2ω=， 所以函数()2sin(2)6f x x π=+，
由222262k x k π
π
π
ππ-++，k Z ∈，
所以222233k x k ππππ-
+，k Z ∈， 可得36k x k π
π
ππ-+，k Z ∈，
所以函数()f x 单调递增区间：[3k ππ-
，],6k k Z ππ+∈ （2）由题得()2sin(2)123g x f x x ππ⎛⎫=+
=+ ⎪⎝⎭， 因为40,022+2333
x x x π
π
πππ≤≤∴≤≤∴≤≤，，
所以sin(2+)13
x π≤≤，所以2sin(2+)23x π≤≤，
所以函数()g x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的值域为[2]. 19、（1）增区间为,,36k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z （2）对称中心的坐标为,0,212k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
Z ；对称轴方程为,26k k x ππ+=∈Z 【解析】（1）将函数转化为()2sin 26f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的对称性求解；
【小问1详解】
解：由()cos 222sin 26f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭
. 令222,262k x k k π
π
π
ππ-≤++∈Z ，
解得,36k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令3222,262k x k k π
π
πππ+≤+≤+∈Z ， 解得2,63
k x k k π
πππ+≤≤+∈Z ， 故函数()f x 的增区间为,,36k k k π
πππ⎡
⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，
减区间为2,,63k k k ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z ； 【小问2详解】
令2,6x k k π
π+=∈Z ，解得,212
k x k ππ=-∈Z ， 可得函数()f x 图象的对称中心的坐标为,0,212k k ππ⎛⎫-∈
⎪⎝⎭Z ，
令2,62x k k π
π
π+=+∈Z ，解得,26
k k x ππ+=∈Z ， 可得函数()f x 图象的对称轴方程为,26k k x ππ+=
∈Z 20、（1）2-；（2）1-.
【解析】（1）利用诱导公式直接化简即可，然后弦化切； （2）由（1）知，tan 2α，对齐次式进行弦化切求值.
【详解】（1）∵()()()4sin cos 10sin 325tan sin 2παπααπππαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 4cos cos sin tan cos ααααα
=- 24cos α=- 而()()()4sin cos 10sin 322sin cos 5tan sin 2παπααπααππαα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭
， ∴24cos =2sin cos ααα- ∵3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，∴cos 0α≠， ∴sin 2cos αα=-， ∴sin tan 2cos ααα
==-. （2）cos sin 1tan 2sin cos 2tan 1αααααα--=++1241
+=-+.1=-. 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)选择合适的公式进行化简求值
21、a ＝12－
b ＝－23＋
a ＝－12＋
b ＝19－
【解析】∵0≤x ≤2π，∴－3π≤2x －3π≤23
π.
23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭≤1.
若a >0
，则21{5
a b b +=+=-，
解得12{23a b =-=-+， 若a <0
，则25{1
a b b +=-+=，
解得12{19a b =-+=- 综上可知，a ＝12－
b ＝－23＋
a ＝－12＋
b ＝19－
22、（1）tan x -
（2）①5-，②25
； 【解析】（1）直接利用诱导公式化简即可； （2）依题意可得tan 2α
，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【小问1详解】 解：因为sin()tan()()cos 2x x f x x πππ+-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以(sin )(tan )()sin x x f x x --=-tan x =-； 【小问2详解】
解：由()2f α=，得tan 2α ①2sin cos 2tan 1sin 3cos tan 3αααααα--=++41523
--==--+ ②2222sin sin cos sin sin cos sin cos αααααααα
++=+ 22tan tan tan 1
+=+ααα22(2)(2)2(2)15-+-==-+。