三维不可压微极流体方程组弱解的两种正则性准则

三维不可压微极流体方程组弱解的两种正则性准则
三维不可压微极流体方程组是描述流体运动的基本方程，它包含了质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

对于这个方程组的弱解，存在着两种正则性准则，分别是Leray-Hopf准则和Kato准则。

以下将对这两种准则进行详细介绍。

1. Leray-Hopf准则
Leray-Hopf准则是针对三维不可压微极流体方程组弱解的存在性和唯一性问题提出的。

该准则通过对方程组的运动学能量估计和动量估计来推导。

具体来说，Leray-Hopf准则给出了以下结论：
(1)存在性：对于任意初始条件，方程组存在弱解。

这意味着无论初始条件如何，总能找到一个满足方程组的弱解。

(2)适定性：弱解满足能量估计和动量估计，这两个估计表明弱解在一定意义上是有界的。

(3)唯一性：在解的意义下，方程组的弱解是唯一的。

这意味着满足方程组的弱解只能是一个。

Leray-Hopf准则的证明主要依赖于一些重要的估计技巧和流体运动方程的分析性质。

2. Kato准则
Kato准则是对三维不可压微极流体方程组弱解的正则性进行进一步研究得到的。

它主要关注弱解的局部正则性和有界性。

(1)局部正则性：弱解在一定意义上是局部光滑的，即存在一个小区域内，解是光滑的。

这意味着方程组的弱解在局部的行为可以用光滑解来描述。

(2)高界性：弱解满足一定的高界估计，即解的特征值有界。

这意味着无论初始条件如何，解在其中一种范数下都具有一定的有界性。

Kato准则的证明同样依赖于一些重要的分析技巧和方程组的特性。

总结起来，Leray-Hopf准则和Kato准则分别研究了三维不可压微极流体方程组弱解的存在性、唯一性、局部正则性和有界性等性质。

它们为我们理解和研究流体运动提供了重要的数学工具和理论基础。