山西省阳泉市十一中学2019-2020学年高二数学理下学期期末试卷含解析

山西省阳泉市十一中学2019-2020学年高二数学理下学
期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如右题图所示，在正四棱锥中，分别是的中点，动点
在线段上运动时，下列结论中不恒成立的是( )
A.EP∥BD
B. EP∥面SBD
C. EP⊥AC
D. EP与SD异面
参考答案：
A
2. 已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是
A．B． C．D．
参考答案：
B
略
3. 已知且恒成立，则k的最大值是（）
A、 4
B、8
C、
9 D、25
参考答案：
C
略
4. 抛物线y=x2上到直线2x—y=4距离最近的点的坐标是（）
A B (1，
1) C D (2，4)
参考答案：
B
5. 图中所示的是一个算法的流程图，已知，输出的,则的值是( ) A．10 B.11 C.12 D.13
参考答案：
B
略
6. 如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=，AC=BD=，且OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（）
A．直线OB∥平面ACD
B．球面经过点A、B、C、D四点的球的直径是
C．直线AD与OB所成角是45°
D．二面角A﹣OC﹣D等于30°
参考答案：
B
【考点】组合几何体的面积、体积问题．
【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：对于A，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故A错对于B，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为=，故B对
对于C由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，tan∠DAE=，则
∠DAE=60°，故C错误；
对于D，因为AO⊥OC，DC⊥OC，所以异面直线CD与OA所成的角大小为二面角A﹣OC﹣D 的二面角大小，连接OE，则∠AOE为所求，tan∠AOE=，所以∠AOE=60°；D错误．
故选B．
7. 设f（x）=x2（2﹣x），则f（x）的单调增区间是（）
A．x∈（0，）B．x∈（，+∞）C．x∈（﹣∞，0）D．x∈（﹣∞，0）∪（，+∞）参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求出函数的导函数，令导函数大于0，解不等式求出即可．
【解答】解：f（x）=x2（2﹣x），
∴f′（x）=x（4﹣3x），
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，
故选：A．
8. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，过F1的
直线l交椭圆C于A、B两点.若周长是，则该椭圆方程是( )
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
由已知可得，由于过的直线交椭圆于、两点.周长是，即，由此可求出椭圆的标准方程。

【详解】、分别为椭圆的左、右焦点，，
又过的直线交椭圆于、两点.
周长为，
由椭圆的定义可知：，，
，解得; ,
,
椭圆的标准方程为，
故答案选A。

【点睛】本题主要考查椭圆定义的应用以及简单的性质，属于基础题。

9. 等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）
A．8 B．10 C．12 D．14
参考答案：
C
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6
【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，
解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，
∴a6=a1+5d=2+5×2=12，
故选：C．
10. “”是“方程的曲线是椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条
件D．既不充分又不必要条件
参考答案：
B
方程的曲线是椭圆，故应该满足条件：
故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程．
参考答案：
略
12. 命题：，，则命题的否定
：
参考答案：
，
略
13. 在等差数列{a n}中，若a10=0，则有a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9=1，则有．
参考答案：
【考点】类比推理．
【分析】根据类比的方法，和类比积，加类比乘，由此类比即可得出结论．
【解答】解：在等差数列{a n}中，若a10=0，有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19﹣n（n＜19，
n∈N*）成立，
∴在等比数列{b n}中，若b9=1，则有等式
．
故答案为：．
14. 若直线与抛物线相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则.
参考答案：
2
15. （a+x）5展开式中x2的系数为80，则实数a的值为．
参考答案：
2
【考点】二项式系数的性质．
【分析】直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是80，得到方程，求出a的值
【解答】解：二项展开式的通项T r+1=C5r a5﹣r x r，
令5﹣r=3可得r=2
∴a3C52=80
∴a=2
故答案为：2
16. 如图，已知正方体的棱长为，
长度为的线段MN的一个端点在上运动，另一端点
在底面上运动，则的中点的轨迹(曲面)与
共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为______
参考答案：
略
17. 正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如右图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是__________．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；
参考答案：
19. 甲、乙两个袋子中，各放有大小、形状和个数相同的小球若干．每个袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n个．从一个袋子中任取两个球，取到的标
号都是2的概率是．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）从甲袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1的条件下，求另一个标号也是1的概率．
参考答案：
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式列出方程，能求出n．
（Ⅱ）从甲袋中任取两个球，设“其中一个球的标号是1”为事件A，“另一个球的标号也是1”为事件B，先求出P（A，再求出P（AB），由此利用条件概率计算公式能求出已知其中一个的标号是1的条件下，另一个标号也是1的概率．
【解答】解：（Ⅰ）∵袋子中标号为0的小球为1个，标号为1的2个，标号为2的n 个．
从中任取两个球，取到的标号都是2的概率是．
∴=，解得n=2．
（Ⅱ）从甲袋中任取两个球，设“其中一个球的标号是1”为事件A，“另一个球的标号也是1”为事件B，
P（A）==，
P（AB）==，
∴已知其中一个的标号是1的条件下，另一个标号也是1的概率：
P（B|A）===．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率的计算公式的合理运用．
20. 已知函数．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（5分）
（Ⅱ）求的单调区间．（7分）
参考答案：
（I）当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，f′(x)＝－1＋2x. ………（2分）
由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，…………………………………………………（4分）
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln 2－3＝0. …………………………………………………………（5分）（II）f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．……………………………（6分）
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)．……………（7分）
当0<k<1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝>0.
所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；在区间(0，)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，单调递减区间是(0，)（9分）
当k＝1时，f′(x)＝.故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)…………（10分）
当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；在区间(，0)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，单调递减区间是(，0)（12分）21. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上的点和椭圆的左、右焦
点F1、F2为顶点的三角形的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若圆O是以F1、F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与圆O相切，并与椭圆C交于不同
的两点A，B，若?=﹣，求m2+k2的值．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可知：由椭圆的离心率e==，则a=2c，三角形周长
l=2a+2c=6，即可求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）由直线l与圆O相切，得=1，即m2=1+k2，将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，及向量数量积的坐标运算，x1?x2+y1y2=，代入即可求得=﹣，即可求得m2，k2的值，即可求得m2+k2的值．
【解答】解：（I）由椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由椭圆的离心率
e==，
则a=2c…
又三角形周长l=2a+2c=6，解得：a=2，c=1，
由b2=a2﹣c2=4﹣1=3，…
∴椭圆的方程为：；…
（II）由直线l与圆O相切，得=1，即m2=1+k2，…
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，…
由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，
∴x1+x2=﹣，x1?x2=…
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
=k2?+km（﹣）+m2，
=，…
x1?x2+y1y2=+=，…
因为m2=1+k2，
∴x1?x2+y1y2=，…
又因为?=x1?x2+y1y2=﹣，
∴=﹣，解得：k2=，…
m2=1+k2=，
m2+k2=2，
∴m2+k2的值2．…
22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线相交于A、B两点. （1）求证：“如果直线l过点，那么”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由. 参考答案：
证明：（1）设过点的直线交抛物线于点，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，
直线与抛物线相交于点、，∴
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中
由得，则
又∵，，∴
综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题. （2）逆命题是：设直线交抛物线于、两点，
如果，那么直线过点，
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点，.此时
直线的方程为，而不在直线上.。