江苏省沭阳县18学年高二数学上学期第二次月考试题(实验班)

2017-2018学年度第一学期第二次阶段测试
高二数学试题
一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．．．．．．．．．． 1.命题“x ∀∈R ，210x +>”的否定是． 2.复数2i
z i
+=
（i 为虚数单位）的虚部为 3．某课题组进行城市空气质量监测，按地域将24个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为4、12、8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为. 4．若一组样本数据8,,10,11,9x 的平均数为10，则该组样本数据的方差为
5.已知命题，“p ⌝为真”是“
为假”的条件（从“充要”，“充分不必要”，“必
要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）
6．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为． 7. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数,,a b c 中至多 有2个偶数”的正确假设为“假设自然数,,a b c 中”． 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
19x y m
-
=的一 个焦点为（5，0），则实数m =．
9.在区间[]
1,5内随机取一个数m ，则方程222
41m x y += 表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是 10．抛物线2
(0)y ax a =>上的点03,2P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
到焦点F 的 距离为2，则a =__________
11．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男
同学的概率是．
12．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2， ，
420，则抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是．
13．已知函数x x f 2)(=，x x g 8
1
)(=
，若1)(1=x ϕ，对*N n ∈∀，
⎩⎨
⎧≥<=+)1)(( ))(()1)(( ))(()(1x x g x x f x n n n n n ϕϕϕϕϕ，
，
，则=)(2017x ϕ。

14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<=)
(,3)
0(|,ln |)(333e x x e e x x x f ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，
则
2
3)
(x x f 的最大值为。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）在长方体1111ABCD A BC D -中，12,1,1AB BC AA ===
（1）求直线11AD B D 与所成角；
（2）求直线111AD B BDD 与平面所成角的正弦值.
16. （本小题满分14分）已知函数()cos x
f x e x =，其中e 为自然对数的底数. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()y f x =在区间[0,]2
π
上的最值以及此时x 的值.
17.（本小题满分14分）某同学参加高二学业水平测试的4门必修科目考试，已知该同学每
门学科考试成绩达到“A ”等级的概率均为
2
3
，且每门考试成绩的结果互不影响． （1）求该同学至少得到两个“A ”的概率；
（2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到“A ”，则高考成绩加1分，如果4门学科均达到“A ”，则高考成绩额外再加1分．现用随机变量Y 表示该同学学业水平测试的总加分，求Y 的概率分布列和数学期望．
18.（本小题满分16分）已知1F 、2F 为椭圆
C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点，点31,
2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
为椭圆上一点，且124PF PF +=． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若圆O 是以12F F 为直径的圆，直线l ：y kx m =-与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的
两点A 、B ，且3
2
OA OB ⋅=- ，求k 的值．
19．（本题满分16分）已知函数ax x x f +-=3
)(在(1,0)-上是增函数. ⑴求实数a 的取值集合A ；
⑵当a 为A 中最小值时，定义数列{}n a 满足：1(1,0)a ∈-，且)(21n n a f a =+， 用数学归纳法证明(1,0)n a ∈-，并判断1n a +与n a 的大小.
20.（本小题满分16分）已知函数()2
1ln 2
f x x ax =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．
参考答案
1.【答案】x ∃∈R ，210x +≤
2. 2- 3．【答案】3 4．【答案】2 5.充分不必要条件 6．【答案】1
6
7.三个数都是偶数 8． 16 9.
34 10． 2 11．【答案】
9
10
12．【答案】6 13． =)(2017x ϕ。

1 14． e
1
15.【解析】
试题分析：以D 为原点建系 ..... 1分
（1）11cos ,0AD B D =
3分
直线11AD B D 与所成角为90°7分
（2）11(2,1,0)B BDD n =-
平面的法向量为 10分
1sin |cos ,|n AD θ==
分 16.解：（1）()e cos e sin x x f x x x '=-, ∴斜率(0)1k f '==
∵(0)1f =，∴切点坐标为(0,1)，切线方程为1y x =+................6分 （2）()e cos e sin x x f x x x '=-,
令()0f x '=，即e cos e sin =0x x x x -，]2π,0[∈x ，得π4
x =；
列表如下：
...........10分
∴当4
x π
=时,4max ()()e 4f x f ππ==
；...........12分 当2
x π=时,min ()()02f x f π
==............14分
17.
试题解析：（1）设4门考试成绩得到“A”的次数为X,依题意,随机变量X~B （4,2
3
）,则 P （X ≥2）=1－P （X=0）－P （X=1）=1－0
4
1
3
014
42121C C 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭=89
,
故该同学至少得到两个“A”的概率为8
9
. ...........6分
（2）随机变量Y 的可能值为0,1,2,3,5,则 P （Y=0）=0
4
04
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=181, P （Y=1）=1
3
1421C 33⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
=881, P （Y=2）=2
2
24
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=827, P （Y=3）=3
1
3421C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
3281
, P （Y=5）=4
44
21C 33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1681
............11分 随机变量Y 的概率分布如下表所示：
从而E （Y ）=0⨯181+1⨯881+2⨯827+3⨯3281
+5⨯1681=23281...........14分 18．
试题解析：（1）由题意得：22
191,{ 424,
a b
a +==解得2,{ a
b == 则椭圆方程为22
143
x y +=．...........6分 （2）由直线l 与圆O 相切，得11||2
=+k m ，化简得221m k =+，...........8分
设()11,A x y ，()22,B x y ，
由22
1,
{ 43
,
x y y kx m +==+消去y ，整理得()2223484120k x kmx m +++-=，...........10分 ()()()()
2
222844123416960km m k k ∆=--⋅+=+>恒成立， 所以122834km
x x k +=-+，2122
41234m x x k
-=+，
()()22
12122
31234m k y y kx m kx m k -=++=+，
∵2
2
1m k =+，212122
553
342
k x x y y k --+==-+，...........14分
解得k =...........16分 19．
解析：⑴'2()30f x x a =-+≥ 即23a x ≥在(1,0)x ∈-恒成立，
[3,)A ∴=+∞；...........4分
⑵用数学归纳法证明：(1,0)n a ∈-． （ⅰ）1=n 时，由题设1(1,0)a ∈-；
（ⅱ）假设k n =时，(1,0)k a ∈-；...........6分 则当1+=k n 时，)3(2
1)(213
1k k k k a a a f a +-==
+， 由⑴知：x x x f 3)(3
+-=在(1,0)-上是增函数，又(1,0)k a ∈-， 所以
331111
((1)3(1))1()(3)0222
k k k k a f a a a +--+⨯-=-<==-+<， 综合（ⅰ）（ⅱ）得：对任意*
N n ∈，
(1,0)n a ∈-，...........12分
3
111(3)(1)(1)22
n n n n n n n n a a a a a a a a +-=
-+-=--+，因为(1,0)n a ∈-， 所以10n n a a +-<，即1n n a a +<．...........16分 20．
试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．
由题意得()2
11'ax f x ax x x
-=-=，
当0a ≤时，()'0f x >，则()f x 在区间()0,+∞内单调递增；...........2分
当0a >时，由()'0f x =
，得x =
x =，
当0x <<
()'0f x >，()f x 单调递增，
当x >
()'0f x <，()f x 单调递减．...........6分 所以当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；
当0a >时，()f x
的单调递增区间为⎛ ⎝
，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭
． ...........7分 （2）由()2
1ln 112
x ax a x -
≤--， 得()()
2
2ln 12x x a x x ++≤+，
因为0x >，所以原命题等价于()2
2ln 12x x a x x
++≥
+在区间()0,+∞内恒成立．
令()()22ln 12x x g x x x
++=
+，
则()()()
()
2
2
212ln '2x x x g x x
x
-++=
+，...........10分
令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()112ln2011022h h ⎛⎫
=-+=
⎪⎝⎭
，， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，使得()0002ln 0h x x x =+=， 且当00x x <<时，()'0g x >，()g x 单调递增， 当0x x >时，()'0g x <，()g x 单调递减， 所以当
x x =时，
()g x 有极大值，也为最大值，且
()()002max 00
2ln 12x x g x x x ++=
+()00022x x x +=
+0
1
x =，...........14分
所以0
1a x ≥
， 又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0
1
1,2x ∈, 所以2a ≥， 因为a Z ∈，
故整数a 的最小值为2．...........16分 .。