CHAPTER 9 OBLIQUE SHOCK AND EXPANSION WAVES2 空气动力学英文课件

Mn,1 M1sin
(9.13)
Mn2,21 Mn2,1 1(/ 21M )/n22,1
(9.14)
注意！Mn,2是斜激波 后的法向马赫数．
2 ( 1)Mn2,1 1 2( 1)Mn2,1
(9.15)
p2 p1
121(Mn2,11)
(9.16)
T2 p2 1 T1 p1 2
(9.17)
方程(9.14)-(9.17)表明对于量热完全气体,斜激波的特性只依赖于
上游马赫数的垂直分量Mn,1 ,但是,由(9.13)知，Mn,1即依赖于M1又 依赖于 β.
Mn,2是斜激波后的法向马赫数，所以有：
M2
Mn,2
sin( )
(9.18)
方程(9.18)引入了偏转角θ进入斜激波分析，为计算我们M2我们 必须知道θ。然而， θ不是一个独立的自变量即第三个参数，而 是M1和β的函数。下面推导θ与M1和β的函数。
3. 如果θ=0，那么β=900或β= μ（马赫角）。 β=900的情况对应
正激波（即我们第八章讨论的问题属于强激波解）。β= μ对应 图9.3b所示的马赫波。对于这两种情况，通过波流线不发生偏 转。
4. 我们考虑这样的实验，超音速流流过半顶角为θ的尖楔，入图 9.10所示。现在，我们增加来流马赫数M1。随着M1的增加，我们 观察到β角减少，但激波是增强的，这是因为随着M1的增加， Mn,1是增大的。相反，降低来流马赫数M1，激波角β增大，激波
p0,2p p 0 0 ,,1 2p p 0 1 ,1p 10 .89(7.5 82 2 )1 (a 4t) m 7.0a 0t T 0,2T 0,1T T 0 1 ,1T 11.8(28 K )8 51 .4K 8
注意: 附表B中的p0,2/p1不能用于本题p0,2的计算.
例9.2 考虑一激波角为30度的斜激波.上游马赫数为2.4.计算通 过斜激波的气流偏转角θ, 压强比p2/p1,温度比T2/T1以及波后马 赫数M2. 解: 由图9.7可查知, 对于M1=2.4, β=30o, 有θ=6.5o.
some finite distances from the body, the disturbance waves pile up and
coalesce, forming a standing wave in front of the body. 在另一方面,如图9.2b所示，如果上游是超音速的,扰动不能一直向上 游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并接合，形成一静止波。
Hence, the physical generation of waves in a supersonic flow—both shock and expansion waves—is due to the propagation of information via molecular collisions and due to the fact that such propagation cannot work its way into certain regions of the supersonic flow.
M2
Mn,2
sin( )
0.6684 sin(53.4 20)
1.21
p2
p2 p1
p1
2.82(1atm) 2.82atm
T2
T2 T1
T1
1.388(288K )
399.7K
p0,2
p0,2 p0,1
p0,1 p1
p1
T0,2
T0,1
T0,1 T1
T1
对于M1=2, 由附表A可知, p0,1/p0,2=7.824, T0,1/T1=1.8, 因此:
所以 有:
M1sMinn,1 s1i.6n3450 2.86
注意:本例再一次说明了斜激波是由两个物理特性唯 一确定.
例9.4 考虑一来流马赫数为3的流动.我们希望将这个流动减速 为亚音速流动.考虑两种不同的方法:(1) 直接通过一道正激波 减速;(2)首先通过一个激波角为400的斜激波,然后再通过一个 正激波.这两种情况在图9.2中表示出来.计算这两种情况的最终 总压比.即计算第二种情况激波后的总压与第一种情况激波后 的总压比 .讨论此结果的意义.
2. 2. 仅需要两个物理特性给定, 就可唯一确定给定斜激波的 特性.
3.
例9.1给定了M1和θ, 例9.2给定了M1和β.
例9.3 考虑一激波角为35o的斜激波, 波前波后的压力比 p2/p1=3. 计算激波上游马赫数M1. 解: 由附表B可查得,对应 p2/p1=3, Mn,1=1.64(近似)
M2, 压强p2,温度T2, 由图9.7可查知:β=53.4o.
因此有Mn,1=M1sinβ=2sin53.4o=1.606. 查附表B,得:
Mn,2 0.6684
p2 2.82 T2 1.388 p0,2 0.8952
p1
T1
p0,1
θmax=45.50.
2.对于给定的任意一个小于θmax的θ值,对应每一个给定的波 前马赫数M1,存在两个直线斜激波解.较小的β对应的解称为 弱激波解,较大的β对应的解称为强激波解. “弱”与“强”的 分类是根据以下事实确定的：当给定M1时， β越大则Mn,1 越大，因此压强比p2/p1越大。因此，在图9.9中，较大的激 波角对应的斜激波比较小的激波角对应的斜激波对气流的
tan u1
w1
(9.19)
tan( ) u2
w2
(9.20)
tan()u2 1 tan u1 2
(9.21)
tatan n ()2 ((1 )1 M )M 12s12si2n i2n (9.22)
tan2cotM 12M (12 sci2n o 2 s)12 (9.23)
方程(9.23) 被称为θ-β-M 关系式，它限定了θ 为M1和β
因此,超音速流中激波和膨胀波产生的物理原因是: 通 过分子碰撞引起的信息传播和这种传播不能到达超音 速流中某些区域.
• Why are most waves oblique rather than normal to the upstream flow? 为什么大部分激波与来流成斜角而不是垂直的呢?
3、 θ=00，对应β=900 和 β=μ。 4、对于相同的θ，波前马赫数M1越大，激波角β越小，Mn1越
大，所以激波越强。
5、对于相同的波前马赫数M1 ，θ越大，激波角β越大，Mn1越
大，所以激波越强。
例9.1 考虑一超音速来流, 来流马赫数 M1=2, p1=1atm,T1=288K. 流动通过一个20o的拐角压缩. 计算形成的斜激波之后的马赫数
变弱。如果M1降低到一定程度，激波将会脱体。对于θ=200，
M1<1.84时激波将会脱体。
5. 考虑另外一个实验。让我们保持M1不变而增大偏转角θ。如图
9.11所示。随着θ的增大，激波角β增大，Mn,1是增大的，激波将
会变强。但是，一旦θ角超过θmax,激波会变成脱体激波。对于图 9.11中M1=2.0的情况， θ>230时就会出现脱体激波。
因此 Mn,1=M1sinβ=2.4sin30o=1.2 查附表B,可得:
p2 1.513 p1
T2 1.128 T1
Mn,2
0.8422
因此M ：2 sinM(n,2)
0.8422 sin3(06.5)
2.11
本例说明了如下两点:
1. 这是一个相当弱的激波,通过激波压强只有51%的增加量.仔 细观察图9.7我们会发现,在这种情况下激波非常靠近马赫波, 马赫角μ=arcsin(1/M)=24.6o, 激波角30o比马赫角24.6o大不了 多少,偏转角θ=6.5o,也是小量,与弱激波的特征相符.
如果扰动比一个简单声波强,其引起的波前就会比马赫波强,产生一 个与来流夹角为 β的斜激波,且β>μ。这一比较在图9.4中给出。然而， 斜激波产生的物理机理与上面描述的马赫波的产生完全相同。
９.2 OBLIQUE SHOCK RELATIONS (斜激波关系式）
以上图虚线包围区域为控制体，应用连续方程：
小结：
1、对于一个给定的波前马赫数，存在一个θmax. θ <θmax存在 贴体直线斜激波； θ >θmax出现弯的脱体激波。
limmax45.50
M1
2、对应一个θ值（ <θmax），存在两个β值。不同M1对应的
θmax组成的连线上部分对应强解，下部分对应弱解。另外一 条稍低于θmax连线的曲线为M2=1的连线，上部分对应波后为 亚音速流情况，下部分对应波后为超音速流情况。
解: 对第一种情况, M1=3, 由附表B可得:
p0,2 p0,1
case1
0.3283
对于第二种情况, 我们有Mn,1=M1sinβ=3sin40o=1.93.由附表B 可得:
1u12u2
w1 w2
(9.2) (9.５)
通过斜激波流动的切向 速度分量保持不变．
p 11u 1 2p22u2 2 (9.7)
h1
u12 2
h2
u22 2
(9.12)
通过斜激波的流动特性变化只由垂直 于斜激波的速度分量决定．
方程(9.2)、(9.7)、(9.12)与正激波控制方程(8.2)、(8.6)、(8.10)完全 相同，我们只要将正激波关系式中所有的M1用Mn,1代替，就可以得 到通过斜激波的流动特性变化量：
马赫波
马赫角
sinata 1
Vt V M
sin1 1
(9.1)
M
If the disturbances are stronger than a simple sound wave, then the wave front becomes stronger than a Mach wave, creating an oblique shock wave at an angle to the freestream, where β>μ. This comparison is shown in Fig. 9.4 . However, the physical mechanism creating an oblique shock is is essentially the same as that described above for the Mach wave.
压缩作用大。在实际情况中，通常出现的是弱解情况。
图9.7中连接所有θmax而连成的线 （这一曲线近乎水平地扫过图 9.7的中间）将弱激波解和强激波解分开。这一曲线的上边，对 应强激波解（图9.7中用虚线表示）；这一曲线的下边，对应弱 激波解（图9.7中用实线表示）。靠近这条曲线下面有另一条曲 线也近似水平地扫过图9.7，这条曲线将其上、下两部分分成 M2<1和M2>1两部分。对于强激波解，激波下游马赫数始终小 于1，流动是亚音速的；对于弱激波解，当θ非常靠近θmax时， 下游是亚音速的，但很少出现这种情况，对于绝大多数弱解情 况，激波下游仍然是超音速的。因为弱激波解几乎对应自然界 中发生的绝大多数情况，我们可以认为，直线贴体斜激波的下 游几乎是超音速的。
的唯一函数。这是分析斜激波特性的最重要的关系式， 其结果在图9.7中给出（γ=1.4）。
图9.7 给出的是以波前马赫数为参数，激波角β随偏转角θ的变化曲 线，这个图非常重要，我们要用它来求解和分析斜激波特性。
图9.7说明了许多与斜激波 相关的物理现象.例如: 1. 对于一个给定的上游马赫 数M1,存在一个最大偏转角 θmax,如果物体几何形状的θ >θmax, 那么就不存在直的斜 激波; 相反, 对应这种情况激 波会在凹角处或物体的头部 脱体, 形成脱体弓形激波.图 9.8说明了这种情况.观察图 9.7我们发现, θmax的值随M1 的增大而增大.当M1趋于无 穷大时, θmax存在一极限值, 对于γ=1.4的量热完全气体,
斜波产生的根源
斜激波关系式
流过尖楔与圆锥 的超音速流
普朗特—梅耶膨 胀波
激波干扰与反射
脱体激波 激波-膨胀波理论及其在 超音速翼型中的应用
图9.5 第九章路线图
On the other hand, if the upstream flow is supersonic, as shown in
Fig.9.2b, the disturbances cannot work their way upstream; rather, at