高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》全集汇编附解析

新数学《不等式》期末复习知识要点
一、选择题
1．已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥≥⎩
，表示的平面区域为D ，若“(,),2x y x y a ∃+>”为假命题，则实
数a 的取值范围是（ ） A ．[5,)+∞ B ．[2,)+∞
C ．[1,)+∞
D ．[0,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，由恒等式的思想可得实数
a 的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令2Z x y =+得2y x Z =-+，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程10770
x y x y -+=⎧⎨--=⎩得点47,33A ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以2Z x y =+的最大值为5，
因为“(,),2x y R x y a ∃∈+>”为假命题，所以“(,),2x y x y a ∀+≤”为真命题，所以实数a
的取值范围是5a ≤， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
2．若直线过点
，则
的最小值等于（ ）
A ．5
B ．
C ．6
D ．
【答案】C 【解析】∵直线
过点
，∴
，∴
，
∵，∴，
，
，
当且仅当
时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．若33
log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ）
A ．6
B ．83
C ．
163
D ．
173
【答案】C 【解析】 【分析】
由33
log (2)1log
a b ab +=+21
3b a
+=，且0,0a b >>，又由
12142(42)3a b a b b a ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案.
【详解】
因为33
log (2)1log
a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=，
所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21
3b a
+=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333
a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a
=，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题.
4．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n
x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60
B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心
率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
22
m n m n
+-=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
6．已知α，β均为锐角，且满足()
sin 2cos sin αβαβ
-=，则αβ-的最大值为（ ）
A ．
12
π
B ．
6
π C ．
4
π D ．
3
π 【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角差的正弦公式，将已知等式化简得到tan 3tan αβ=，由α，β均为锐角，则
,22
ππαβ⎛⎫
-∈- ⎪⎝
⎭
，要求出αβ-的最大值，只需求出tan()αβ-的最大值，利用两角差
的正切公式，将tan()αβ-表示为tan β的关系式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】
由
()
sin 2cos sin αβαβ
-=整理得()sin 2cos sin αβαβ-=， 即sin cos cos sin 2cos sin αβαβαβ-=，
化简得sin cos 3cos sin αβαβ=，则tan 3tan αβ=， 所以
()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan αββ
αβαββ
ββ
--=
==
+++，
又因为β为锐角，所以tan 0β>，
根据基本不等式
2
1
3tan tan ββ
≤
=
+
当且仅当tan β=
时等号成立， 因为,22
ππαβ⎛⎫-∈- ⎪⎝
⎭
，且函数tan y x =在区间,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭上单调递增， 则αβ-的最大值为6
π
. 故选:B . 【点睛】
本题考查两角差最值，转化为求三角函数最值是解题的关键，注意应用三角恒等变换、基本不等式求最值，考查计算求解能力，属于中档题.
7．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
8．若,x y 满足4,20,24,
x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩
则4
y
x -的最大值为（ ）
A ．72
-
B ．52
-
C ．32
-
D ．1-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可. 【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y x
-表示该平面区域中的点(),x y 与(0,4)A 确定直线的斜率 由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB 上任意一点时，取得最大值.
不妨取84(,)33
B 时，4y x -取最大值
44
3183
-=- 故选：D
【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则
的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
10．在锐角ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222cos 3a ab C b +=，则tan 6
tan tan tan A B C A
+⋅的最小值为（ ）
A ．
3
B ．
2
C ．
2
D ．
32
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦定理得到4cos c b A =，再根据正弦定理得到sin cos 3sin cos A B B A =，故
tan 3tan A B =，
3t 53tan 4an 6
ta 3ta tan tan n n B A B C A
B ⎛⎫=
+ ⎪⎝+⎭
⋅，计算得到答案. 【详解】
由余弦定理及222cos 3a ab C b +=可得222223a a b c b ++-=，
即22222a b b c -=+，得22222cos a b a bc A -=+，整理得22 2cos a b bc A =+.
2222cos a b c bc A =+-Q ，2222cos 2cos b bc A b c bc A ∴+=+-，得4cos c b A =.
由正弦定理得sin 4sin cos C B A =，又()sin sin C A B =+，()sin 4sin cos A B B A ∴+=， 整理得sin cos 3sin cos A B B A =.
易知在锐角三角形ABC 中cos 0A ≠， cos 0B ≠，tan 3tan A B ∴=， 且tan 0B >.
πA B C ++=Q ， ()tan tan C A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=-
-⋅24tan 3tan 1
B
B =-，
tan 6
tan tan tan A B C A ∴+⋅()233tan 124tan tan B B B -=+353tan 43tan B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭34≥⨯
当且仅当tan B 时等号成立. 故选：B . 【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角恒等变换，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简
135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答
案； 【详解】 当2m n +=时，
Q
131111212
n m n m n ++=++++++ 35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ） A ．11,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+…，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-…，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-…，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
14．已知变量,x y 满足约束条件121x y x +⎧⎨-⎩
剟
…，则x y y +的取值范围是( )
A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．11,3
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
D ．3,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式121
x y x +⎧⎨
-⎩剟…表示的平面区域，整理得：
x y y +1x y =+，利用y
x 表示点(),x y 与原点的连线斜率，即可求得1
13
x y -<-…，问题得解． 【详解】
将题中可行域表示如下图，
整理得：
x y y +1x y =+ 易知y k x
=表示点(),x y 与原点的连线斜率， 当点(),x y 在()1.3A -处时，y k x =
取得最小值-3. 且斜率k 小于直线1x y +=的斜率-1，
故31k -≤<-，则113x y -<
-…， 故203
x y y +<…. 故选B
【点睛】
本题主要考查了利用线性规划知识求分式型目标函数的取值范围，考查转化能力，属于中档题．
15．已知函数1()cos 2(2)sin 2
f x m x m x =+-，其中12m ≤≤，若函数()f x 的最大值记为()
g m ，则()g m 的最小值为（ ）
A ．14-
B ．1
C ．3-
D 31
【答案】D
【解析】
【分析】
2()sin (2)sin 2m f x m x m x =-+-+
，令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，结合12m ≤≤可得()2211
22(2)31144t m m m g m y m m m
=-+-===+-，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】
由已知，221()(12sin )(2)sin sin (2)sin 22
m f x m x m x m x m x =-+-=-+-+， 令sin [1,1]x t =∈-，则2(2)2m y mt m t =-+-+
，因为12m ≤≤， 所以对称轴为2111[0,]222
m t m m -==-∈，所以 (
)2211
22(2)3111144t m m m g m y m m m =-+-===+-≥=，当且仅当
3
m =时，等号成立. 故选：D
【点睛】
本题考查换元法求正弦型函数的最值问题，涉及到二次函数的最值、基本不等式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A ．169π
B ．89π
C ．1627π
D ．827
π 【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323
r x -=， 332
x r ∴=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2
V r r r r π=-<<， 则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …． 当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为
169
π， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
17．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322
():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是
( )
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④ 【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3
222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④.
【详解】
()2
223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭， 解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；
将224x y +=和()3222216x y x y +=联立，解得222x y ==，
即圆224x y +=与曲线C
相切于点
，(
，(
，， 则①和③都错误；由0xy <，得④正确.
故选：B.
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
18．已知正数x ，y 满足
144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9
B ．6
C ．94
D ．52
【答案】C
【解析】
【分析】 先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解. 【详解】
Q 正数x ，y 满足144x y
+=，
1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
19．设集合{}20,201x M x
N x x x x ⎧⎫=≤=-<⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂为（ ） A ．{}01x x ≤<
B ．{}01x x <<
C ．{}02x x ≤<
D ．{}
02x x << 【答案】B
【解析】
【分析】 根据分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合
{01},{|02}M x x N x x =≤<=<<，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】 由题意，集合{}
20{01},20{|02}1x M x x x N x x x x x x ⎧⎫=≤=≤<=-<=<<⎨⎬-⎩⎭， 所以{}
01M N x x ⋂=<<.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中结合分式不等式和一元二次不等式的解法，准确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了计算能力.
20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞
B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞ 【答案】C
【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x ≤+
对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x
+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。