自动控制理论第二章分解PPT课件

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t2
2
L t22Ltdt
1 s
t
dt
1 s2
1 s
t2 2
1 s3
15
t0
2020/11/3
拉普拉斯变换
（4）实位移定理 Lf(t0) e τ0sF (s)
证明： 左0f(t0)etsdt
令 t 0
f( )es(0)d e0s
f()esd 右
0
0
0 t 0
例6 ft1 0t a, 求F(s)
20
n
n 1
n
式中系数an和bn由下式给出
a 2 T / 2 f (t ) cos ntdt , n 0,1,2,
T n
T / 2
b 2 T / 2 f (t )sinntdt , n 1,2,
T n
T / 2
式中 2/T称为角频率
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• 工程上常用傅里叶方法分析线性系统 • 周期函数：傅氏级数 • 非周期函数：傅氏积分变换
例1 已知 F(s) 1 ，求 f(t)? s(s a)
解.
F(s) 1 (sa)-s a s(sa)
1 a
1 s
1 s a
f(t)1 1eat
a
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拉普拉斯变换
用L变换方法解线性常微分方程
a n c (n ) a n 1 c (n 1 ) . .a .1 c a 0 c b m r ( m ) b m 1 r ( m 1 ) . .b 1 .r b 0 r
0 初条件 n>m
L : ( a n s n a n 1 s n 1 . .a . 1 s a 0 ) C ( s ) ( b m s m b m 1 s m 1 . .b 1 . s b 0 ) R ( s )
C (s)b a m n s sm n a b n m 1 1 s sn m 11 ... . .a .b 1 1 ss a b 0 0R (s)
零进初一始步条有件：下有：Lftdt1sFs
L ftdn t s 1 nF s s 1 nf 1 0 sn 1 1f 2 0 1 sf n 0
n 个
例4 求 L[t]=? t 1tdt
解.
LtL1td
t
1 s
1 s
1 s
t
t0
1 s2
例5
解.
求
L
t2 2
y(0)y(0)0
L变换
(s2a1sa2)Y(s)1s
1 Y(s)s(s2 a1sa2)
L-1变换 ytL 1Y(s) 20 2020/11/3
拉普拉斯变换
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f(t)21j
jF(s)etsds
j
（2）查表法（分解部分分式法）
Heaviside展开定理
试凑法 系数比较法 留数法
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拉普拉斯变换
（6）初值定理 f(0 )lim f(t)lis m F (s)
t 0
s
证明：由微分定理 d(ft)estd tsF(s)f(0)
0 dt
lim d(tf)e std tlis m F (s)f(0 )
s 0 dt
s
左 d(ft)lim estd t 0 0 dt s
I. 当 A(s)0无重根时
F (s C 1)C 2 C n n C i
sp 1 sp 2
sp n i 1sp i
其中： Ci sl im pi (spi ).F(s)
B(s) Ci A(s) spi
n
f(t) C 1 ep 1 t C 2 ep 2 t C n ep n t C iep it
23
i 1
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拉普拉斯变换
例2
已知
F(s)
s2
s2 ，求 4s3
f(t)?
解. F(s) s2 C 1 C2 (s1)(s3) s1 s3
s2 12 1 C 1s l i 1(m s1)( s1)(3 s) 132
s2 32 1 C 2s l i3(m s3)( s1)(3 s)3 12
（时域到频域）
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复数及其代数运算
• 两个复数相等，必须且只须它们的实部和 虚部同时相等。
• 一个复数s=0，必须且只须它的实部和虚部 同时等于0.
• 任意两个复数不能比较大小。 • 共轭复数 • 欧拉公式
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拉普拉斯变换（Laplace Transform）
拉普拉斯变换
2 拉氏变换的定义
L [f(t) ]F(s)f(t)estdt 0
F (s)
f
(t)
像 原像
3 常见函数的拉氏变换
1 t 0 （1）阶跃函数 f (t) 0 t 0
L 1t 01esd t t s1est0 s1011 s
（2）指数函数 f (t) eat
L[f(t)] eatesd t t esatdt
1 1 1 1 2j 2j sjsj 2js2 2s2 2
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拉普拉斯变换的积分下限
• 拉氏变换中积分下限为0，但有0的右极限0+和0的 左极限0-之分。
• 对于在t=0处连续或只有第一类间断点的函数，0+ 型和0-型的拉氏变换是相同的，对于t=0处有无穷跳 跃的函数，两种变换的结果并不一致。
• 静态数学模型：静态条件（即变量各阶导数为零） • 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方
程。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状 态方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响 应函数、频率特性等。 • 建立控制系统数学模型的方法： 分析法、实验法
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分析法
分析法是对组成系统各环节的运动机理进行分析，根据 各环节所遵循的物理学定律、化学定律等来列写系统的微分 方程。例如机械系统的牛顿定律、电气系统的基尔霍夫定律 和热力学系统中的热力学定律等。
面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010624拉普拉斯变换面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010625拉普拉斯变换jtjt面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010626拉普拉斯变换面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010627拉普拉斯变换面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010628拉普拉斯变换面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010629拉氏变换小结st2单位阶跃面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010630拉氏变换小结2微分定理l变换重要定理5复位移定理1线性性质3积分定理4实位移定理6初值定理7终值定理面神经麻痹的病理变化早期主要为面神经水肿髓鞘和轴突有不同程度的变性以在茎乳突孔和面神经管内的部分尤为显著202010631作业
C (s)r(t) (t)b a m n ssm n a bm n 1 1ssn m 11 ... . ..a b 00sC 11sC 2 2sC n n
L1 :
c ( t ) L 1 [ C ( s ) C ] 1 e 1 t C 2 e 2 t C n e n t
e
i
: i:t
l s ism F (s ) f(0 ) 0
f(0 ) lt i0m f(t) ls i s m F (s)
ftt
例10
1
F(s) s2
f(0)lim sF(s) lims
s
s
1 s2
0
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拉普拉斯变换
（7）终值定理 lim f(t)lim sF(s) （终值确实存在时）
特征根（极点）
相对于 i 的模2态2
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拉普拉斯变换
用留数法分解部分分式
一般有 设
F (s)B A ( (s s) )b a m n s sm n a b m n 1 1 s sn m 1 1 ... . .a .b 0 0 (n m )
A ( s ) a n s n a n 1 s n 1 . . a 0 . ( s p 1 ) s ( p 2 ) ( s p n )
证明：左 ftestd t estdft e-stf t 0 ftdest
0
0
0
0-f0s ftestdtsF sf0右
0
L f n t s n F s s n 1 f 0 - s n 2 f 0 - s n 2 0 - f n 1 0
0初条件下有： L fn t s n F s
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拉普拉斯变换
例2 求 L(t)?
解. t1t
L δ t L 1 t
s
1 s
1(0)
101
例3 求 L cost)(?
解. cost1snit
Lc
ost 1Lsn it
1
s
s2
2
s2
s
2
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拉普拉斯变换
（3）积分定理 L ftd t1 sF s1 sf-10
本章重点
通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识， 熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念 和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭 环控制系统的传递函数的基本概念和梅森公式的应用。
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建立控制系统数学模型
• 控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量） 之间关系的数学表达式。
0 t a
解. f(t)1 (t)1 (ta)
L f ( t ) L 1 ( t ) 1 ( t a ) 1s
ea
s
1 s
1
e as s
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拉普拉斯变换
（5）复位移定理 L e A tf( t) F (s A )
证明：左 eAtf(t)etsdt f(t)e(sA)tdt
• 在拉氏变换过程中，若不特别指出是0+型或0-型， 均认为是0-型变换。
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拉普拉斯变换
4 拉氏变换的几个重要定理
（1）线性性质 L a f 1 ( t b f 2 ) ( ta F ) 1 ( s b F 2 ( )s)
（2）微分定理 L ft s F s f0
t
s 0
证明：由微分定理 d(ft)estd tsF(s)f(0)
0 dt
lim d(tf)e std tlis m F (s)f(0 )
s 00 dt
s 0
左 df(t)limestdt 0 dt s0
df(t)
0
t
lim df(t) t 0
lim f(t)f(0) 右 lis m F (s ) f(0 )
• 周期为T的任一周期函数 f (t) ,若满足狄里赫莱条件：
1）在一个周期内只有有限个不连续点； 2）在一个周期内只有有限个极大和极小值；
3）积分 T/2 | f存(t在)| d，t T / 2
则 f 可(t)展开傅氏级数。
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傅里叶级数
a a b f(t) 1
(
co nt s sin n t)
F(s) 12 12 s1 s3
f(t)1et 1e3t 22
例3
已知
F(s)
s2 s2
5s5 4s3
，求
f(t)?
解.
(s24s3)(s2) F(s) s24s3
实验法
实验法是根据实际。
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傅里叶变换与拉普拉斯变换
• 傅氏变换和拉氏变换有其内在联系。 • 傅氏变换要求条件较高，拉氏变换易于实现。
傅里叶级数（Fourier） • 周期函数的傅氏级数是由正弦和余弦项组成的三角级数。
第二章 控制系统的数学模型
2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换 2.2 控制系统的运动方程式 2.2 传递函数 2.3 控制系统的方框图及其简化 2.4 信号流图 2.5 脉冲响应
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本章主要内容
本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。 包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方 法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅森公式 的应用等。
t
s 0
例11 F(s)
1
s(sa)(sb)
fls i0m sssa1sba1b
例12
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Fs
s2
ω ω2
fsiω nt t ls im 0 ss2
ω ω2
0
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拉普拉斯变换
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y ( t) a 1 y ( t) a 2 y ( t) 1 ( t)
0
0
令 sAs
f(t)estdt
F(s)
F(sA) 右
0
例7 例8
Leat L 1 teat
Le-3tco 5ts s2
1
s s s 52
1 sa s
ss3
a
s
s3 3 2
52
例9
Le2et c-1πo5s(ss52ts5π32)ssL 2e1eπ52st2coss5(st212π25)52
0
0
s 1 ae ( sa) 0ts 1 a(0 1)s 1a
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拉普拉斯变换
0
t 0
（3）正弦函数 f(t)sinωt t0
Lf( t )sin te sd t t1ejtejt e sd t t
0
02j
1
e-(s-)jte(sj)tdt
0 2j
2 1 j s 1 j e ( sj)t 0s 1 j e ( sj)t 0
1 复数有关概念
（1）复数、复函数
复数 sj
复函数 F(s)Fx(s)Fy(s)
例1 F (s) s 2 2 j
（2）模、相角
模 Fs Fx2Fy2 相角 FsarctaFny
Fx
（3）复数的共轭 F(s)Fx jFy
（4）解析 若F(s)在 s 点的各阶导数都存在，则F(s)在 s 点解析。
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