湖北襄樊五中高三级五月适应性考试数学理

襄樊五中5月适应性考试高三数学（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的. 1．设全集{}{}{}
2,1,0,1,2,2,1,0,0,1,2U A B =--=--=,则
()U C A B
⋂ = ( )
A.
{}0 B.{}2,1-- C.{}1,2 D.{}0,1,2
2．设复数
1234,z i z t i =+=+且12,z z R ⋅∈则实数t 等于（ ）
A. 43
B. 34
C. －43
D. －34
3．在10
21x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式中系数最大的项是（ ） A ．第6项 B ．第6、7项 C ．第4、6项 D ．第5、7项
4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若
01,12
11=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于
（ ）
A ．10
B ．19
C ．20
D ．39
5．已知角α的终边上一点的坐标为
55(sin
,cos ),66ππ则角α的最小正值为 （ ）
A.56π
B. 53π
C. 23π
D. 116π
6．已知m 、n 是不重合的两直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面.给出下面四个命题：①若m ⊥α, m ⊥β则α∥β；②若γ⊥α, γ⊥β则α∥β；③若m ⊆α, n ⊆β,m ∥n 则α∥β；④若m 、n 是异面直线, m ⊆α, m ∥β,n ⊆β,n ∥α则α∥β,其中是真命题的是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ③④
7. 已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当()0,1x ∈时，()21x
f x =-，则2(lo
g 10)f 的值为（ ）
A.3
5
B.85
C.38-
D.53
8．△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=++，则OC AB ⋅u u u r u u u r
的值为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．65-
D ． 6
5
9．已知,,A B P 是双曲线22
221x y a b -=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘
积
2
3
PA PB
k k⋅=
，则该双曲线的离心率为（）
10．若关于x的不等式
2
3
34
4
a x x b
≤-+≤
的解集恰好是
[],a b
，则a b
+的值为（）
A．5 B．4 C．8
3 D．
16
3
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题纸上.
11．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20海里处，随后货轮按照北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东60°处，则货轮的航行速度为___海里/小时。

12．四面体ABCD中，共顶点A
的三条棱两两相互垂直，且其长分别为，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为。

13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相
同)，设第n个图形包含()
f n个小正方形.
则
()
f n的表达式为。

(4)
(3)
(2)
(1)
14．从集合
{}
1,2,3,,10
M=L
选出5个数组成的子集，使得这5个数的任两个数之和都不等于11，则这样
的子集有个。

15
．由约束条件
0,0
2
x y
y x
y kx
≥≥
⎧
⎪
≤-+
⎨
⎪
≤+
⎩确定的可行域D能被半径为1的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是。

三、解答题：本大题共5小题, 共72分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）已知向量
m (1,sin())3ωx π=+，向量n (2,2sin())
6ωx π
=-（其中ω为正常数）. （Ⅰ）若
21,,6
3x ππω⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦，求//m n 时tan x 的值；
（Ⅱ）设()f x =2⋅-m n ，若函数()f x 的图像的相邻两个对称中心的距离为2π
，求()f x 在区间
0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值.
17. 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜
者得3分，负者得0分，没有平局。

在每一场比赛中，甲胜乙的概率为31，甲胜丙的概率为41
，乙胜丙的概率为31；
（Ⅰ）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队得分为ξξ求,的分布列和数学期望.
18．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起，使D 为D '，且平面D AE '⊥平面ABCE
（Ⅰ）求证：AD EB '⊥；
（Ⅱ）求二面角D AC B '--的大小； （Ⅲ）求点C 到面D BE '的距离.
19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且112n n S a +=．
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n
b =31log (1)n S +-，求适合方程1223111125
51n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+=
的n 的值.
（Ⅲ）记
n n a n c ⋅-=)2(，是否存在实数M ，使得对一切M c N n n ≤∈*,恒成立，若存在，请求出
M 的最小值；若不存在，请说明理由。

20．如图，
()()
1,0,1,0A B -，过曲线
()
21:11C y x x =-≥上一点M 的切线l ，与曲线
()()
22:11C y m x x =-<也相切于点N ，记点M 的横坐标为
()
1t t >。

（1）用t 表示切线l 的方程； （2）用t 表示m 的值和点N 的坐标； （3）当实数m 取何值时，MAB NAB ∠=∠？ 并求此时MN 所在直线的方程。

21．已知函数
()241x a
f x x -=
+在区间[],m n 上为增函数，且()()4f m f n =-。

（1）当3a =时，求,m n 的值； （2）当
()()
f n f m -最小时，
①求a 的值； ②若
112212(,),(,)()P x y Q x y a x x n <<<是()f x 图象上的两点，且存在实数0x 使得
21021
()()
'()f x f x f x x x -=
-，证明：21
0x x x <<。

襄樊五中5月适应性考试高三数学（理科）参考答案
一、选择题： CBDCB C A ADA 提示：
9． D 提示：,A B 一定关于原点对称，设
11(,)A x y ，11(,)B x y --，(,)P x y ，
则22112
21x y a b -=，
222
3PA PB b k k a ⋅==
，e == 10．A ；提示：令
()23344f x x x =
-+。

若2a ≥，则,a b 是方程()f x x =的两个实根，解得4
,43a b ==，
矛盾，易错选D ；若2b ≤，则()(),f a b f b a ==，相减得
83a b +=
，代入可得4
3a b ==
，矛盾，
易错选C ；若2a b <<，因为()min 1
f x =，所以1,4a b ==。

二、填空题：
11．
．里/小时；12．π16；13．()2
221
f n n n =-+；14．32个； 15．
1
2k ≤。

三、解答题：
16．解：（Ⅰ）//m n 时，
sin()sin()
63x x ππ
-=+，……………2分 sin cos
cos sin
sin cos
cos sin
6
6
3
3x x x x ππππ-=+
11cos sin 22x x x x
-=+……………4分
x x
=
，所以tan 2x ==+……………6分
（Ⅱ）
()2sin()sin()63f x ωx ωx ππ
=-+2sin()cos ()632ωx ωx πππ⎡⎤=-+-⎢⎥
⎣⎦ )6cos()6sin(2π-π-=x ωx ω)
32sin(π
-=x ω． ………………9分
或()2sin()sin()63f x ωx ωx ππ
=-
+11cos )(sin )22ωx ωx ωx ωx =-+
221
sin cos )2ωx ωx ωx ωx =-+
12sin 2sin(2)23ωx ωx ωx π=+=-………………9分
∵函数()f x 的图像的相邻两个对称中心的距离为2π
∴)(x f 的最小正周期为π，又ω为正常数，
∴π=πω22，解之，得1=ω．故
)
32sin()(π-=x x f ． ………………………11分 因为
0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22333x πππ-≤-≤
． 故当
3x π
=-
时，)(x f
取最小值
14分
17.解：（Ⅰ）设用队获第一且丙队获第二为事件A ，则
1111
()(1);
34318P A =⨯⨯-=………………………………………（6分） （Ⅱ）ξ可能的取值为0，3，6；则
甲两场皆输：
111
(0)(1)(1),
342P ξ==-⨯-= 甲两场只胜一场：
11115
(3)(1)(1)344312P ξ==⨯-+⨯-=
甲两场皆胜：
111 (6)
3
412
Pξ==⨯=
ξ
∴的分布列为
1517
036
212124
Eξ=⨯+⨯+⨯=
…………………………（12分）
18．解：如图所示
（Ⅰ）证明：因为2
AE BE
==，2
AB=，所以222
AB AE BE
=+，即AE EB
⊥，取AE的中点M，连结MD'，则1
AD D E MD AE
''
==⇒⊥，
又平面D AE
'⊥平面ABCE，可得MD'⊥平面ABCE，即得MD'⊥BE，从而EB⊥平面AD E'，故AD EB
'⊥……………………4分（Ⅱ）二面角A BD E
'
--的大小为10……………………8分（Ⅲ）求点C到面D BE
'的距离是0.5. ……………………12分
19.解：（Ⅰ）当1
n=时，11
a S
=
，由
11
1
1
2
S a
+=
，得
1
2
3
a=
．
当2
n≥时，
1
1
2
n n
S a
=-
Q
，
11
1
1
2
n n
S a
--
=-
，∴
11
1
=()
2
n n n n
S S a a
--
--
，
即11()2n n n a a a -=-．∴1
1=3n n a a -．∴{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列． 故
1211
()2()333n n
n a -=⋅=⋅． ………………6分 （Ⅱ）
111()23n n n S a -=
=，n b =13131
log (1)log ()13n n S n ++-==--，………………8分
11111
(1)(2)12n n b b n n n n +==-
++++
1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++………10分 解方程1125
2251n -=
+，得100n =………………12分
（2）解法一：
()13422-n --=
=n n n n a c ，
由
2/5,0341034232211≤≥-=---=
--+n n
n n c c n
n n n n 得 123c c c >>∴，
当
Λ>>><≥+5431,,3c c c c c n n n 即时， 又
92
3=
c
故存在实数M ，使得对一切,
,*恒成立M c N n n ≤∈M 的最小值为2/9。

20．解：（1）切线()()
2:12l y t t x t --=-，即
2
21y tx t =--，…………2分 代入
y =，化简并整理得
()()()2
222244110
m t x t t x t m +-+++-=，（*）
由()()()222222161441t t m t m t ⎡⎤∆=+++-+⎢⎥⎣⎦()22410m m t ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦
得0m =或
()
2
21m t =-。

…………5分
若0m =，代入（*）式得21
12N t x t +=>，与已知1N x <矛盾；…………6分 若()
2
2
1m t =-，代入（*）式得
()2
20,11N t
x t =
∈+满足条件，
且
()
2
2
2
21211N N t y tx t
t -=--=-
+，
综上，()221m t =-，点N 的坐标为
()2222
12,11t t t t ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭。

…………8分 （2）因为
21
11AM
t k t t -==-+，
()
()2
22
2
2111211AN
t t k t t
t --
+=
=--++，…………10分
若MAB NAB ∠=∠，则
AM AN k k =-，即2t =，此时9m =，
故当实数9m =时，MAB NAB ∠=∠。

…………12分 此时
1,1AM AN k k ==-，45MAB NAB ∠=∠=o ，
易得()2,3M ，49,55N ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭，…………14分
此时MN 所在直线的方程为45y x =-。

…………15分
21．解：
()()()
()
()
()
222
2
22412422211x x x a x ax f x x
x +-----'=
=
++。

…………2分
（1）当3a =时，由
()()
()
()()
()
22
2
22223222120
11x x x x f x x x ----+-'=
=
=++，
得
1
2x =-
或2x =，
所以()f x 在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，在1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上为减函数，…………4分
由题意知1
2
2m n -≤<≤，且
()()()1022f f m f n f ⎛⎫
-≤<<≤ ⎪⎝⎭。

因为()14,212f f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以()()()1424
2f m f n f f ⎛⎫
-=≥-=- ⎪⎝⎭，
可知1
,2
2m n =-=。

………………7分
（2）① 因为()()()()
4f n f m f n f m -=+-≥=⎡⎤⎣⎦，
当且仅当
()()2
f n f m =-=时等号成立。

……8分
由
()2421n a f n n -==+，有()2210a n -=-≥，得0a ≤；…………9分 由()2421m a f m m -=
=-+，有()2210a m =+≥，得0a ≥；…………10分
故
()()
f n f m -取得最小值时，0a =，1n =。

…………11分
②此时，
()()
()2
002
20
411x f x x -'=
+，
()()()
122122211241()()11x x f x f x x x x x --=
-++，
由21021()()'()f x f x f x x x -=-知，()()()20
12
222212011111x x x x x x --=+++，…………12分
欲证
2
10x x x <<，先比较
()
2
2
2011x x -+与
()
2
12
2111x x -+的大小。

()
()
()()()2
2
2
112122
2
22
222120
11111111111x x x x x x x x
x x -----
=-+++++
()()()()
21212122221
2
211x x x x x x x x
-+-=
++()()()()
1211222
2212211x x x x x x x x --+⎡⎤⎣⎦
=
++
因为
1201
x x <<<，所以
1201
x x <<，有
()112220
x x x x -+>，
于是()()12112220x x x x x x --+<⎡⎤⎣⎦，即
()()
2
2
122220
1
110
11x x x x ---
<++，…………13分
另一方面，()()
()()
()()
2222222
2
1
010100
1222
222220
1
1
3111111x x x x x x x x x x x x -++----
=
++++， 因为
22
1001
x x <<，所以
2222
101030
x x x x ++->，从而
22
100x x -<，即
10
x x <。

同理可证
2
0x x <，因此
2
10x x x <<。

…………14分。