高等数学微分中值定理教学ppt

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第三章 导数的应用
例
x f(x)0
0x1时 x1时
(1)f(x)在[0,1]上连续
(2)f(x)在(0,1)内可导
(3)f(0)f(1 ).
第一节 微分中值定理
y
0
1x
不 ,使 f() 0 .
例 f(x )x,x [ 1 ,1 ];
y
(1)f(x)在 [1,1]上 连续
(2)f(x)在(1,1)内可导
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第三章 导数的应用
两点说明：
第一节 微分中值定理
1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论 上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；
2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件 均满足，就充分保证结论成立。但如果三个条件不全 满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下 例子：
令f (x)=3x2+8x-7=0 解得 x 4 37 3
则 374(1, 2)就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例2 证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的正实 根．
证明 存在性：令 f(x)= x5-5x+1，则f(x)在[0,1]上连续
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理3.1.1 （罗尔中值定理）设函数y= f(x)在区间 [a,b]上有定义，如果
（1）函数 f (x)在闭区间[a，b]上连续； （2）函数 f (x)在开区间（a，b）内可导； （3）函数 f (x)在区间两端点处的函数值相等，即
f (a)= f (b)；则在（a，b）内至少存在一个点 a< <b， 使得f ()=0 .
的条件，同时想办法接近要证明的结论.
f (b)- f (a)= f ()(b-a)或 f(b)f(a)f()
ba
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
注意到, Rolle定理是Lagrange定理的特殊情况。
证明思想
构造辅助函数法
由于证明这个定理，目前只有Rolle定理可用，因
此想若能构造一个辅助函数 (x) ,使其满足Rolle定理
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在(1,3)上可,导 且 f( 1 ) f(3 ) 0 , f ( x ) 2 ( x 1 )取 , 1 ,(1 ( 1 ,3 ))f()0.
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
定理的证明
因为函数 f(x) 在区间 [a,b] 上连续，函数 f(x) 在闭区 间 [a,b] 上必能取到最大值 M 和最小值 m ,考虑两种可能 的情况：
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 函数的性质 第三节 洛必达法则
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
第一节 微分中值定理
本节主要内容: 一.罗尔中值定理 二.拉格朗日中值定理 三.柯西中值定理
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第三章 导数的应用
一、罗尔中值定理
第一节 微分中值定理
费马（Fermat）引理
函数y=f(x)在N(x0, )有定义， y=f (x0)存在， f(x) f(x0) (f(x) f(x0))
f (x0) 0
定义3.1.1 导数等于零的点称为函数的驻点 （或稳定点、临界点)．
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
引理的直观意义: 可导函 数极值点处的切线平行于 x 轴.
f(0)=1，f(1)=-3，由介值定理：至少存在一点x0∈(0,1), 使f (x0)=0 ， x0即为方程的小于1的正实根.
唯一性：设另有x1∈(0,1), x1 ≠x0,使f (x1)=0 因为f(x)在x1 ，x0之间满足罗尔定理的条件 所以至少存在一点ξ (在x1 ，x0之间),使得f (ξ)=0 但f (x)=5x4-5<0 , x∈(0,1),矛盾,所以为唯一实根.
个在开区间(a,b)内部取得，
不妨设 f (ξ)=M， ξ∈ (a,b).
由条件(2)和费马定理推知 f (ξ)=0.
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
罗尔定理的几何意义：如果连续函数除两个端 点外处处有不垂直于x轴的切线，并且两端点处纵坐
标相等，那么在曲线上至少存在一点 ，在该点处
的切线平行于x 轴(如下图）。
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例3 不求函数f (x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数，说明方 程 f (x)=0有几个实根．
解 函数f(x)在R上可导,所以在区间[1,2],[2,3]上满足 罗尔定理的条件,所以在区间（1,2)（2,3)内分别至少有 一实根；
又 f (x)=0是二次方程,至多有二个实根；
(1) 若 m=M,则 f(x) 在 [a,b] 上恒等于常数 M(或 m),
因而在 (a,b) 内处处有f (x)=0，
因此可取 (a,b) 内任意一点作为 而使得f (ξ)=0成立。
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
(2) 若 m<M，因为 f(a)=f(b)，因此m、M 不可能同时
是两端点的函数值，即最小值 m 和最大值 M至少有一
第一节 微分中值定理
f(x)=x3+4x2-7x-10
在区间[-1,2]上的正确性，并求出．
解 （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续； （2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在； （3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
所以方程f (x)=0 有且仅有两个实根,它们分别落在区 间（1,2) （2,3)内．
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第三章 导数的应用
二、拉格朗日中值定理
第一节 微分中值定理
定理3.1.2 （拉格朗日中值定理） 设函数 y=f(x)满足 （1）在闭区间[a，b]上连续； （2）在开区间（a，b）内可导；
那么在(a，b)内至少存在一点 (a< <b) ，使得
(3)f(1)f(1).
不 ,使 f() 0 .
1 0
1x
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第三章 导数的应用
第一节 微分中值定理
例
f(x )x ,x [0 ,1 ];
(1)f(x)在[0,1]上连续 (2)f(x)在(0,1)内可导 (3)f(0)f(1).
不 ,使 f() 0 .
y 0Biblioteka 1x11第三章 导数的应用
例1 验证罗尔中值定理对函数