第10节-导数的概念与计算

导数的概念与计算
【选题明细表】
一、选择题
1.(2013四川广元二诊)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,则容器中水面的高度h随时间t变化的函数图象可能是( B )
解析:由三视图知容器为锥形漏斗,在向容器中匀速注水过程中,水升高得越来越慢,高度h随时间t的变化率越来越小,表现在切线上就是切线的斜率在减小,故选B.
2.(2013广东惠州模拟)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,],则点P横坐标的取值范围为( A )
(A)[-1,-] (B)[-1,0]
(C)[0,1] (D)[,1]
解析:设P(x0,y0),P点处切线倾斜角为α,
则0≤tan α≤1,
由f(x)=x2+2x+3,
得f′(x)=2x+2,
令0≤2x0+2≤1,
得-1≤x0≤-.
故选A.
3.(2013东北三省三校联考)已知函数f(x)=+1,g(x)=aln x,若在
x=处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行,则实数a的值为( A ) (A)(B)(C)1 (D)4
解析:在x=处两函数图象的切线平行,
即两个函数的导数值相等.
由f′(x)=,g′(x)=,
所以=,
即1=4a,
得a=.
4.函数f(x)=sin2的导数是( D )
(A)f′(x)=2sin(B)f′(x)=4sin
(C)f′(x)=sin(D)f′(x)=2sin
解析:由于f(x)=sin2=
=
-cos,
∴f′(x)=4×sin=
2sin,
故选D.
5.(2013雅安市高三第三次诊断)已知函数f(x)=+xln x,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为( C )
(A)x-y-3=0 (B)x-y+3=0
(C)x+y-3=0 (D)x+y+3=0
解析:f′(x)=-+ln x+1.
∴f′(1)=-1,
∴y=f(x)在x=1处的切线方程为y-2=-1×(x-1).即x+y-3=0,故选C.
6.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( B )
(A)x+y-1=0 (B)x-y-1=0
(C)x+y+1=0 (D)x-y+1=0
解析:∵点(0,-1)不在f(x)=xln x上,
∴设切点为(x0,y0).
又f′(x)=1+ln x,
∴
解得x0=1,y0=0.
∴切点为(1,0),
∴f′(1)=1+ln 1=1.
∴直线l的方程为y=x-1,
即x-y-1=0.
故选B.
7.(2013四川省宜宾中学一诊)设函数f(x)=1-e x的图象与x轴相交于点P,则曲线在点P处的切线方程为( A )
(A)y=-x (B)y=-2x
(C)y=-x (D)y=-x
解析:令f(x)=0,得x=0,∴P(0,0),而f′(x)=-e x,
∴f′(0)=-1,所求的切线方程为y=-x.故选A.
8.(2013河北保定一模)设函数f(x)=|sin x|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α,则α等于( B )
(A)-cos α(B)tan α(C)sin α(D)π
解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,
则直线y=kx与曲线y=-sin x(x∈[π,2π])相切,
设切点为(α,-sin α),
则-sin α=kα且k=-cos α,
所以α=tan α.
故选B.
二、填空题
9.(2013江西南昌模拟)已知函数f(x)=sin x+cos x,
且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则= .
解析:f′(x)=cos x-sin x,
由f′(x)=2f(x)得-cos x=3sin x,
即tan x=-.
=
=
==.
答案:
10.(2013德阳模拟)曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.
解析:如图,所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,
也即切点到直线y=2x的距离.
由y=ln x,
则y′==2,
得x=,y=ln（2×）=0,
即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是
（,0）,y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.
答案:
11.(2013南充模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足
f(x)=2xf′(1)+ln x,则f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程
为.
解析:f′(x)=2f′(1)+,
令x=1得f′(1)=2f′(1)+1,
即f′(1)=-1,
此时f(x)=-2x+ln x,f(1)=-2,
故所求的切线方程为y+2=-(x-1),
即x+y+1=0.
答案:x+y+1=0
12.
定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a、b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.
解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,
由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),
而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得（,5）为所求. 答案:(,5)
13.(2014哈尔滨模拟)等比数列{a n}中,a1=1,a2012=4,函数
f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),则函数f(x)在点(0,0)处的切线方程为.
解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)],
∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012
=(a1·a2012)1006
=41006
=22012.
∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=22012x.
答案:y=22012x
三、解答题
14.求下列函数的导数.
(1)y=(2x2+3)(3x-1);
(2)y=(-2)2;
(3)y=x-sin cos;
(4)y=ln .
解:(1)法一y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′
=4x(3x-1)+3(2x2+3)
=18x2-4x+9.
法二∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,
∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9.
(2)∵y=(-2)2=x-4+4,
∴y′=x′-(4)′+4′=1-4×=1-2.
(3)∵y=x-sin cos=x-sin x,
∴y′=x′-(sin x)′=1-cos x.
(4)y′=[ln(2x-1)-ln(2x+1)]′
=[ln(2x-1)]′-[ln(2x+1)]′
=(2x-1)′-(2x+1)′
=-
=.
15.(2014四川资阳模拟)已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;
(2)切线l的倾斜角α的取值范围.
解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
∴当x=2时,y′=-1,y=,
∴斜率最小的切线过,斜率k=-1,
∴切线方程为x+y-=0.
(2)由(1)得k≥-1,
∴tan α≥-1,
∴α∈∪.
16.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.
解:(1)f′(x)=a-,
于是
解得或
因a,b∈Z,
故f(x)=x+.
(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).
由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为
y-=[1-[(x-x0).
令x=1得y=,
切线与直线x=1交点为(1,).
令y=x
得y=2x0-1,
切线与直线y=x交点为(2x0-1,2x0-1).
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
从而所围三角形的面积为
-1|2x0-1-1|
=|2x0-2|
=2.
所以,所围三角形的面积为定值2.。