福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高一上学期期末教学质量检查数学试题(解析版)

福建省龙岩市一级达标校2018-2019学年高一上学期期末教学质量检查
数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，集合3，，则
A. 2，
B.
C. 1，
D. 3，
【答案】A
【解析】解：1，2，3，4，；
2，．
故选：A．
可解出集合A，然后进行补集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．
2.的值为
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】解：．
故选：D．
直接利用诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
3.下列函数中既是奇函数又是增函数的为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；
对于C，，有，为奇函数，
且其导数，在R上为增函数，符合题意；
对于D，，为奇函数，但在R上为减函数，不符合题意；
故选：C．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
4.函数的最小正周期是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】解：函数的最小正周期是，
故选：B．
由题意利用正切函数的周期性，得出结论．
本题主要考查正切函数的周期性，属于基础题．
5.已知，则
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】解：由，
得，即，
解得：．
故选：D．
利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式化简求解的值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
6.已知在扇形AOB中，弦AB的长为2，则该扇形的周长为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，，，
，即．
弧的长为．
该扇形的周长为．
故选：B．
由已知条件求出OA，再求出AB弧的长，则答案可求．
本题考查了弧长公式的应用，是基础题．
7.在中，，，AD是BC边上的中线，则
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】解：AD 是BC 边上的中线，
，
则
故选：B ．
由已知及向量基本运算可知
， ，然后结合向量数量积的性质即可求解 本题主要考查了平面向量的基本定理及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
8. 关于狄利克雷函数
为无理数
为有理数，下列叙述错误的是
A. 的值域是
B. 是偶函数
C. 是奇函数
D. 任意 ，都有
【答案】C
【解析】解： 函数的值域为 ，故A 正确，
B .若x 是无理数，则 也是无理数，此时 ，若x 是有理数，则 也是有理数，此时 ，
综上 恒成立，故函数 是偶函数，故B 正确， C .由B 知函数是偶函数，不是奇函数，故C 错误，
D .当 时， 或0都是有理数，则 ，故D 正确， 故选：C ．
根据分段函数的表达式，结合函数值域，奇偶性以及函数值的定义分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的值域，奇偶性以及函数值的判断，利用分段函数的解析式分别进行判断是解决本题的关键．
9. 已知函数
，则
A. 4
B. 6
C. 7
D. 9
【答案】B
【解析】解： 函数
， ，
， ． 故选：B ．
推导出 ，
，由此能求出 的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为
A. B. 1 C. D. 2
【答案】A
【解析】解：
联立解得，，
在方向上的投影为：，
故选：A．
将，，两边平方后联立方程组解得，，再根据投影的概念求得：．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，方向投影的概念，属基础题．
11.设点是函数图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点
B可重合，设线段AB的长为，则函数的图象是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：，
设，则A，B关于对称，
此时，
当时，，
当时，，
则对应的图象为D，
故选：D．
作出函数的图象，根据对称性求出A，B的坐标关系进行判断即可．
本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用三角函数的对称性求出A，B的坐标关系是解决本题的关键．
12.已知，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，又
，解得或舍去，
代入原式得．
．
，，
．
．
故选：A．
展开两角和的正弦函数化简求出，结合角的范围进一步求出即可．
本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，，若，则实数x的值是______．
【答案】
【解析】解：；
；
．
故答案为：．
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
考查向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算．
14.，，，则a，b，c从小到大的关系是______．
【答案】
【解析】解：，，；
．
故答案为：．
容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．
考查指数函数、对数函数的单调性，对数的运算，以及增函数的定义．
15.若，则______．
【答案】16
【解析】解：，
，解得，
．
故答案为：16．
由，求出，由此能求出的值．
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.已知定义在R上的奇函数，满足，当时，，若函数
，在区间上有2018个零点，则m的取值范围是______．
【答案】
【解析】解：由，
，联立可得：，即函数图象关于点
对称，周期为2，
的周期为2，关于点对称，由图
象知：与在，
上有4个交点，
且在上，，，
函数，在区间上有2018个零点，
可得：，
故答案为：．
由函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法分别作函数与的图象，再观察其交点即可得解
本题考查了函数的奇偶性，对称性及周期性及函数图象的作法，属中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入
了部分数据，如表：
Ⅰ请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式．
Ⅱ若函数的值域为A，集合且，求实数m的取值范围．
【答案】解：Ⅰ根据表中已知数据，解得，，，
函数表达式为．
补全数据如下表：
Ⅱ，，
又，．
依题意，实数m的取值范围是．
【解析】Ⅰ由题意根据五点法作图，将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式．
Ⅱ由题意可得，可得，由此求得实数m的取值范围．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，集合中参数的取值范围，属于基础题．
18.已知，
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的值．
【答案】解：Ⅰ因为，，所以．
从而．
Ⅱ因为，，所以，
所以．
，．
【解析】Ⅰ直接利用二倍角公式，求得的值．
Ⅱ利用同角三角函数的基本关系，求得的值，再利用两角差的正弦公式求得
的值，可得的值．
本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．
19.已知函数．
Ⅰ当时，求函数的值域；
Ⅱ若有最大值81，求实数a的值．
【答案】解：Ⅰ当时，，
函数的值域为．
Ⅱ令，
当时，t无最大值，不合题意；
当时，，
，
又在R上单调递增，
，
，
．
【解析】Ⅰ当时，求出的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．
Ⅱ利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．
20.若，且，
Ⅰ求函数的解析式及其对称中心．
Ⅱ函数的图象是先将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到的求函数，的单调增区间．
【答案】解：Ⅰ依题意有
，
令，则，，
函数的对称中心为．
Ⅱ由Ⅰ得，，
将函数的图象向左平移个单位，
再将所得图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得的图象．
由，
即，又，
的单调增区间为．
【解析】Ⅰ利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得对称中心．
Ⅱ利用函数的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性、单调性、以及函数的图象变换规律，属于中档题．
21.某投资人欲将5百万元资金投人甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入
资金的关系式分别为，，其中a为常数且设对乙种产品投入资金x百万元．
Ⅰ当时，如何进行投资才能使得总收益y最大；总收益
Ⅱ银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人资金如何分配，要使得总收益不低于百万元，求a的取值范围．
【答案】解：Ⅰ设对乙种产品投入资金x百万元，则对甲种产品投入资金百万元
当时，，，
令，则，，其图象的对称轴，
当时，总收益y有最大值，此时，．
即甲种产品投资4百万元，乙种产品投资1百万元时，总收益最大分
Ⅱ由题意知对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，
设，则，
则，其图象的对称轴为，分
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，
，得，又
当，即时，在单调递增，在单调递减，
且，可得，符合题意
当
，即时，易知在单调递增
可得恒成立，
综上可得．
实数a的取值范围是分
【解析】Ⅰ当时求出总收益的解析式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可．
Ⅱ根据条件转化为对任意恒成立，利用换元法转化为一元二次函数进行讨论求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数对称性与区间的关系是解决本题的关键综合性较强，难度较大．
22.定义在R上的函数满足：对于任意实数x，y都有恒成立，且当时，
．
Ⅰ判定函数的单调性，并加以证明；
Ⅱ设，若函数有三个零点从小到大分别为a，b，c，求的取值范围．
【答案】解：Ⅰ证明：设，则，则，，当时，．
，即，
即，
所以在R上为增函数；
Ⅱ由得，
又，，即，
，由知在R上单调递增，
所以题意等价于与的图象有三个不同的交点如下图，则，
且，，，
，
令，，
设，则
，
，
，，，
，
即在上单调递增，
，即，
综上：的取值范围是
【解析】Ⅰ根据函数的单调性的定义，结合抽象函数的关系公式机进行证明即可；
Ⅱ根据抽象函数关系，由进行转化得到，即，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合抽象函数的关系，利用函数单调性的定义去证明是解决本题的关键综合性较强，难度较大．。