2025届高考数学复习：历年高考真题专项(三角恒等变换)阶梯练习(附答案)

2025届高考数学复习：历年高考真题专项（三角恒等变换）阶梯练习
[基础强化]
一、选择题
1．若sin α2 ＝3
，则cos α＝( ) A ．－2
3 B ．－13 C ．13 D ．23
2．若α为第四象限角，则( ) A ．cos2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0
3．函数f (x )＝sin 2x ＋3 sin x ꞏcos x 在⎣⎡⎦⎤
π4，π2 上的最小值为( ) A ．1 B ．
1＋3
2
C ．1＋3
D ．3
2
4．[2024ꞏ九省联考]已知θ∈(3π4 ，
π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π
4 )，则1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ ＝( ) A ．1
4 B ．34 C ．1 D ．3
2 5．若sin ⎝⎛
⎭⎫π6－α ＝13
，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝( ) A ．－7
9 B ．－13 C ．13 D ．79
6．[2024ꞏ新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m ，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( ) A ．－3m B ．－m
3 C ．m
3 D ．3m
7．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝1＋54 ，则sin α
2 ＝( )
A ．3－58
B ．－1＋5
8
C ．
3－54 D ．－1＋54
8．已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1
2 D ．3
9．(多选)下列各式中值为1
2 的是( ) A ．1－2cos 275°
B ．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°
C ．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°
D ．
cos 35°1－sin 20°
2 cos 20°
二、填空题
10．已知sin α＋3 cos α＝2，则tan α＝________．
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
，则cos 4α＝________．
12．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．
[能力提升]
13．已知tan θ＝12 ，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2θ ＝( ) A ．7 B ．－7 C ．1
7 D ．－17
14．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝13 ，cos αsin β＝1
6 ，则cos (2α＋2β)＝( ) A ．79 B ．19 C ．－19 D ．－79
15．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513 ，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝________. 16．化简：2cos 2α－1
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α .
参考答案
[基础强化]
一、选择题
1．若sin α2 ＝3
，则cos α＝( ) A ．－2
3 B ．－13 C ．13 D ．23 答案：C
答案解析：cos α＝1－2sin 2α
2 ＝1－2×1
3 ＝13 . 2．若α为第四象限角，则( ) A ．cos2α>0 B ．cos 2α<0 C ．sin 2α>0 D ．sin 2α<0 答案：D
答案解析：方法一 ∵α是第四象限角， ∴－π
2 ＋2k π<α<2k π，k ∈Z ， ∴－π＋4k π<2α<4k π，k ∈Z ，
∴角2α的终边在第三、四象限或y 轴非正半轴上， ∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可零，故选D. 方法二 ∵α是第四象限角， ∴sin α<0，cos α>0，
∴sin 2α＝2sin α cos α<0，故选D.
3．函数f (x )＝sin 2x ＋3 sin x ꞏcos x 在⎣⎡⎦⎤
π4，π2 上的最小值为( ) A ．1 B ．
1＋3
2
C ．1＋3
D ．3
2 答案：A 答案解析：f (x )＝
1－cos 2x 2 ＋32 sin 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π6 ＋12 ， ∵π4 ≤x ≤π2 ，∴π3 ≤2x －π6 ≤5
6 π，
∴当2x －π6 ＝56 π即x ＝π2 时f (x )min ＝12 ＋1
2 ＝1.
4．[2024ꞏ九省联考]已知θ∈(3π
4 ，
π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π4 )，则1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ ＝( ) A ．1
4 B ．34 C ．1 D ．3
2 答案：A
答案解析：由题θ∈(3π
4 ，π)，tan 2θ＝－4tan (θ＋π4 )， 得
2tan θ
1－tan 2θ ＝－4（tan θ＋1）1－tan θ
⇒－4(tan θ＋1)2＝2tan θ， 则(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0⇒tan θ＝－2或tan θ＝－1
2 ， 因为θ∈(3π4 ，π)，tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－1
2 ，
1＋sin 2θ2cos 2θ＋sin2θ
＝sin 2
θ＋cos 2
θ＋2sin θcos θ2cos 2
θ＋2sin θcos θ ＝tan 2
θ＋1＋2tan θ2＋2tan θ ＝1
4＋1－12＋（－1） ＝1
4 .故选A.
5．若sin ⎝⎛
⎭⎫π6－α ＝13
，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α ＝( ) A ．－7
9 B ．－13 C ．13 D ．79 答案：A
答案解析：∵π6 －α＋⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝π2 ，∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α ＝13 ，∴cos ⎝⎛⎭⎫23π＋2α ＝2cos 2⎝⎛⎭
⎫π3＋α －1＝2×19 －1＝－79 . 6．[2024ꞏ新课标Ⅰ卷]已知cos(α＋β)＝m ，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝( ) A ．－3m B ．－m
3 C ．m
3 D ．3m 答案：A
答案解析：由tan αtan β＝2，可得sin αsin β
cos αcos β ＝2，即sin αsin β＝2cos αcos β.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m ，可得cos αcos β＝－m ，sin αsin β＝－2m ，所以cos (α－β)＝
cos αcos β＋sin αsin β＝－3m ，故选A.
7．[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]已知α为锐角，cos α＝1＋54 ，则sin α
2 ＝( ) A ．3－5
8 B ．－1＋58
C ．
3－54 D ．－1＋54
答案：D
答案解析：方法一 由题意，cos α＝1＋54 ＝1－2sin 2α2 ，得sin 2α2 ＝3－58 ＝6－2516
＝(
5－14 )2，又α为锐角，所以sin α2 >0，所以sin α2 ＝－1＋54 ，故选D. 方法二 由题意，cos α＝
1＋54 ＝1－2sin 2α2 ，得sin 2α2 ＝3－58 ，将选项逐个代入验
证可知D 选项满足，故选D.
8．已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1
2 D ．
3 答案：A
答案解析：∵a ⊥b ，∴sin θ－2cos θ＝0，∴tan θ＝2， ∴sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋cos 2θ＝
2tan θ＋1
1＋tan 2θ
＝1.
9．(多选)下列各式中值为1
2 的是( ) A ．1－2cos 275°
B ．sin135°cos 15°－cos 45° cos 75°
C ．tan 20°＋tan 25°＋tan 20° tan 25°
D ．
cos 35°1－sin 20°
2 cos 20°
答案：BD
答案解析：对于A ，1－2cos 275°＝－cos150°＝cos 30°＝3
2 ，A 错误；
对于B ，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos 120°＝1
2 ，B 正确；
对于C ，∵tan 45°＝1＝
tan 20°＋tan 25°
1－tan 20°tan 25°
，
∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，
∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C 错误； 对于D ，
cos 35°1－sin 20°
2cos 20°
＝cos 35°（cos 10°－sin 10°）2
2（cos 10°＋sin 10°）（cos 10°－sin 10°）
＝cos 35°
2（cos 10°＋sin 10°）
＝
cos 45°cos 10°＋sin 45°sin 10°
2（cos 10°＋sin 10°）
＝2
2（cos 10°＋sin 10°）2（cos 10°＋sin 10°） ＝12 ，D 正确．故选BD.
二、填空题
10．已知sin α＋3 cos α＝2，则tan α＝________． 答案：3
3
答案解析：由
sin α＝2－ 3 cos α
sin2α＋cos2α＝1，解得4cos 2α－43 cos α＋3＝(2cos α－3 )2＝0，得cos α＝32 ，则sin α＝12 ，所以tan α＝sin αcos α ＝3
3 .
11．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
，则cos 4α＝________． 答案：19
答案解析：由sin α＋cos α＝3
，得1＋sin 2α＝13 ， ∴sin 2α＝－23 ，∴cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×49 ＝1
9 .
12．已知2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________． 答案：2 1
答案解析：∵2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
4 ＋1，又2cos 2x ＋sin2x ＝A sin (ωx ＋φ)＋b .∴A ＝2 ，b ＝1.
[能力提升]
13．已知tan θ＝1
2 ，则tan ⎝⎛⎭
⎫π4－2θ ＝( )
A ．7
B ．－7
C ．17
D ．－17 答案：D
答案解析：tan 2θ＝
2tan θ
1－tan 2θ
＝
2×12
1－14
＝43 ，
∴tan ⎝⎛⎭
⎫π
4－2θ ＝tan π
4－tan 2θ1＋tan π4tan 2θ ＝1－43
1＋43
＝－1
7 .
14．[2023ꞏ新课标Ⅰ卷]已知sin (α－β)＝13 ，cos αsin β＝1
6 ，则cos (2α＋2β)＝( ) A ．79 B ．19 C ．－19 D ．－79 答案：B
答案解析：依题意，得⎩⎨⎧sin αcos β－cos αsin β＝1
3
cos αsin β＝1
6
，
所以sin αcos β＝1
2 ，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12 ＋16 ＝2
3 ，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin 2
(α＋β)＝1－2×⎝⎛⎭
⎫23 2
＝1
9 ，故选B. 15．若sin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝513 ，α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2 ，则cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝________. 答案：24
13
答案解析：因为⎝⎛⎭⎫π4－α ＋⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝π2 ， 所以π4 ＋α＝π2 －⎝⎛⎭⎫π4－α .
又2⎝⎛⎭⎫π4－α ＋2α＝π2 ，得2α＝π2 －2⎝⎛⎭
⎫π4－α . 故
cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－2⎝⎛⎭
⎫π4－αcos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α
＝
sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭
⎫π4－α ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α . 由于α∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ，π4 －α∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4 ，所以cos (π
4 －α)>0， 故cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝1213 ，cos 2αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2×1213 ＝2413 . 16．化简：2cos 2α－1
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α . 答案解析：方法一 原式
＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2 ＝（cos 2α－sin 2α）（1＋tan α）（1－tan α）（cos α＋sin α）2
＝
（cos 2α－sin 2α）⎝⎛⎭
⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭
⎫1－sin αcos α（cos α＋sin α）2
＝1.
方法二 原式＝
cos 2α
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭
⎫π4－α
＝
cos2α
2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α
＝
cos 2α
sin ⎝⎛⎭
⎫π2－2α ＝cos 2α
cos 2α ＝1.。