(整理版)高中学习资料简单线性规划答案

答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设实数x，y满足，则的取值范围为（）
A、B、
C、D、
考点：函数单调性的性质；简单线性规划。

分析：可先画出x、y满足的平面区域，而为可行域内的点与原点连线的斜率，求出的范
围；进一步用换元法求出u的范围即可．
解答：解：作出x，y满足的可行域，
可得可行域内的点与原点连线的斜率的取值范围是，
即，
令，则，
又在上单调递增，
得．
故选C．
点评：本题考查线性规划、利用函数的单调性求最值，注意换元法的应用．
2、若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是（）
A、s≥4
B、0＜s≤2
C、2≤s≤4
D、0＜s≤2或s≥4
考点：二元一次不等式（组）与平面区域；简单线性规划。

专题：数形结合。

分析：①画x≥0，y≥0，y+2≤4②y+x≤s代表直线y+x=s下方区域．画直线y+x=0③平移直线从y+x=0至y+x=2时该不等式组区域都可构成三角形．从x+y=4开始继续右上平移也可构成三角形区域
解答：解：如图，画x≥0，y≥0，y+2≤4，
y+x≤s代表直线y+x=s下方区域．画直线y+x=0
平移直线从y+x=0至y+x=2时，
该不等式组区域都可构成三角形
从x+y=4开始继续右上平移也可构成三角形区域
故答案为D
点评：本题通过简单的线性规划问题，考查可行域画法和数形结合思想．
3、定义设实数x、y满足约束条件且z=max{4x+y，3x
﹣y}，则z的取值范围为（）．
A、[﹣6，0]
B、[﹣7，10]
C、[﹣6，8]
D、[﹣7，8]
故选B．
点评：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x﹣y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题．
4、满足条件的可行域中共有整点的个数为（）
A、3
B、4
C、5
D、6
点评：考查二元一次不等式与区域的关系，注意熟练掌握其判断规则．
5、若实数x，y满足不等式组，则3x+4y的最小值是（）
A、13
B、15
C、20
D、28
考点：简单线性规划。

分析：我画出满足不等式组的平面区域，求出平面区域中各角点的坐标，然后利用角点法，将各个点的坐标逐一代入目标函数，比较后即可得到3x+4y的最小值．
解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
由图可知，当x=3，y=1时
3x+4y取最小值13
故选A
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得
到目标函数的最优解．
6、设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）
A、14
B、16
C、17
D、19
点评：在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．
7、设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x﹣y的最大值为（）
A、﹣4
B、0
C、D、4
考点：简单线性规划。

专题：作图题；数形结合。

分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过（2，2）时，z最大．
解答：解：画出不等式表示的平面区域
将目标函数变形为y=3x﹣z，作出目标函数对应的直线，当直线过（2，2）时，直线的纵截距最小，z最大
最大值为6﹣2=4
故选D
点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
8、设变量x，y满足|x|+|y|≤1，则x+2y的最大值和最小值分别为（）
A、1，﹣1
B、2，﹣2
C、1，﹣2
D、2，﹣1
考点：简单线性规划。

专题：计算题。

分析：根据零点分段法，我们易得满足|x|+|y|≤1表示的平面区域是以（﹣1，0），（0，﹣1），（1，0），（0，1）为顶点的正方形，利用角点法，将各顶点的坐标代入x+2y然后进行比较，易求出其最值．
解答：解：约束条件|x|+|y|≤1可化为：
其表示的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2
当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2
故选B
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．
9、设变量x，y满足，则x+2y的最大值和最小值分别为（）
A、1，﹣1
B、2，﹣2
C、1，﹣2
D、2，﹣1
考点：简单线性规划。

专题：计算题；数形结合。

分析：根据已知中的约束条件，画出满足的平面区域，并画出满足条件的可行域，
由图我们易求出平面区域的各角点的坐标，将角点坐标代入目标函数易判断出目标函数x+2y的最大值和最小值．
解答：解：满足的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时x+2y取最大值2
当x=0，y=﹣1时x+2y取最小值﹣2
故选B
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及各角点的坐标是解答线性规划类小题的关键．
10、若实数x，y满足不等式组合则x+y的最大值为（）
A、9
B、
C、1
D、
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．
11、若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（）
A、﹣2
B、﹣1
C、1
D、2
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
12、设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x+2y的最大值为（）
A、12
B、10
C、8
D、2
考点：简单线性规划。

专题：数形结合。

分析：1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z 也取得最大值
解答：解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．
点评：本题考查线性规划问题：目标函数的几何意义
13、设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值
分别为（）
A、3，﹣11
B、﹣3，﹣11
C、11，﹣3
D、11，3
点评：本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x﹣4y的几何意义是解答好本题的关键．
14、设x，y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（）A、3
B、4
C、6
D、8
考点：简单线性规划。

专题：数形结合。

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求
出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=x+y 的最大值．
解答：解：不等式表示的区域是如下图示的三角形，
3个顶点是（3，0），（6，0），（2，2），
目标函数z=x+y在（6，0）取最大值6．
故选C．
点评：线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值．
15、若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，
则a的取值范围是（）
A、（﹣1，2）
B、（﹣4，2）
C、（﹣4，0]
D、（﹣2，4）
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
16、设x，y满足则z=x+y（）
A、有最小值2，最大值3
B、有最小值2，无最大值
C、有最大值3，无最小值
D、既无最小值，也无最大值
考点：简单线性规划。

分析：本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件
对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得
到结论．
解答：解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：
由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，
因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，
但z没有最大值．
故选B
点评：目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．
17、在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面
积等于2，则a的值为（）
A、﹣5
B、1
C、2
D、3
考点：简单线性规划。

专题：计算题；数形结合。

分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据
已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．
解答：解：不等式组所围成的区域如图所示．
∵其面积为2，
∴|AC|=4，
∴C的坐标为（1，4），
代入ax﹣y+1=0，
得a=3．
故选D．
点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．
18、点P（x，y）在直线4x+3y=0上，且x，y满足﹣14≤x﹣y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是（）
A、[0，5]
B、[0，10]
C、[5，10]
D、[5，15]
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．解决时，首先要解决的问题是明白题目中目标函数的意义．
19、如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2=1上，那么|PQ|的最
小值为（）
A、B、
C、D、
考点：简单线性规划。

专题：数形结合；转化思想。

分析：作出可行域，将|PQ|的最小值转化为圆心到可行域的最小值，结合图形，求出|CP|的最小值，减去半径得PQ|的最小值．
解答：解：作出可行域，要使PQ|的最小，
只要圆心C（0，﹣2）到P的距离最小，
结合图形当P（0，）时，CP最小为
又因为圆的半径为1
故PQ|的最小为
故选A
点评：本题考查做不等式组表示的平面区域、等价转化的数学数学、数学结合求最值．
20、已知x、y满足约束条件，则z=x﹣y的取值范围为（）
A、（﹣2，1）
B、（﹣1，2]
C、[﹣1，2]
D、[﹣2，1]
点评：本题考查线性规划问题属常规题较简单
二、填空题（共5小题）
21、在极坐标系中，A（1，），点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动，当线段AB长最短时，点B的极坐标为（，）．
实数x、y满足，则的取值范围为[﹣，1）．
e﹣2．
解答：解：：（川中班）（理）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直线ρcosθ+ρsinθ=0，可得x+y=0…①
∵定点A（1，）与动点B在直线ρcosθ+ρsinθ=0上运动
∴当线段AB最短时，此时直线AB垂直于直线x+y=0
设直线AB为：y﹣=1×（x﹣1），即y=x﹣1+…②
联立方程①②求得交点B（﹣，﹣+）
∴B极坐标为ρ==，tanθ==﹣1
∴θ=﹣
∴B（）
实数x、y满足所表示的可行域如下图：
∵=表示可行域内的动点（x，y）与定点（﹣1，1）连线的斜率
∴k＜1即k∈[﹣，1）
==
=e﹣2
点评：主要考查极坐标与一般方程之间的转化，是一道基础题，注意极坐标与一般方程的关
系：ρ═tanθ=，x=ρcosθ，y=ρsinθ．
主要考察了线性规划．解题的关键是先做出可行域然后根据目标函数的几何意义进行求解．主要考察了重要极限的应用．解题的关键是要将所求的极限等价变形成此重要极限的形式．
22、已知，则的最大值是．
考点：二元一次不等式组；简单线性规划。

专题：计算题。

分析：作出不等式组对应的区域，求出x+y的最小值，解出的最大值
解答：解：作出不等式组对应的区域，欲求的最大值，
即求t=x+y的最小值，如图
t=x+y在点（）取到最小值2，
故的最大值
故应填
点评：考查不等式与区域，线性规划的问题怎么移线求最值．
23、二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为8，x+y的最大值为6．
点评：本题考查主要考查利用线性规划求函数最值．
24、若变量x，y 满足条件，则z=x+y得最大值为．
考点：简单线性规划。

专题：计算题。

分析：先画出满足约束条件的平面区域，然后求出目标函数z=x+y取最大值时对应的最优解点的坐标，代入目标函数即可求出答案．
解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：
由图分析，当x=，y=时，
z=x+y取最大值，
故答案为．
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域，找出目标函
数的最优解点的坐标是解答本题的关键．
25、（2011•陕西）如图，点（x，y）在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x﹣y的最小值为1．
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中利用角点法是解答线性规划问题的最优解问题是解答线性规划问题最常用，最快捷，最有效的方法，希望大家熟练掌握．
三、解答题（共5小题）
甲乙丙
维生素A（单位/kg）60 70 40
维生素B（单位/kg）80 40 50
成本（元/kg）11 9 4
现分别用甲、乙、丙三种食物配成10kg混合食物，并使混合食物内至少含有560单位维生素A和630单位维生素B．
（1）若混合食物中恰含580单位维生素A和660单位维生素B，求混合食物的成本为多少元？
（2）分别用甲、乙、丙三种食物各多少千克，才能使混合食物的成本最低？最低成本为多少元？
考点：简单线性规划。

专题：计算题。

分析：（I）设出三种食物的质量，列出方程组，解方程组求出三种食物的质量，求出混合食物的成本．
（II）据已知条件列出不等式组及目标函数；将z用x，y代替，化简不等式组和目标函数；画出可行域及目标函数对应的直线，结合图，判断出直线过定点时，目标函数最小，通过求直线的交点，求出定点坐标，将点坐标代入求出z的最小值．
解答：解：设分别用甲、乙、丙三种食物xkg，ykg，zkg，混合食物的成本为p元，则（Ⅰ）依题意得，
即．（2分）
由此解得x=6，y=z=2．（4分）
故混合食物的成本为6×11+2×9+2×4=92（元）．（5分）
（II）
，即．（7分）
且p=11x+9y+4z=7x+5y+40．（8分）
作可行域，如图．（10分）
由，得点A（5，2）．
平移直线7x+5y=0，由图知，当直线经过点A时，
它在y轴上的截距为最大，所以点A为最优解，
此时p=7×5+5×2+40=85（元）．（12分）
故用甲种食物5kg，乙种食物2kg，丙种食物3kg时，才能使混合食物的成本最低，其最低成本为85元．（13分）
点评：本题考查将实际问题转化为数学问题的能力、考查话不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
27、已知△ABC的三个顶点分别为A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0）．
（1）求△ABC三条边所在直线的方程；
（2）若点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，求z=x﹣y的最大、最小值．
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
28、实数x，y满足．
（1）若，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围
（2）若z=x2+y2，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围．
考点：简单线性规划。

分析：（1）表示的是区域内的点与原点连线的斜率．故的最值问题即为直线的斜率
的最大值与最小值．
（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值．
解答：解：由作出可行域如图阴影部分所示：
（1）表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，
因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率（OA斜率不存在）．
而由得B（1，2），∴
∴z max不存在，z min=2，∴z的取值范围是[2，+∞）．
（2）z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两点间距离的平方．
因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为|OB|2．由得A（0，1），
∴|OA|2=，|OB|2=．
∴z max=5，z无最小值．故z的取值范围是（1，5]．
点评：本例与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；表示点（x，y）与（a，b）的距离．
（2）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；表示点（x，y）与（a，b）连线
的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
（2）和或积为定值；
（3）等号能否成立，即一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可．
29、已知非负实数x，y满足
（1）在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；
（2）求Z=x+3y的最大值．
考点：简单线性规划。

专题：计算题。

分析：（1）先根据约束条件画出可行域
（2）再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+3y过点A（0，3）时，z最大值即可．
解答：解：（1）所求不等式所表示的区域如图中阴影所示
（2）如图作出直线l：x+3y=0，把直线向上平移至l1的位置，使l1经过可行域上点M（0，3）时，显然此时z最大，
此时z=x+3y的最大值是Z=0+3×3=9
点评：本题考查画可行域及由可行域求目标函数最值问题，解题的关键是画出满足条件的区域图，属于基础题．
30、某电视台为建国60周年阅兵仪式播放两套宣传片，其中宣传片甲播映时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播映时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？
考点：简单线性规划。

专题：应用题；数形结合。

分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．。