上海市2020年中考数学模拟预测试题二含答案

2020中考数学预测卷二
（满分：150分；时间：100分钟）
考生注意：
1、本试卷含有三个大题，共25小题；
2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．如果a 与3互为相反数，那么a 等于（ ） A ．3
B ．3−
C ．
13
D ．13
−
2．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A
B C D 3．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A ．2a =
B ．若(0)a b ab >≠，则
11a b
<C ．||||||a b ab =
D ．若m 为整数，则217
()24
m ++是整数
4．抛物线2
(5)1y x =+−先向右平移 4 个单位， 再向上平移 4 个单位，得到抛物线的解析式为（ ） A ．2
1884y x x =++ B ．2
24y x x =++C ．21876
y x x =++ D ．2
22
y x x =+−5．若一个正n 边形(n 为大于2的整数）的半径为r ，则这个正n 变形的边心距为（ ） A ．360sin
r n
︒
B ．360cos
r n
︒C ．180sin
r n
︒D ．180cos
r n
︒6．下列命题中真命题的个数是（ ）
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 7．计算：62()a a −= ．
8．一次函数2(0)y kx k k =−+<的图象不经过第 象限． 9．实数范围内因式分解：22243x xy y +−= ．
10．若关于x 的一元二次方程22x x m +=有两个实数根，则实数m 的取值范围是 ． 11．正方形有 条对称轴．
12．如图，直线AB 分别交直线a 和直线b 于点A ，B ，且//a b ，点C 在直线b 上，且它到
直线a 和到直线AB 的距离相等，若77ACB ∠=︒，则ABC ∠= ．
13．某次对中学生身高的抽样调查中测得5个同学的身高如下（单位：):172cm ，171，175，
174，178，则这组数据的方差为 ．
14．一次测验中有2道题是选择题，每题均有4个选项且只有1个选项是正确的，若对这两
题均每题随机选择其中任意一个选项作为答案，则2道选择题答案全对的概率为 ． 15．点A ，B 分别是双曲线(0)k
y k x
=
>上的点，AC y ⊥轴正半轴于点C ，BD y ⊥轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k = ．
16．ABC ∆中，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，联结DE ，DE 是ABC ∆的一条中位线，
点G 是ABC ∆的重心，设AG a =，AB b =，则DE = （用含a ，b 的式子表示）
17．我们把有一条边是另一条边的2倍的梯形叫做“倍边梯形”，在O 中，直径2AB =，
PQ 是弦，若四边形ABPQ 是“倍边梯形”，那么PQ 的长为 ．
18．在矩形ABCD 中，P 在边BC 上，联结AP ，DP ，将ABP ∆，DCP ∆分别沿直线AP ，
DP 翻折，得到△1AB P ，△1DC P ，且点1B ，1C ，P 在同一直线上，线段1C P 交边AD 于点M ，联结1AC ，若1135AC D ∠=︒，则PC
DM
= ． 三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（本题10
1
3cot308|cos302|2017︒−+︒−⨯︒．
20．（本题10分）解不等式组：31222
236
255134x x x x x −−+⎧+<⎪⎪⎨−⎪+⎪⎩
，并把解集在数轴上表示出来．
21．（本题10分）如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，点D ，E ，F 分别在
边
AB ，BC ，AC 上，且四边形ADEF 是正方形，联结AE ． （1）求AE 的长； （2）求AEB ∠的正弦值．
22．（本题10分）某公司专销产品A ，第一批产品A 上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图2中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A 的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；
（2）第一批产品A 上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
23．（本题12分）如图，四边形ABCD 是菱形，点E 在AB 延长线上，联结AC ，DE ，DE 分别交BC ，AC 于点F ，G ，且CD AE AC AG =． 求证：（1）ABC AGE ∆∆∽；（2）2AB GD DE =．
24．（本题12分）如图，已知抛物线23
4
y x bx c =−++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，点A
的横坐标为1−，过点(0,3)C 的直线3
34y x t
=−
+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<． （1）确定b ，c 的值；
（2）写出点B ，Q ，P 的坐标（其中Q ，P 用含t 的式子表示）
； （3）以点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB ∆为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；
若不存在，说明理由．
25．（本题14分）如图，在O中，半径OA长为1，弦//
BC OA，射线BO，射线CA交于点D，以点D为圆心，CD为半径的D交BC延长线于点E．
（1）若
8
5
BC=，求O与D公共弦的长；（3分）
（2）当ODA
∆为等腰三角形时，求BC的长；（6分）
（3）设BC x
=，CE y
=，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．（5分）
参考答案
一、选择题
二、填空题
1m −
3
2
a b −18、【解答】解：如图，设11BP B P ==，1CP C P x ==，则111B C x =−，1AD BC x ==+， 由折叠可得，190PC D C ∠=∠=︒，而1135AC D ∠=︒， 11359045AC P ∴∠=︒−︒=︒，
当点1B ，1C ，P 在同一直线上时，由190B AB P ∠=∠=︒，可得1190AB C ∠=︒， ∴△11AB C 是等腰直角三角形，即1111AB B C x ==−，
11AB AB x CD ∴==−=，
由折叠可得，111
90222APD APM DPM BPM CPM BPC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，
Rt ABP ∆中，22222(1)1AP AB BP x =+=−+， Rt DCP ∆中，22222(1)DP PC CD x x =+=+−，
Rt ADP ∆中，222AD AP DP =+，
22222AD AB BP PC CD ∴=+++， 即22222(1)(1)1(1)x x x x +=−+++−，
解得1x =，2x =（舍去），
PC ∴=
，1BC AD ===
由折叠可得，11AB AB CD CD ===，1190DC M AB M ∠=︒=∠， 在△1DC M 和△1AB M 中， 11111
1DMC AMB DC M AB M DC AB
∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△1DC M ≅△1()AB M AAS ，
12DM AM AD ∴==
=
，
∴PC
DM ==，
故答案为：
55
+． 三、解答题
19、【解答】解：
原式122122
=−+−=−
． 20、【解答】解：解不等式31222
236
x x x −−++<
，得：1x <， 解不等式
2551
34
x x −+，得：47x ， ∴不等式组的解集为
4
17
x <， 将解集表示在数轴上如下：
21、【解答】解：（1）四边形ADEF 是正方形，
AD DE EF FA ∴===，
设AD x =，则3BD x =−，DE x =， 90BDE BAC ∠=∠=︒，3AB =，4AC =，
//DE AC ∴，BDE BAC ∴∆∆∽，
∴
DE BD AC BA =
，即343
x x
−=， 解得，127x =
，12
7
AD DE ∴==， 90
BAC ∠=︒，AE ∴=
（2）作AH BC ⊥于点H ， 90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =， 5BC ∴=，∴
22
AB AC BC AH
=
， 即
34522
AH ⨯⨯=
，解得，125
AH =， 127
AE =
，AH BC ⊥，90AHE ∴∠=︒，
12
sin 7
AH
AEB AE ∴∠===． 22、【解答】解：（1）由图1可得， 当030t 时，设市场的日销售量y kt =，
点(30,60)在图象上，6030k ∴=，2k ∴=，即2y t =； 当3040t <时，设市场的日销售量1y k t b =+，
点(30,60)和(40,0)在图象上，∴116030040k b k b =+⎧⎨=+⎩
，解得16k =−，240b =．
6240y t ∴=−+．综上可知，当030t 时，市场的日销售量2y t =； 当3040t <时，市场的日销售量6240y t =−+．
（2）方法一：由图2得：当020t 时，每件产品的日销售利润为3z t =； 当2040t <时，每件产品的日销售利润为60z =． ∴当020t 时，产品的日销售利润2326z t t t =⨯=； ∴当20t =时，产品的日销售利润z 最大等于2400万元．
当2030t <时，产品的日销售利润602120z t t =⨯=． ∴当30t =时，产品的日销售利润z 最大等于3600万元；
当3040t <时，产品的日销售利润60(6240)z t =⨯−+； ∴当30t =时，产品的日销售利润z 最大等于3600万元．
综上可知，当30t =天时，这家公司市场的日销售利润最大为3600万元．
方法二：由图10知，当30t =（天)时，市场的日销售量达到最大60万件；又由图11知，当30t =（天)时产品的日销售利润达到最大60元/件，所以当30t =（天)时，市场的日销售利润最大，最大值为3600万元．
23、【解答】证明：（1）CD AE AC AG =．∴CD AC
AG AE
=
， 四边形ABCD 是菱形，AB CD ∴=， ∴
AB AC
AG AE
=
，BAC GAE ∠=∠， ABC AGE ∴∆∆∽，
（2）ABC AGE ∆∆∽，ACB E ∴∠=∠，
四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，//BC AD ， ACB CAD E ∴∠=∠=∠，
ADG ADE ∠=∠，ADG EDA ∴∆∆∽，∴
AD DG
DE AD
=
， 2AD DE DG ∴=， 2AB DE DG ∴=．
24、【解答】解：（1）已知抛物线过(1,0)A −、(0,3)C ，则有： 3
04
3b c c ⎧−−+=⎪⎨⎪=⎩，解得943b c ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，因此94b =，3c =； （2）令抛物线的解析式中0y =，则有239
3044
x x −++=，解得1x =−，4x =；
(4,0)B ∴，4OB =，因此5BC =，
在直角三角形OBC 中，4OB =，3OC =，5BC =， 3sin 5CBO ∴∠=
，4
cos 5
CBO ∠=， 在直角三角形BHP 中，5BP t =， 因此3PH t =，4BH t =； 44OH OB BH t ∴=−=−，
因此(44,3)P t t −．
令直线的解析式中0y =，则有3
034x t
=−
+，4x t =， (4,0)Q t ∴．
（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①如图1，当PQ PB =时， PH OB ⊥，则QH HB =，
4444(44)t t t ∴−−=−−，13
t ∴=， ②当PB QB =得445t t −=，49
t ∴=， ③当PQ QB =时，在Rt PHQ ∆中有222QH PH PQ +=， 222(84)(3)(44)t t t ∴−+=−，
257320t t ∴−=，
3257
t ∴=，0t =（舍去）， 又01t <<，
∴当13t =或49或3257
时，PQB ∆为等腰三角形．
25、【解答】解：（1）如图1中，设CM 是两圆的公共弦，CM 交BD 于N ，交OA 于K ，BD 交O 于G ，连接OC 、CG 交OA 于H ．
BG 是直径，
90BCG ∴∠=︒，
//BC OA ，
90OHG BCG ∴∠=∠=︒，
OA CG ∴⊥，
CH HG ∴=，
CM BD ⊥，
90ONK CHK ∴∠=∠=︒，OKN CKH ∠=∠， KON KCH ∴∠=∠，
OG OB =，CH HG =，
1425
OH BC ∴==，
1OC =
，35
CH HG ∴===， OGH CGN ∠=∠，GCN GOH ∠=∠，
GCN GOH ∴∆∆∽，∴CN CG OH OG
=， ∴6
5415
CN =，2425CN ∴=，48225
CM CN ∴==．
（2）如图2中，
当OAD ∆是等腰三角形时，观察图形可知，只有OA AD =， AOD ADO COA ∴∠=∠=∠，
OCA OCD ∠=∠，
OCA DCO ∴∆∆∽，设AC x =，
则有2OC CA CD =，
1(1)x x ∴=+，
x ∴=
，
CD CA AD ∴=+=
， //OA BC ，
AOD B ODA ∴∠=∠=∠，
BC CD ∴==．
（3）如图3中，作DN CE ⊥于N ．
DC DE =，
DCE E ∴∠=∠，
//BC OA ，
OAC DCE OCA ∴∠=∠=∠，
AOC CDE B ∴∠=∠=∠，
E BDE ∴∠=∠，
BE BD ∴=，
CG BE ⊥，DN BE ⊥， //CG DN ∴， ∴
BG BC GD CN =， ∴22
x y
DG =， y DG x ∴=
， BD BE =， 2y x y x
∴+=+， 2
2(12)1x x y x x −∴=<<−。