从期望效用理论到经济学理性假设的思考

从期望效用理论到经济学理性假设的思考*
王子萍 黄培清
（上海交通大学管理学院，上海 200052）
摘要：期望效用理论对不确定决策分析作出了很大的进步，但其背后的效用公理体系的建立有着固有的局限性：一方面考虑到偏好关系是一种理性偏好，另一方面是为了使它们使用起来较方便，或者说为了数学处理的可行性，故难免有某些牵强的地方。

故而期望效用理论的不完美性是必然存在的。

文章从不同的角度对期望效用理论的不完美性进行了讨论，并从不同的理论框架和策略选择对各种不完美现象进行了详细的阐述。

文章最后从经济学理性思考的角度给了期望效用理论一个全局性的探讨。

关键字：期望效用理论；理性偏好；Allias悖论；效用函数
Critical Thinking from Expected Utility Theory to Economic
Rational Assumption
Wang Ziping Hang Peiqing
(Management School of Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200052)
Abstract:Expected utility theory greatly contributed to the analysis of uncertain decision; however, there was some intrinsic restriction to the construction of the set of axioms the EU theory based. So it is sure the EU theory was imperfect. In this paper, two different perspectives were selected to analyze the imperfection of EU theory, and three methods were used to illustrate why EU theory is imperfect. Finally, an interpretation from the view of point of economic rational assumption was given to the EU theory imperfection.
Key Words: Expected utility theory; Rational preference; Allias Paradox; Utility Function
0 引文
Alchian (1953) 在文中详细讨论了效用量度的目的、方法、有效性以及收入的效用问题。

消费者偏好分析是需求理论的基础，而效用函数的建立可以把消费者行为的偏好分析转换成函数的分析，从而发现消费者的行为。

那么如何建立能较好反映消费者行为偏好的效用函数？
首先给偏好定一个序，使得偏好关系在这个序上满足三大公理：完备性、自反性和传递性，然后可以说这个偏好序是完备的，即所谓理性假设―理性人的偏好是一致的。

然后构建效用函数。

如Alchian (1953) 文中已提到的，对应于偏好序，不同消费束的效*基金项目：教育部博士点基金资助（20020248011）
用值是没有具体意义的，有实际价值的是不同值之间的大小关系，或者说效用函数在单调变换下是唯一的。

从确定性决策行为分析到不确定性分析，期望效用函数应生而出。

简单的说含概率的效用函数表达式叫做期望效用函数。

不论是效用函数还是期望效用函数，都是偏好公理化体系的推论。

但公理化体系的建立，一方面考虑到偏好关系是一种理性偏好，另一方面是为了使它们使用起来较方便，或者说为了数学处理的可行性，故难免有某些牵强的地方。

Alchian （1953）在文中简单地罗列了von Neuman 和 Morgenstern (1944) 期望效用理论（EU ）值得商榷的几个方面，引起笔者对期望效用理论的兴趣，故试在下文中对期望效用理论(EU)作进一步讨论和思考。

1 期望效用理论（EU ）概述
关于不确定性决策，
长期占统治地位的理论是 von Neuman 和 Morgenstern 于 1944 提出的期望效用（Expected Utility ，EU ）理论。

EU 理论认为，假如决策者选择风险决策备择方案的过程符合效用公理，那么他一定是选择期望效用值最大的那项备择方案。

期望效用值可以用备择方案的结果发生的概率与该备择方案的效用值的函数来表示。

EU 理论背后的效用公理体系，或者说支持EU 理论的主要几大假设为：（其中C 是消费束，x ≥y 意为x 偏好于y ，x ~y 意为x 和y 是无差异的）
公理1(次序完全性)：任取ｘ,ｙ∈Ｃ，必有或者 x ≥ y ，或者y ≥x ，或者x ~y ；并且如
果x ≥ y，且y ≥ z，那么x ≥ z。

公理2(连续性)：对于ｘ、ｙ、ｚ∈Ｃ，若ｘ≥ｙ，并且y ≥ｚ，则必存在一个概率p∈(0，
1)，使得pｘ+(1-p)ｚ～ｙ。

公理3(独立性)：对于ｘ,ｙ∈Ｃ,若ｘ≥ｙ,则对于所有的z∈Ｃ,有pｘ+(1-p)z ≥pｙ
+(1-p)z，任取α∈(0,1)。

在上述的公里体系下，假设在当前的状态下采用的决策方案为(1,...,)i A i I =，产生的可能结果为j S ，每一结果的效用值是()j U S ，概率是j P ，则该决策的期望效用值为()(),(1,...,)i j j EU A PU S i I ==∑，期望效用值最大的方案即为当前的最佳决策。

EU 理论确实对不确定决策分析作出了很大的进步，但我们同时注意到EU 的核心是假设概率是线性的，这种线性假设是否符合完全实际中消费者的决策行为？EU 理论的独立性原则表明对任何结果行为c ，偏好关系都成立，即使c 和x 是互补品，而c 和y 是替代品。

我们将在下一小节中列举几种EU 理论无法解释的现象。

2 期望效用理论（EU ）的不完美性
在本小节中我们试从两个角度来探讨EU理论对现实的解释性，这两个角度分别是Allias 悖论、Markotiwz的均值－方差理论。

2.1 Allias 悖论
Allias (1953)给出了下面的两组试验：
（试验一）：A ：试验者得到100万美金的概率为1。

B ：试验者得到100万美金的概率为0.89；
试验者得到500万美金的概率为0.10；
试验者得不到美金的概率为0.01。

（试验二）：C ：试验者得到100万美金的概率为0.11；
试验者得不到美金的概率为0.89。

D ：试验者得到500万美金的概率为0.1；
试验者得不到美金的概率为0.9。

从中可见，试验一包含一个肯定备择方案和一个风险备择方案。

试验二实际上是从试验
一脱胎而来：消除了一个各方案所共同拥有的可能结果(0.89的概率获得$1,000,000)，选择A 便成了选择C 而选择B 便成了选择D 。

据Allias 报告，面临试验一时，大多数人偏爱A(肯定备择方案)，该选择在期望效用理论里意味着：
(1,000,000)0.10(5,000,000)0.89(1,000,000)0.01(0)U U U U >++
或(10.89)(1,000,000)0.01(5,000,000)U U −>
然而，面临试验二时，大多数人则偏爱D ，该选择在期望效用理论里意味着逆向的不等
关系：
0.11(1,000,000)0.10(5,000,000)U U <
以上结果违背了期望效用理论的独立性原则（公理3）。

依独立性原则，人们对选择
A(C)或选择B (D)的偏爱不应受到由0.89的概率所产生的共同结果值($1,000,000或$0)的影响。

2.2 Markowitz 的均值-方差规则VS 期望效用理论(EU ）
对于后果具有不确定性的投资决策问题，投资者通常会从收益水平和风险大小2个因素
综合评价一个投资方案的优劣，并且认为收益愈大愈好，风险愈小愈好。

诺贝尔经济学奖得主Markowitz 正是循着这条思路建立了比较方案优劣的均值-方差规则。

其要点是将投资的收益看成随机变量，用均值代表收益水平，用方差度量风险，从而将每个投资方案简化为它的均值与方差2个因素来描述。

如果2个方案的收益分别为随机变量X 和Y ，当E(X)≥E(Y),且Var(X)≤Var(Y)时，就认为方案X 不劣于方案Y 。

特别的，当这2个不等式都成立而且其中至少有一个为严格不等号时，就认为X 优于Y 。

几十年来，这一规则被广泛应用于证券组合投资问题的理论分析中。

期望效用理论和均值-风险规则都可以用来评判不确定性决策中方案的优劣，那么其结
果是否总能保持一致？下述例子说明，若不增加任何条件其结论是否定的。

取方差度量风险，方案X 和Y 收益值的概率分布为： 方案X
方案Y 收益值r 1 100
10 1000 概率p 0.8
0.2 0.99 0.01 则 E(X)=20.8>E(Y)=19.9, Var(X)=1568.16<Var(Y)=9702.99 按均值-风险规则X 优于Y ；取效用函数为U(X)=logX ，它在(0,∞)内严格单调递增，却有EU(X)=0.4<EU(Y)=1.02，按期望效用理论反而Y 优于X 。

这里我们选取的效用函数是U(X)=logX ，读者会说如果换一种效用函数，结果就可能和均值-风险规则一致了，比如选取U(X)=X 即可。

但问题也显现出来了，不同效用函数的选
择直接影响了EU 理论的结果，那么对不同的效用函数或者不同的消费者，EU 理论可能有不同的解释？
3 期望效用理论（EU ）的分析和思考
本小节将从EU 理论的独立性公理假设、线性性假设、效用函数的选取等方面来阐述和
解释第2小节中各现象产生的原因。

3.1 独立性的思考
Allias 悖论的产生的根源在于偏好公理体系中的独立性原则存在缺陷。

比如乒乓球比赛,
每个人单打都不好，但两人联合起来双打是很好的。

独立性要求相当于一旦单打中甲优于乙，那么任何人与甲配合都会打败他与乙的配合(当然实际上一个人不能与两个人同时配合，我们假想存在这个人的完全复制品)，这一推论自然与实际有矛盾。

在Allias 之后，先后有Morrison(1967)，MacCrimmon(1986)，Mac-Crimmon-Larsson(1979)
Hagen(1979)，Kahne-man-Tversky(1981)，说明了独立性持久和系统的违背。

另外，Flood(1951-2)，May(1954)，MacCrimmon-Larsson(1979)，提出在多目标情形下偏好循环可能出现，即发生克星循环问题，从而对偏好关系的传递性提出了质疑。

Fishburn(1988)甚至认为传递性不能再被视为一个规范原则，虽然这一观点现在处于少数派。

3.2效用函数和线性假设的思考
Allias 悖论中试验一比试验三增加了以0.89概率获得1,000,000的可能性，从而使试验
一中的A 方案变成确定性选项，于是大多数人在决策时偏好于A 方案，换句话说，大多数人在确定性和不确定性（风险）之间偏好于确定性，这一点可以通过分析下面的效用函数的形式得出。

一般来讲，决策者的效用函数可以分为三种：
图一 图二 图三 图一表示决策人有规避风险的行为，图二是风险中性的，图三则是风险喜好性的。

Allias 悖论中大多数人选择A 正说明其效用函数是图一所示类型的。

如果决策者的效用函数是图二所示类型，也即效用函数是线性的，在EU 理论下显然不会出现Allias 悖论，也不会有上面2.2小节中和均值－风险之间的矛盾。

而一致假设效用函数的线性性显然是没有理由的。

事实上，可以证明2.2小节中均值－风险原则和EU 原则只有在下定理下决策结果才是一致的。

定理 设≥是均值-风险规则确定的方案集合上的优劣关系，u 是与≥保持一致的效用函数,即：X 、 Y 当且仅当u(X)≥u(Y)；X ～Y 当且仅当u(X)=u(Y)，则u 必为实数轴上严格单调增加的线性加指数函数123c x k k x k e −++。

在效用理论中，效用函数在单调变换下对偏好关系是唯一的，也就是效用函数值只应起序数的作用，但在EU 理论中我们不可避免地要运用到具体的效用函数值，这于效用序数论x
不强调具体的效用函数产生了矛盾。

事实上，我们注意到EU 理论中的期望效用值是效用值的概率组合，故而如果假设EU 理论对任何形式的效用函数都成立，即不要求效用函数的线性性，那么问题就转移到概率的线性假设上。

事实上，决策领域从Allias 悖论问世以来新发展了许多修订线性假说的理性期望模型(rational expectations model)。

这些模型大都从修正线性概率的假设人手，提出各可能结果的效用不再被客观概率所乘，而是被非线性的决策权重(decision weights)所乘。

而决策权重不必遵守概率的数学定律，并假定互补事件((complementary events)的决策权重之和可以小于1，即，w (p) +w(1一p)<1。

从而将期望效用理论无法解释为最大化反应的Allias 悖论等问题，又成功地描述为一种新的最大化的抉择反应。

具有代表性的Kahneman 和Tversky 的期望理论(prospect theory)提出了一个非线性的权重函数π。

其中，大中概率被权重函数所低估(underweighted)，小概率被权重函数所高估 (overweighted)。

低估(underweighting)大中概率的结果可导致被权重的概率之和小于1，即，π (p)+ π (1一p)<1。

这种权重函数的特性被Kahneman 和Tversky 称之为“次确定性”(subcertainty)。

正是这所谓的“次确定性”化解了艾勒所发现的悖论：
(10.89)(1,000,000)0.01(5,000,000)0.11(1,000,000)U U U −>>
或 (1一0.89)>0.11
请注意，期望理论是预先假定被人们选定的方案一定是具备了某种“最大值”的方案，即，在试验一中，A 的“总价值”>B 的“总价值”;在试验二第二对选择题中，D 的“总价值”>C 的“总价值”，从而演绎出“次确定性”关系：
(1)(0.89)(0.11)πππ−>
但是这种非线性的概率权重不能解释优势原则，建立在概率权重基础上的方法都不能避免优势原则的违背，因为在这些方法中具有相同概率的所有事件的权重都一样。

Quiggin(1982) 第一次以“预测效用(Anticipated Utility ，ＡＵ)模型”的名字发表等级依赖期望效用（Rank dependent expected utility RDEU ）, ＲＤＥＵ或ＡＵ模型像早期的模型一样都基于概率权重函数，但其权重不是应用于个体事件的概率，而是累积概率。

而ＲＤＥＵ模型则是唯一提出二结果概率权重与优势原则相一致的模型，它的解决办法是根据结果的等级及其概率给结果赋予权重(给在分布的顶端和底端的事件以高权重，给中间的以低权重)，从而解释了Allias 问题。

与RDEU 模型有关的发展还有Schmeidler(1989)和Gilboa(1987)对模糊性的研究。

与RDEU 模型的主要区别是，在Schmeidler-Gilboa 模型中，最初的概率是未知的，决策权重用非加法的主观概率解释。

4 经济学理性假设的思考
在阐述了EU 理论和讨论了相关的现象后，我们跳出EU 理论的界定，来看不确定性决策方法的发展变化，以期从中得到全局性的启示。

应用于风险状态下决策的第一个规范性理论是期望值(Expected Value ，EV)理论。

此后，迫于理论不能预测及解释行为，人们不断地对风险状态下的决策模式进行修正。

Bernoulli 所讨论的St. Petersburg 悖论证明，如果人们的风险决策是某种期望值的最大化，这个期望值决不是EV 。

而艾勒悖论又证明，如果人们的风险决策还是某种期望值的最大化，这个期望值既不是EV 也不是EU 。

然而，尽管在该领域的理论发展过程中涌现了许多自认为不同的决策模型，但当前的主流决策模型实际上只研究及采用了一种评价法则—期望法则
(expectation rule)。

证明期望法则具有合法性的理念一直驱动着这领域里的研究者。

以后所派生出的理性期望模型(rational expectations model)也只是朝着一个方向修正原有的旧模型。

即预先假定被人们选定的方案一定是具备了某种“最大值”的方案，如果被选中的方案被证明不具备客观上的“最大值”，那就转而证明被选中的方案是具备了主观上的“最大值”；如果通过对客观风险结果或者对结果的客观概率作适当地转化后被选中的方案仍然被证明不具备某种“最大值”，那么，就采用()()i i
WU w p u x =∑之类或者更复杂期望值的计算以证明被选中的方案具备了另一种“最大值”。

期望模型的百年发展，从EU 理论的传统或Bernoullian 版本到EU 理论的von －Neumann 和Morgenstern 版本（也即本文重点讨论的期望效用理论）到Savage 的主观EU 理论到Kahneman 和Tversky 代表的weighted utility 模型到rank-dependent utility 模型、到sign-dependent utility 模型、到rank-and sign-dependent utility 模型等，均没有跳出这个巢臼。

试借用一个决策小轶事来说明这领域里的研究者面临悖论时的所作所为。

这个轶事说的是如何测试一个小男孩(小时候的林肯总统?)的辨数能力。

事由的起因是有人拿出两枚硬币，让小男孩从中任挑一枚收下。

结果，这小男孩选择了一枚小面值的硬币。

消息传开，众人硬是不信。

于是，接二连三有人用同样的手法来重复这种测验。

面对一枚小面值的硬币和一枚大面值的硬币之间作抉择时，这小男孩总是毫不犹豫选择了小面值的硬币。

对小男孩这种屡试不爽的决策行为，经济学家可能解读为，该行为是违背了“最大化”原理的非理性行为。

心理学家则可能会说，且慢，虽然被小男孩选中的硬币被经济学家证明不具备客观意义的“最大值”，但是，小男孩之所以选中该枚硬币，是因为该枚硬币对小男孩而言，是主观上具备了“最大值”的硬币:u(中选硬币的值)> u(落选硬币的值).让我们研究“金钱错觉”，特别是家境贫困孩子的“金钱错觉”，从而推导出这能使以上不等式成立的u 函数。

将客观标准的值换成主观标准的值后，小男孩的行为就变得可以理喻了。

换言之，这领域里的研究者总是从预测失败中想到“最大化”的标准可能出了差错，要做的事是再接再厉修改不符实际的“最大化”标准，而鲜有人怀疑“最大化”的原则本身会出错。

然而，根据人们的实际选择演绎出非线性的价值函数(如在受益和受损区域分别为凹型和凸型的S 状价值函数v)和非线性的权重函数(如π函数)，然后利用演绎出的非线性函数来让人信服修正后的“最大化”选择模型是有效度的，这种做法并不能证明“最大化”假设本身是正确的。

这样做犹如能寻觅到证据来证明一古老的假设—地球是扁平的。

寻求证据说明被选中的方案是可以被主观函数演算成具有某种“最大值”，就好比寻求证据说明心理反应 (如，扭曲，错觉，放大等)是物理变化的非线性函数。

虽然人们可以不断找出比传统对数函数更适合个体的心理物理函数，说该函数可使人们将地平线在主观上知觉地更加“扁平”，找到这样的心理物理函数并不构成对“地球是扁平的”假设的证明。

这个领域的研究者们所做的基本上都是在修正公理假设和效用函数的形式，以期运用最大化理论所得的决策结果与人们的实际行为相符。

而公理假设的假设是决策者的理性行为，即理性人的假设，如果这一点值得讨论的话，公理假设再怎么修改，弱化，事实上都解决不了所有问题，也就是说理论的普遍性不存在。

理性人才具有效用最大化原则，那么效用最大化原则普遍成立吗？人是纯粹理性的吗？
5 结论
回到小男孩的选择间题，在最后一次测验时他如是说:“如果我选了大面值的硬币，你们还会一而再、再而三地试我吗?”
这样的结果告诉我们小男孩的选择还是理性的，依然是再遵循效用最大化原则。

那么是
否可以说研究者们的研究导向依然是正确的？我们注意到小男孩的效用最大化是建立在长期决策行为中的，在短期中，他的行为不符合效用最大化原则。

期望效用理论解决的都是一次性决策行为，一次或者短期决策行为会受到决策者复杂心理因素的影响，其中包括对将来的预期，而这一点是无法用期望效用理论来解释的。

文章也归结到如何理解理性二字了。

参考文献
[1] Alchian, A A. The Meaning of Utility Measurement. The American Economic Review, 1953, 43(1)：16-50；
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